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Teorema de Pitágoras – Cálculo da hipotenusa

Há alguns milênios um homem chamado Pitágoras descobriu um jeito de calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo. Isso revolucionou a geometria e até os dias de hoje usamos a famosa fórmula de Pitágoras para encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo que é a diagonal de um triângulo retângulo. Além de encontrarmos a hipotenusa quando não nos é dado em um enunciado, podemos encontrar com a fórmula 1/2 x altura x largura a área de um triângulo retângulo.

Essa geometria de Pitágoras posteriormente foi demonstrada por outros matemáticos que seria possível calcular a mesma de diversas formas.

Algumas fontes dizem que um triângulo retângulo pode ser calculado de 370 formas diferentes, mas que o Teorema de Pitágoras é válido até os dias de hoje mesmo assim e é o mais elegante. Vamos saber mais sobre o Teorema de Pitágoras e como ele fez para encontrar a equação c² = b² + a².

A soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa ao quadrado

Pitagoras-ilustracao
Em um ângulo reto a soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa ao quadrado. Ou, em uma forma matemática, significa que c² = b² + a². Onde C é a hipotenusa, B pode ser o cateto oposto ou adjacente e A também pode ser o cateto oposto ou o adjacente (a ordem dos fatores não altera o resultado). Então, para isso ser possível, precisamos de um triângulo retângulo. Mas afinal, o que é um Triângulo Retângulo?

O que é um Triângulo Retângulo ?

Todo mundo sabe o que é um retângulo, certo? Muita gente confunde o retângulo com um quadrado por pura falta de atenção. Nesse caso, para não confundir o quadrado com retângulo devemos ter em mente que um retângulo em um dos seus lados é maior que o outro ou um dos seus lados é menor que o outro. Já em um quadrado todos os seus quatro lados são iguais, ou seja, são de tamanhos iguais. Digamos, o perímetro (que é o contorno) de um quadrado seja 16. Ora, se o perímetro de um quadrado é 16, então os seus lados tem tamanho 4, pois o quadrado é composto de quatro lados. Então, se pegarmos um retângulo e ele tiver um perímetro de 50. Significa que nosso retângulo pode ter 15 em um dos lados (que daria 15 + 15) e 10 em um dos outros lados do retângulo (que daria 10 + 10), então teríamos o valor 50 do perímetro do retângulo (claro que pode ter outras medidas e assim formar o retângulo). Agora, se dividíssemos esse mesmo retângulo com área 50 por 2, teríamos um perímetro de 25 desse mesmo retângulo. Mas, nós queremos um triângulo retângulo. Para isso, precisaríamos dividir o mesmo na diagonal como mostra a imagem abaixo:

Triangulo-Retangulo-duas-partes-iguais

Agora nós temos um triângulo retângulo. Apenas retiramos a parte de cima, ou, a outra parte que também seria um triângulo retângulo.

Triangulo-Retangulo

Agora, como calcular a hipotenusa?. Primeiro, onde fica a hipotenusa? o cateto oposto e o cateto adjacente? Veja, nesse caso, na imagem:

Triangulo-Retangulo-catetos-e-hipotenusa

Temos então descrito na imagem os catetos e também a hipotenusa. Agora, a hipotenusa, vamos chamar de C, o cateto adjacente de B, e o cateto oposto de A. Temos então:

Triangulo-Retangulo-catetos-e-hipotenusa-C-B-A

Agora para calcularmos a hipotenusa sabendo dos valores dos catetos, fica fácil. Digamos que B = 4 e A = 3. Segundo Pitágoras, a soma dos catetos ao quadrado é o mesmo que a hipotenusa ao quadrado. Ou seja: a² + b² = c². Isso significa que nosso triângulo retângulo acima possui a hipotenusa de 25. Sim, pois B = 4 e A = 3, porém, temos que elevar cada cateto ao quadrado. Temos então 3² = 9, e 4² = 16, logo c² = 25. Sendo assim C é 5². Com passagens teríamos:

c² = b² + a²
c² = 4² + 3²
c² = 16 + 9
c² = 25
c = √25 (se é potência, passa como raiz)

Temos então que c² = 5².

E se fosse b² ou a² as incógnitas para descobrir o cálculo da hipotenusa?

Ou pior, e se existisse somente o valor da hipotenusa? como descobrir b² e a²?

Primeiro exemplo: Sabemos só a hipotenusa

Digamos que a hipotenusa é c² = 10². Os demais seriam o que? b² + a². Isso significa que teríamos que descobrir a lógica disso com base, claro no valor da hipotenusa dado. O raciocínio seria algo como, se c² = 10², então b² e a² podem ser 8² e 6². Como seria então as passagens? lembre-se, a e b são diferentes.
Temos que c² = 10².
10² = b² + c². Se dermos um valor à b², um número menor que 10², poderemos seguir em frente com a resolução. Digamos que b², por pura intuição, seja 8². Então temos:
c² = 10², b² = 8² e a² não sabemos. Já que queremos saber a², temos que seguir com essas passagens:
c² = b² + a²
10² = 8² + a²
100 = 64 + a²
100 – 64 = a²
36 = a²
√36 = a

Logo temos que a = 6
Uma vez tendo esse valor, basta fazer todo o cálculo e será possível encontrar a área do triângulo retângulo.

O mesmo seria para caso você não soubesse uma das incógnitas. Porém, há uma limitação, não daria para saber ao certo a hipotenusa se sabermos apenas o valor de um dos catetos. Temos então que ter pelo menos a hipotenusa definida e ai sim as duas outras incógnitas podem ser descobertas com base na dica acima.

Ache os resultados exatos da hipotenusa

Com base nesses exemplos de como o matemático grego Pitágoras conseguiu calcular ou encontrar uma equação precisa para o cálculo da hipotenusa, você seria capaz de encontrar os valores exatos da hipotenusa?, sim, sem números quebrados ou com casas decimais? Faça o teste!

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Postagem publicada em
e atualizada em 7 de dezembro de 2014
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Funciona, Matemática  
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