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Encontre a equação da reta, perpendicular à reta

Encontre a equação da reta, perpendicular à reta de equação 3x+2y-1=0 e que passa pelo ponto (2,0)

Resposta da pergunta

Primeiro vamos obter o coeficiente angular da equação da reta conhecida:

3x + 2y + 1 = 0

y = (-3x – 1)/2

O coeficiente angular é -3/2. Como queremos saber o coeficiente angular da reta perpendicular a reta 3x+2y-1=0 temos então que obter o inverso do oposto do coeficiente angular -3/2. Temos então:

(3/2)^-1 => 2/3

2/3 é o coeficiente angular da reta que é perpendicular a reta no formato geral 3x+2y-1=0.

Iremos definir o termo independente dessa reta. Dessa forma:

y = (2/3)x + c

Como conhecemos o ponto P(2,0) podemos entender que:

0 = (2/3)(2) + c

c = -4/3

Temos então que a forma reduzida da reta perpendicular a reta 3x+2y-1=0 é:

y = (2/3)x – 4/3

Na forma geral temos:

(2/3)x -y -4/3 = 0

Eliminando os denominadores temos:

2x -3y – 4 = 0

Resposta: a reta é 2x – 3y – 4 = 0


Determine a distância entre os pontos A e B

Determine a distância entre os pontos A e B nos seguintes casos: A(5,-1) e B(-3,10)

Resposta da pergunta

A(5,-1) e B(-3,10)

Poderíamos usar o teorema de Pitágoras, mas, formalmente fazemos:

D² = (Xb – Xa)² + (Yb – Ya)²

D² = (-3 – 5)² + (-10 + 1)²

D² = (-8)² + (-9)²

D² = 64 + 81

D = √145

Resposta: √145 é a distância entre o ponto A e o B


Dada a reta que passa pelos pontos (3,5) e (4,-2)

Dada a reta que passa pelos pontos (3,5) e (4,-2)
a) a equação geral da reta
b) o coeficiente angular e coeficiente linear
c) o gráfico especificando as coordenadas de onde corta os eixos

Resposta da pergunta

Temos os pontos (3,5) e (4,-2) onde:

x1 = 3, x2 = 4, y1 = 5, y2 = -2.

A equação geral da reta é Ax + By + C = 0

Então temos que:
|3 5 1 | 3 5
|4 -2 1 | 4 -2
|x y 1 | x y

Multiplicando as diagonais temos:

3*-2*1 + 5*1*x + 1*4*y – (1*-2*x + y*1*3 + 1*4*5)

-6 + 5x + 4y – (-2x + 3y + 20)

-6 + 5x + 4y + 2x – 3y – 20

7x + y – 26 = 0 (equação geral da reta) resposta da letra A-)

Agora, para determinarmos o coeficiente angular e o linear podemos fazer por sistema.

Sendo (3,5) e (4,-2) os pontos:

y = ax + b

3 = 5a + b
-2 = 4a + b

(A linha de cima menos a linha de baixo)

3 = 5a + b
2 = -4a – b

a = 5

Agora para achar b basta substituir em uma das equações:

3 = 5(5) + b

3 = 25 + b

b = 22

O coeficiente angular é 5 e o coeficiente linear é 22. Assim: y = 5x + 22

A letra C-)

o gráfico especificando as coordenadas de onde corta os eixos


Geometria analitica visão geral – conceito básico

Geometria analitica é um campo da matemática que visa estudar as propriedades algebricas
de objetos geometricos. Assim, há a relação entre algebra e geometria. O estudo de tais relações
nos possibilita melhor entender fenomenos relacionados a fisica e até a própria matematica.

A geometria analitica chamada de GA muitas vezes tem como base de estudos o plano cartesiano.
O plano cartesiano é um sistema de eixos formados por duas retas uma cortando a outra formando um angulo de 90 graus. Sobre estes dois eixos colocamos uma unidade de medida e assim podemos identificar pontos sobre este plano.

Exemplos de pontos ( ou pares ordenados ) são.

A = (1, 2)
B = (-2, -3)
C = (1/2, -3/5)

Perceba que estes três pontos quando idealizados sobre o plano cartesiano formam um triângulo.

Com estes três pontos e o conhecimento sobre triângulos da geometria básica você pode deduzir e resolver problemas que seriam complicadíssimos sem o uso da geometria analítica e o conceito de vetor.

A geometria analítica sem o conceito de vetor não seria tão poderosa. Vetor é uma abstração matemática que relaciona três coisas: direção, sentido e comprimento.

Considere dois pontos: A e B no plano cartesiano, existem duas maneiras de percorrer este segmento de reta. Elas são de A para B e de B para A. Assim, sendo, se você tem dois pontos então você tem dois vetores possíveis.

Assim, você pode pensar: Se tenho dois pontos e um percurso, então tem um vetor mapeado naqueles dois pontos e o percurso.

Exemplos de vetores.

A = (1, 2), B = (4, -1)

C = (2, 4), U = (4, 9)

Existe uma propriedade importantíssima dos vetores que é a propriedade de equivalência entre vetores.

Essa propriedade é demonstrada através de equipolência de segmentos de reta orientados, mas não há necessidade de uma exposição tão formal. O conceito de vetor pode ser abstraído intuitivamente sem o uso de objetos matemáticos mais simples.

Mas para podermos usar o conceito de vetor de forma mais eficiente temos de introduzir o conceito de equivalência de vetores.

Se temos um vetor AB isto é, dois pontos e um sentido isto é de A para B, temos um vetor bem definido no plano. Para tal vetor existem infinitos vetores equivalentes à AB no plano. E é usando este conceito que toda mecânica de vetores é feita em cima.

A principio essa propriedade de equivalencia entre vetores pode parecer um tanto obscura mas quando resolvermos um problema
com ela tudo ficará mais claro.

Quando temos um vetor AB e um ponto P do plano podemos construir um vetor PQ que é equivalente à AB. Nos escrevemos

AB ~ PQ

Isso mesmo, para um dado vetor qualquer AB e um ponto P podemos achar um ponto Q tal que o vetor PQ é equivalente à AB.

Veja que em matematica quase sempre que falamos que um objeto é equivalente a outro podemos substituir um pelo outro
em uma dada situação, nesse caso de vetores é exatamente isso oque ocorre. Usamos a equivalencia de vetores para simplificar coisas
substituindo uma representação de um vetor por outra que tornaria os problemas mais simples.

Seguindo esse principio poderiamos dizer que se um vetor AB é equivalente à um vetor PQ então AB = PQ.

Considere os pontos A = (1, -2) e B = (3, 2), e o sentido de A para B, então temos o vetor AB podemos escrever
v = AB por simplicidade. Agora, vamos achar uma forma mais simples de representar o vetor AB. Tal forma mais
simples consiste em achar um vetor OM tal que O = (0, 0) isto é, um vetor cuja extremidade está no ponto O = (0, 0).

Existe uma formula para isso, se você quer achar o vetor OM tal que OM = AB, você simplesmente faz

OM = B – A

Isso mesmo, você pode somar vetores, e subtrai-los.

A fórmula de soma de vetores é bem simples.

Considere os pontos A = (x, y) e B = (z, w)

A + B = (x + z, y + w)

Similar para subtração

A – B = (x – z, y – w)

Pois bem, já que sabemos como somar e subtrair vetores vamos achar um vetor equivalente à AB tal que um dos pontos esteja sobre a origem.

Aplicando a formula OM = B – A obtemos

OM = (3-1, 2-(-2)) = (2, 4)

Isso mesmo, obtemos um ponto como sendo um vetor. Eis aí uma outra propriedade importante dos vetores ela apresenta uma dualidade entre vetor, e ponto. Isso é, você pode pensar de um vetor como um ponto e de um ponto como um vetor quando isso lhe for interessante.

Veja, se você estivesse procurando por um vetor EQ equivalente a AB e E = (2, -3) você poderia achar o ponto Q de forma simples bastaria você aplicar a formula

E + OM = Q, onde OM = B – A.

Existe um outro ponto importante nisso tudo. Na maioria das vezes quando você ver uma soma ou subtração de vetores estará subentendido que você deve achar os vetores representantes com extremidade na origem de modo que você possa efetuar as operações de soma e subtração e outras também.

Assim sendo, daqui pra frente, quando você tiver um vetor definido por dois pontos e um sentido, onde A = (x, y) e B = (z, w)

Você irá automaticamente entender isso como AB = B – A.

Isso é, AB é o vetor com extremidade na origem e extremidade em B-A que é equivalente ao vetor obtido do segmento de reta AB indo de A para B.

Vamos ver o quão poderoso vetores são por resolvendo um problema.

Seja A = (3, 1) e B = (4, 5) ache o ponto medio do segmento AB.

Solução.

Imagine que A e B é um vetor, lhe dando o sentido de A para B.

Apenas isso obviamente não iria ser suficiente, precisamos tirar algo da cartola. Precisamos de uma outra propriedade dos vetores. E aqui vai ela.

Se você tem um vetor AB quando você multiplica esse vetor por um numero k o comprimento do vetor é multiplicado k vezes.

Isso mesmo !! Podemos multiplicar vetores por numeros.

A fórmula é simples.

Se v = (x, y) é um vetor, e k é um numero real então

k * v = k * (x, y) = (kx, ky)

Lembra que disse que v = AB é uma forma simples de representar um vetor? pois então.

Usando esta propriedade podemos resolver o problema acima.

Mas para isso, primeiro precisamos achar a representante do vetor AB com extremidade na origem que nos dará um ponto como
vetor.

Para isso fazemos v = AB = B – A = (4 – 3, 5 – 1) = (1, 4)

Isso, achamos a representação certa do vetor.

Agora, só precisamos multiplica-lo por 1/2 e obter um vetor cujo comprimento é a metade do comprimento do vetor AB do problema.

u = v * 1/2 = (1/2, 2) eis o nosso vetor.

Agora, como achamos o ponto medio do vetor AB? É simples amigos.

Lembra que disse que se você tem um ponto E , e um vetor AB e quer achar um vetor EQ equivalente a AB?

então

Q = E + AB

Te dá o ponto Q.

É o caso acima, temos o vetor u que é equivalente ao vetor AB * (1/2) dizemos u é multiplo de AB.

temos o ponto A, então, basta somar A + u e obter o ponto médio M.

Assim sendo,

M = A + u = (3, 1) + (1/2, 2) = (7/2, 3)

Essa foi uma pequena introdução ao conceito de GA, nos próximos artigos estaremos falando mais sobre.


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PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal