TAG: Geometria Analítica

Encontre a equação da reta, perpendicular à reta

Encontre a equação da reta, perpendicular à reta de equação 3x+2y-1=0 e que passa pelo ponto (2,0)

Resposta da pergunta

Primeiro vamos obter o coeficiente angular da equação da reta conhecida:

3x + 2y + 1 = 0

y = (-3x – 1)/2

O coeficiente angular é -3/2. Como queremos saber o coeficiente angular da reta perpendicular a reta 3x+2y-1=0 temos então que obter o inverso do oposto do coeficiente angular -3/2. Temos então:

(3/2)^-1 => 2/3

2/3 é o coeficiente angular da reta que é perpendicular a reta no formato geral 3x+2y-1=0.

Iremos definir o termo independente dessa reta. Dessa forma:

y = (2/3)x + c

Como conhecemos o ponto P(2,0) podemos entender que:

0 = (2/3)(2) + c

c = -4/3

Temos então que a forma reduzida da reta perpendicular a reta 3x+2y-1=0 é:

y = (2/3)x – 4/3

Na forma geral temos:

(2/3)x -y -4/3 = 0

Eliminando os denominadores temos:

2x -3y – 4 = 0

Resposta: a reta é 2x – 3y – 4 = 0


Determine a distância entre os pontos A e B

Determine a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos: A(5,-1) e B(-3,10)

Resposta da pergunta

A(5,-1) e B(-3,10)

Poderíamos usar o teorema de Pitágoras, mas, formalmente fazemos:

D² = (Xb – Xa)² + (Yb – Ya)²

D² = (-3 – 5)² + (-10 + 1)²

D² = (-8)² + (-9)²

D² = 64 + 81

D = √145

Resposta: √145 é a distância entre o ponto A e o B


Determine a equação geral da reta que é perpendicular

Determine a equação geral da reta que é perpendicular a reta r: 2x -4y + 10 = 0 no seu ponto de abcissa 3.

Resposta da pergunta

O ponto é (3,0)

Como é perpendicular a reta 2x -4y + 10 = 0 então temos o oposto do coeficiente angular. Vejamos:

2x – 4y + 10 =

-y = (-2x – 10)/4

y = x/2 + 5/2

O coeficiente angular é 1/2 e o OPOSTO dele é (1/2)^-1 logo = 2.

Podemos agora igualar a equação da GA que é:

y – y1 = m(x – x1)

Sabemos y1 que é 0, sabemos o coeficiente angular que é 2 e sabemos o ponto da abcissa 3. Então fica:

y – 0 = 2(x – 3)

y – 0 = 2x – 6

0 = 2x – y – 6

Ou se preferir:

2x – y – 6 = 0

Esta é a equação geral da reta perpendicular a reta r: 2x -4y + 10 = 0 no seu ponto de abcissa 3.

Resposta: 2x – y – 6 = 0


Considere os pontos A(-1,3) e B(2,4)

Considere os pontos A(-1,3) e B(2,4)
a)escreva a equação reduzida da reta AB
b)o coeficiente angular
c)coeficiente linear

Resposta da pergunta

a equação reduzida da reta é y = mx + c ou y = mx + b…

Sabemos que o ponto A tem x = -1 e y = 3

E o ponto B tem os pontos x = 2 e y = 4. Basta então fazer um sistema.

3 = -a + b
4 = 2a + b

multiplica a primeira equação por -1.

-3 = a – b
4 = 2a + b

1 = 3a

a = 1/3

b então é:

3 = -(1/3) + b

3 + 1/3 = b

b = 9/3 + 1/3

b = 10/3

A equação reduzida da reta é:

y = x/3 + 10/3

A resposta da alternativa B é

1/3

A resposta da alternativa C é

10/3

Resposta: y = x/3 + 10/3, 1/3 e 10/3


Dada a reta que passa pelos pontos (3,5) e (4,-2)

Dada a reta que passa pelos pontos (3,5) e (4,-2)
a) a equação geral da reta
b) o coeficiente angular e coeficiente linear
c) o gráfico especificando as coordenadas de onde corta os eixos

Resposta da pergunta

Temos os pontos (3,5) e (4,-2) onde:

x1 = 3, x2 = 4, y1 = 5, y2 = -2.

A equação geral da reta é Ax + By + C = 0

Então temos que:
|3 5 1 | 3 5
|4 -2 1 | 4 -2
|x y 1 | x y

Multiplicando as diagonais temos:

3*-2*1 + 5*1*x + 1*4*y – (1*-2*x + y*1*3 + 1*4*5)

-6 + 5x + 4y – (-2x + 3y + 20)

-6 + 5x + 4y + 2x – 3y – 20

7x + y – 26 = 0 (equação geral da reta) resposta da letra A-)

Agora, para determinarmos o coeficiente angular e o linear podemos fazer por sistema.

Sendo (3,5) e (4,-2) os pontos:

y = ax + b

3 = 5a + b
-2 = 4a + b

(A linha de cima menos a linha de baixo)

3 = 5a + b
2 = -4a – b

a = 5

Agora para achar b basta substituir em uma das equações:

3 = 5(5) + b

3 = 25 + b

b = 22

O coeficiente angular é 5 e o coeficiente linear é 22. Assim: y = 5x + 22

A letra C-)

o gráfico especificando as coordenadas de onde corta os eixos


Resolvendo problemas com o conceito de vetor e exercícios

Iremos estar usando o conceito de vetor para resolver problemas de geometria analitica.

Determine as coordenadas do ponto P tal que o vetor OP = AB, onde:

A = (1, 2) e B = (3, 5).

Perceba que o vetor OP é um vetor definido pelos pontos O = (0, 0) e P = (x, y). Isto é
queremos achar um vetor que possui um dos pontos na extremidade do eixo cartesiano.
Perceba que este tipo de vetor é importantissimo na solução de problemas pois podemos
trata-lo como sendo um mero ponto do plano cartesiano.

É interessante perceber que quando encaramos um vetor com uma das extremidades na origem
não precisamos explicitamente indicar isso, o vetor passa a ser automaticamente bem caracterizado
por apenas um de seus pontos(isto é, aquele que não está na origem dos eixos cartesianos).
Para melhor entender porque isso é suficiente na solução de alguns problemas é necessário verificar
algumas propriedades algebricas e geometricas dos vetores.

Voltando ao problema propriamente, temos.

OP = B – A = (3, 5) – (1, 2) = (2, 3)

Assim, chegamos a um ponto. Veja o processo geometrico atrás do algebrico abaixo.

Primeiro projetamos no plano cartesiano o vetor AB.

Vetor AB
Perceba que ao aplicar a formula OP = AB = B – A estamos obtendo um vetor OP que é equivalente to ao vetor AB. Com tal vetor equivalente podemos fazer substituições do vetor AB em cálculos algébricos de modo a simplificar os problemas.

Representando o vetor OP.

Vetor OP

Vamos para algo mais complexo.

Determine os vertices C e D do paralelogamo ABCD, sabendo que A = (-1, -1), B = (2, 2) e as diagonais
AC e BD se cortam no ponto M = (1, 3)

Ora, Se temos os pontos A e B, podemos determinar os vetores AM e BM.

AM = M – A = (1, 3) – (-1, -1) = (2, 4)

e

BM = M – B = (1, 3) – (2, 2) = (-1, 1)

Logo, podemos obter o ponto C com

C = M + AM = (1, 3) + (2, 4) = (3, 7)

E o ponto D com

D = M + BM = (1, 3) + (-1, 1) = (0, 4)

Sabemos que as diagonais de um paralelograma se cortam ao meio.

Graficamente o problema se resume à.

Primeiro marcamos no plano cartesiano os pontos ( Na prática deveríamos fazer como acima, essa ilustração gráfica é meramente demonstrativa, não deveria ser necessário marcar no plano os pontos para resolver tal problema.)

vetores AM e BM

Veja que marcando os pontos e efetivamente representando os vetores AM e BM obtemos uma figura triangular.

O que fazemos quando adicionamos os vetores AM, e BM ao ponto M é simplesmente projetar o outro lado da figura e então obter os pontos C e D que formam um paralelograma.

Pontos vetores AM e vetores BM ao Ponto M

Você lembra da propriedade dos paralelogramas? pois é, as diagonais se cortam ao meio. Perceba que você poderia ter usado C = A + 2 * AM e D = B + 2 * BM também funcionaria.

Formando o paralelograma obtemos.

Paralelogramo formado

Vamos agora para um outro problema de vetores.

Determine em cada casa o ponto D tal que CD = AB onde A = (-1, -1) e B = (2, 3)
e C = (1, -1)

Esse tipo de problema aparece comumente como um problema etapa para a solução de outro problema mais difícil e foi exatamente o que fizemos acima.

Para achar D simplesmente fazemos. OP = AB = B – A e então D = C + OP

Lembra-se quando falei que OP era importante pois poderiamos trata-lo como um ponto substituindo em expressões? Pois é.

Logo, temos.

OP = B – A = (2, 3) – (-1, -1) = (3, 4)

D = (1, -1) + (3, 4) = (4, 3)

Algo mais interessante.

Determine os vértices B e C do triangulo ABC, sabendo que A = (1, 3) e BC = (3, 1) e que a origem é seu baricentro.

O baricentro de um triangulo é o ponto de intersecção de todas as medianas do triangulo.

Tem grande importância na física o conceito de baricentro de figuras planas.

OG = (1/3) * (OA + OB + OC)

O baricentro é um ponto e é dado pela formula acima.

Sabemos que BC = C – B

Logo temos.

(0, 0) = (1/3) * ( ( 1, 3) + B + C)

-(1, 3) = =(-1, -3) = B + C

Logo…
BC = C-B = (3, 1)

Obtemos um pequeno sistema vetorial.

Somamos os membros e obtemos.

2C = (2, -2)

Logo C = (1, -1)

Se temos C podemos obviamente achar B.

Usando.
BC = (3, 1)

Temos BC = C – B = (1, -1) – B = (3, 1)

assim.

-B = (3, 1) – (1, -1)

-B = (2, 2)

B = (-2, -2)

Lembrando que é possível obter uma representação vetorial de uma reta, podemos também a partir de tal representação vetorial obter uma forma para tal equação chamada equação paramétrica.

Assim, se temos dois pontos A e B.

Obtemos a equação vetorial para a reta.

y = A + AB * x

onde y é obviamente um ponto.

Se escrevermos y = (m, n)

temos.

(m, n) = (q, e) + AB * x = (q, e) + (u, f) * x

Logo

m = q + xu
n = e + xf

Que é um sistema paramétrico para a reta.

Deste sistema podemos determinar a equação cartesiana da reta.

Vamos a um simples problema.

Determine a equação cartesiana da reta r, onde r = { x = -1 + 2t, y = 2 – 3t }

Para tal, basta isolarmos a variável t.

x = -1 + 2t

-2t = -1 -x ( invertemos o 2t e o x de membro, os dois passam a ser negativos nesse caso )

-t = ( -x -1 ) / -2 ( isolamos o t, mas há equação negativa, então multiplicamos tudo por -1 )

logo temos: t = (x + 1) / 2

Agora temos que isolar t em y = 2 – 3t.

3t = 2 – y ( invertemos y e 3t de membro, troca o sinal )

t = (2 – y) / -3 ( isolamos t e 3 que agora muda para o segundo membro passa a dividir e ser negativo. )

Resultado:

t = (x + 1)/2
t = (y-2)/-3

E agora é só igualar tudo.

(x+1)/2 = (y-2)/-3 ( igualar os dois membros para podermos determinar a equação cartesiana da reta)

-3x-3 = 2y-4 ( -3 que está dividindo passa multiplicando x e +1, e 2 que está dividindo passa multiplicando y e -2 )

-3x-2y = -4+3 ( Isolamos -3x e -2y no primeiro membro e passamos 3 para o segundo que o torna positivo )

-3x-2y = -1 ( Fizemos agora a soma de -4 com +3 e obtivemos -1 )

3x + 2y = 1 ( multiplicamos por -1 pois não pode haver equação com o primeiro elemento do primeiro membro negativo. )

Então obtemos.

r: 3x + 2y = 1


A reta sobre a perspectiva de vetor – Geometria Analítica

A reta sobre a perspectiva de vetor.

Dois pontos determinam uma reta, dois pontos determinam dois vetores, isto é se A, e B são pontos então temos dois vetores possiveis. Os vetores AB e BA, assim sendo, podemos estudar a reta usando o conceito de vetor.

Obs: AB = B – A, Um vetor com extremidade em O.

Se temos uma reta determinada por dois pontos, A, e B. O vetor AB e o vetor BA são chamados vetores da reta. Eles originam os pontos da reta. Sabemos que podemos multiplicar um vetor por um numero real, o produto deste vetor por todos os numeros reais somado com um ponto qualquer forma uma reta no plano cartesiano.

De uma maneira mais simples, temos.

A = (1, 2), B = (3, 4)

Determinamos AB = B – A = (3-1, 4-2) = (2, 2) é o vetor diretor da reta.

Note, que, se fizermos Y = AB*X, onde Y, X em R. Nos obteremos os pontos pertencentes a uma reta que passa pela origem.

isto é.

Y = (2, 2) * X

Cujo grafico é.

Plano cartesiano Reta Cortando Eixo

Veja, que é bem simples entender o porque.

Temos o vetor AB = (2, 2)
que é representado graficamente por.

Vetor par ordenado 2.2 plano cartesiano

Quando nos multiplicamos um vetor qualquer v por um numero real k
multiplicamos o comprimento do vetor. O mesmo ocorre se k < 0 também, o comprimento é multiplicado em |k|. Sendo assim, perceba que se eu multiplico o vetor AB = (2, 2) O comprimento é multiplicado e a representação do novo vetor é dada com. Representação do novo vetor apos multiplicação

Nesse caso, consideramos k > 0

Com isso, obtemos parte dos pontos da reta. Se considerarmos
k < 0 então obtemos o restante da reta. Restante da Reta Geometria Analítica

Considere o vetor v = (3, 1) se representarmos tal vetor
no plano cartesiano obtemos.

O processo de construição da reta quando representamos graficamente

A expressão Y = (3, 1) * k, com k real

é analogo ao anterior. É interessante tentar na pratica esse exemplo.

Sabemos que nem todas as retas passam apenas pela origem, podemos construir retas
que passam por um dado ponto usando este conceito de vetor também.

Tais retas possuem a expressão

Y = T * k + A

Onde T é um vetor diretor da reta e A é um ponto qualquer pertencente a tal reta.

Vamoss considerar uma reta determinada pelos pontos E = (3, 2) e U = (1, 1)

Obtendo um vetor diretor da reta…

T = EU = U – E = (1-3, 1-2) = (-2, -1)

Fazemos

Y = (-2, -1) * k + (1, 1)

E obtemos uma equação da reta baseado em seu vetor diretor.

Veja que a equação

Y = (-2, -1) * k + (3, 2)

Também descreve a reta.

E veja também que

UE = E – U = (3-1, 2-1) = (2, 1)

Y = (2, 1) * k + (3, 2)

e

Y = (2, 1) * k + (1, 1)

Também descreve a mesma reta.

É interessante que você tente construir graficamente o processo
como feito anteriormente assim terá uma melhor ideia.

Pontos colocados no plano cartesiano completo


Geometria analitica visão geral – conceito básico

Geometria analitica é um campo da matemática que visa estudar as propriedades algebricas
de objetos geometricos. Assim, há a relação entre algebra e geometria. O estudo de tais relações
nos possibilita melhor entender fenomenos relacionados a fisica e até a própria matematica.

A geometria analitica chamada de GA muitas vezes tem como base de estudos o plano cartesiano.
O plano cartesiano é um sistema de eixos formados por duas retas uma cortando a outra formando um angulo de 90 graus. Sobre estes dois eixos colocamos uma unidade de medida e assim podemos identificar pontos sobre este plano.

Exemplos de pontos ( ou pares ordenados ) são.

A = (1, 2)
B = (-2, -3)
C = (1/2, -3/5)

Perceba que estes três pontos quando idealizados sobre o plano cartesiano formam um triângulo.

Com estes três pontos e o conhecimento sobre triângulos da geometria básica você pode deduzir e resolver problemas que seriam complicadíssimos sem o uso da geometria analítica e o conceito de vetor.

A geometria analítica sem o conceito de vetor não seria tão poderosa. Vetor é uma abstração matemática que relaciona três coisas: direção, sentido e comprimento.

Considere dois pontos: A e B no plano cartesiano, existem duas maneiras de percorrer este segmento de reta. Elas são de A para B e de B para A. Assim, sendo, se você tem dois pontos então você tem dois vetores possíveis.

Assim, você pode pensar: Se tenho dois pontos e um percurso, então tem um vetor mapeado naqueles dois pontos e o percurso.

Exemplos de vetores.

A = (1, 2), B = (4, -1)

C = (2, 4), U = (4, 9)

Existe uma propriedade importantíssima dos vetores que é a propriedade de equivalência entre vetores.

Essa propriedade é demonstrada através de equipolência de segmentos de reta orientados, mas não há necessidade de uma exposição tão formal. O conceito de vetor pode ser abstraído intuitivamente sem o uso de objetos matemáticos mais simples.

Mas para podermos usar o conceito de vetor de forma mais eficiente temos de introduzir o conceito de equivalência de vetores.

Se temos um vetor AB isto é, dois pontos e um sentido isto é de A para B, temos um vetor bem definido no plano. Para tal vetor existem infinitos vetores equivalentes à AB no plano. E é usando este conceito que toda mecânica de vetores é feita em cima.

A principio essa propriedade de equivalencia entre vetores pode parecer um tanto obscura mas quando resolvermos um problema
com ela tudo ficará mais claro.

Quando temos um vetor AB e um ponto P do plano podemos construir um vetor PQ que é equivalente à AB. Nos escrevemos

AB ~ PQ

Isso mesmo, para um dado vetor qualquer AB e um ponto P podemos achar um ponto Q tal que o vetor PQ é equivalente à AB.

Veja que em matematica quase sempre que falamos que um objeto é equivalente a outro podemos substituir um pelo outro
em uma dada situação, nesse caso de vetores é exatamente isso oque ocorre. Usamos a equivalencia de vetores para simplificar coisas
substituindo uma representação de um vetor por outra que tornaria os problemas mais simples.

Seguindo esse principio poderiamos dizer que se um vetor AB é equivalente à um vetor PQ então AB = PQ.

Considere os pontos A = (1, -2) e B = (3, 2), e o sentido de A para B, então temos o vetor AB podemos escrever
v = AB por simplicidade. Agora, vamos achar uma forma mais simples de representar o vetor AB. Tal forma mais
simples consiste em achar um vetor OM tal que O = (0, 0) isto é, um vetor cuja extremidade está no ponto O = (0, 0).

Existe uma formula para isso, se você quer achar o vetor OM tal que OM = AB, você simplesmente faz

OM = B – A

Isso mesmo, você pode somar vetores, e subtrai-los.

A fórmula de soma de vetores é bem simples.

Considere os pontos A = (x, y) e B = (z, w)

A + B = (x + z, y + w)

Similar para subtração

A – B = (x – z, y – w)

Pois bem, já que sabemos como somar e subtrair vetores vamos achar um vetor equivalente à AB tal que um dos pontos esteja sobre a origem.

Aplicando a formula OM = B – A obtemos

OM = (3-1, 2-(-2)) = (2, 4)

Isso mesmo, obtemos um ponto como sendo um vetor. Eis aí uma outra propriedade importante dos vetores ela apresenta uma dualidade entre vetor, e ponto. Isso é, você pode pensar de um vetor como um ponto e de um ponto como um vetor quando isso lhe for interessante.

Veja, se você estivesse procurando por um vetor EQ equivalente a AB e E = (2, -3) você poderia achar o ponto Q de forma simples bastaria você aplicar a formula

E + OM = Q, onde OM = B – A.

Existe um outro ponto importante nisso tudo. Na maioria das vezes quando você ver uma soma ou subtração de vetores estará subentendido que você deve achar os vetores representantes com extremidade na origem de modo que você possa efetuar as operações de soma e subtração e outras também.

Assim sendo, daqui pra frente, quando você tiver um vetor definido por dois pontos e um sentido, onde A = (x, y) e B = (z, w)

Você irá automaticamente entender isso como AB = B – A.

Isso é, AB é o vetor com extremidade na origem e extremidade em B-A que é equivalente ao vetor obtido do segmento de reta AB indo de A para B.

Vamos ver o quão poderoso vetores são por resolvendo um problema.

Seja A = (3, 1) e B = (4, 5) ache o ponto medio do segmento AB.

Solução.

Imagine que A e B é um vetor, lhe dando o sentido de A para B.

Apenas isso obviamente não iria ser suficiente, precisamos tirar algo da cartola. Precisamos de uma outra propriedade dos vetores. E aqui vai ela.

Se você tem um vetor AB quando você multiplica esse vetor por um numero k o comprimento do vetor é multiplicado k vezes.

Isso mesmo !! Podemos multiplicar vetores por numeros.

A fórmula é simples.

Se v = (x, y) é um vetor, e k é um numero real então

k * v = k * (x, y) = (kx, ky)

Lembra que disse que v = AB é uma forma simples de representar um vetor? pois então.

Usando esta propriedade podemos resolver o problema acima.

Mas para isso, primeiro precisamos achar a representante do vetor AB com extremidade na origem que nos dará um ponto como
vetor.

Para isso fazemos v = AB = B – A = (4 – 3, 5 – 1) = (1, 4)

Isso, achamos a representação certa do vetor.

Agora, só precisamos multiplica-lo por 1/2 e obter um vetor cujo comprimento é a metade do comprimento do vetor AB do problema.

u = v * 1/2 = (1/2, 2) eis o nosso vetor.

Agora, como achamos o ponto medio do vetor AB? É simples amigos.

Lembra que disse que se você tem um ponto E , e um vetor AB e quer achar um vetor EQ equivalente a AB?

então

Q = E + AB

Te dá o ponto Q.

É o caso acima, temos o vetor u que é equivalente ao vetor AB * (1/2) dizemos u é multiplo de AB.

temos o ponto A, então, basta somar A + u e obter o ponto médio M.

Assim sendo,

M = A + u = (3, 1) + (1/2, 2) = (7/2, 3)

Essa foi uma pequena introdução ao conceito de GA, nos próximos artigos estaremos falando mais sobre.


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PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal