TAG: Função do segundo grau

Função quadrática – Como fazer e exercícios resolvidos

A função quadrática ou também conhecida como função do segundo grau é uma das coisas mais importantes antes de iniciar um curso de engenharia, matemática ou qualquer curso que exija o estudo de funções que é o caso do cálculo I. O foco do cálculo I à principio é o estudo de funções e claro, funções quadráticas ou de grau 2. Então é muito importante dominar isso.

Após entender função quadrática já conseguimos então entender pelo menos uma parte importante do pré-cálculo. Já abordamos aqui no blog como é a função do primeiro grau e também colocamos um conceito básico sobre função do segundo grau. Agora nós iremos avançar mais e estabelecer de uma vez por todas o real significado, a importância e como e com qual objetivo principal foi necessário criar uma fórmula, (inclusive bastante famosa) a de Bhaskara (pronuncia-se Báscara) no caso, para achar as raízes de uma função quadrática ou os zeros da função quadrática.

A concavidade de uma parábola é dada pelo coeficiente a que não pode ser igual a 0, tem que ser diferente de 0. Quando a for negativo a concavidade é para baixo, quando a for positivo a concavidade da parábola é para cima.

Como Bhaskara fez para encontrar? quais outros meios de encontrar as raízes sem usar a fórmula do indiano Bhaskara? Vamos ao índice desse artigo e garanto, se você prestar atenção em tudo, você não vai deixar de aprender definitivamente uma das coisas mais importantes antes de iniciar seu curso que exige cálculo I: a função quadrática.

Função quadrática – Explicação por tópicos

grafico-funcao-quadratica-parabola
Conceito básico de função quadrática
Por que x² é uma parábola ?
Para que serve a fórmula de Bhaskara ?
Como Bhaskara chegou a fórmula ?
Como encontrar o vértice de uma parábola ?
Como encontrar as raízes da função sem Fórmula de Bhaskara ?
Por que aprender função do segundo grau ?
Função quadrática – exercícios resolvidos
O que mais se erra em função quadrática ?
Como fazer o gráfico da função quadrática ?
Referências externas – Função Quadrática

Conceito básico de Função Quadrática

A função quadrática ou do segundo grau é uma função polinomial de grau 2 que caracteriza-se esteticamente por ax² + bx + c = 0. Sendo composta então de 3 (três) termos.
o Termo a e o b, ou letras, são os coeficientes de x e o termo c é o termo constante (que move uma parábola para cima ou para baixo). Sendo a o coeficiente que tem o x elevado ao quadrado.

Igualamos a função do segundo grau a 0 pois precisamos resolver as raízes da função e descobrir os números (ou nenhum ou apenas um) que vão no lugar de x e dão o resultado 0.

Essa é uma explicação muito simples e digamos, grosseira, pois a função quadrática é super importante para ter somente essa explicação. Ela existe já há séculos e ficou mais conhecida ainda depois que um matemático indiano chamado Bhaskara (também conhecido como Báscara) conseguiu descobrir uma tecnologia (ou fórmula matemática) que sabia dizer se a parábola de uma função quadrática tocava no eixo x ou não quando a mesma era colocada em um plano cartesiano com 4 quadrantes separados pelo eixo x e o eixo y. Descobriu também que com essa fórmula era possível saber então as raízes da função ou se elas não existem. Mas afinal, o que seria a raiz de uma função quadrática? A resposta mais óbvia são quantas vezes que a parábola toca o eixo x. Embora essa explicação seja bastante grosseira, precisamos exemplificar, dar mais detalhes sobre as raízes reais de uma função quadrática:

Imagine uma bola de borracha que cai de uma altura, bate ao chão e como ela tende a subir novamente, muitas vezes esse movimento é uma parábola. Isso ocorre também em um gráfico com o eixo x e o eixo y. As raízes de uma função quadrática são quantas vezes no eixo x esse movimento intercepta.

movimento-bola-de-borracha-parabola

Com um gráfico que possui o eixo x e o eixo y, temos algo como:

eixo-x-e-eixo-y-parabola-f-de-x

Aí nós percebemos que é uma parábola que tem seu eixo de simetria nula, ou, a parábola está localizada no centro do eixo y e toca o eixo x igual. Ou seja, nossa função quadrática dada possui raízes idênticas.

O discriminante é representado simbolicamente por um triângulo (como este Δ). É 0 quando as raízes são iguais, se o discriminante que é b² -4ac dentro da raiz for menor que 0 então toca o eixo x a parábola em nenhum momento. Mas se Δ for maior que 0 então há duas raízes diferentes, ou seja, em determinado momento há a interseção.

Imagine uma bola de borracha que é jogada em uma piscina, ela faz um movimento de mergulho na água e faz um movimento de parábola para cima, pois a bola flutua, mas a força que você jogou a bola na água e fez com que a bola mergulhasse e nisso houve o toque na água (eixo x) e quando ela volta do mergulho, ela surge em outra localização da piscina e flutuando (toca o eixo x novamente).

Isso é um efeito de parábola negativa que tem duas raízes reais.

Por que x² é uma parábola ?

Muitas pessoas não sabem disso, mas f(x) = x² é uma parábola com eixo de simetria nula ou, podemos dizer, entre um quadrante e outro a parábola é cortada no meio pelo eixo y.

Por que isso ocorre? Imagine o conjunto dos números reais. Ou seja, infinitos números positivos, negativos, positivos fracionários e negativos fracionários.

Logo, se colocarmos em um gráfico f(x) = x² e considerarmos que os o infinito da esquerda são os negativos e os infinitos da direita são os positivos temos então entre o eixo y uma parábola com eixo de simetria nula.

grafico-funcao-quadratica-exemplo-x-ao-quadrado-1

Para que serve a fórmula de Bhaskara ?

A fórmula de Bhaskara é muito usada no campo da engenharia. Na física, ela é primordial quando se lida com movimentos, estudo de movimentos. Cálculo I tem como base de estudo funções, e claro, funções quadráticas que necessitam da fórmula de Bhaskara tanto para encontrar as raízes de uma função quanto para encontrar função inversa quadrática.

A fórmula de Bhaskara é muito útil nesse aspecto, claro, descrito acima de forma bastante limitada, mas em suma é isso, sem a fórmula de Bhaskara teríamos que ainda calcular com base em regras de equações quadráticas como ocorria antes de Bhaskara.

Embora há fontes que indicam que não foi Bhaskara que descobriu a fórmula, pois o conceito de fórmula só surgiu em 1600 d.C com François Viète.

Como Bhaskara chegou a fórmula ?

Quem a usa nem imagina como Bhaskara chegou até ela. Por via das dúvidas, a fórmula de Bhaskara foi construida com o uso da técnica de completar os quadrados. Vamos ver o passo a passo da fórmula de Bhaskara sendo construída.

Imagine então uma equação quadrática ou função quadrática dada por 2x² + 4x + 1. Então nossos termos são a = 2, b = 4 e c = 1. Logo temos então algo exatamente assim:

ax² + bx + c = 0

Mas no caso, igualamos a 0, pois se trata de uma equação de segundo grau. Se fosse uma função seria:

f(x) = ax² + bx + c ou ainda y = ax² + bx + c

Tudo bem, a questão de isolar a 0 é um artifício para desenvolver o trabalho de construir a fórmula de Bhaskara.

Após a primeira etapa temos:

a(ax² + bx + c)

Por que temos que multiplicar por a todos os termos? Porque queremos completar o quadrado (para ser possível tirar a raiz quadrada depois). Veja que é o termo a que precisa ser o fator multiplicador e é ele que é o coeficiente de x².

Temos agora a distributiva:

a(ax² + bx + c) = 0 =>

a²x² abx + ac = 0

Nessa etapa muitos não entendem o motivo de a²x² … Parece estranho, mas o motivo disso é o seguinte. Quando você vai fazer a distributiva de ax² você multiplica tudo, ou seja, o ax². Se temos a(ax²) por exemplo temos que multiplicar o ax² todo. Como a multiplica x que por sua vez é elevado ao quadrado, então só preciso multiplicar o a pelo a que dá a² por isso temos a²x² (a ao quadrado vezes x ao quadrado).

a²x² abx + ac = 0

Agora, depois dessa explicação, temos que

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

Veja que todos os termos estão sendo multiplicados por 4, que é um quadrado de 2 por 2. Se tirarmos a raiz quadrada de 4 teremos 2 como resultado. Então, multiplicamos todos os termos por 4 para completar o quadrado em todos os termos posteriormente.

Após 4a²x² + 4abx + 4ac = 0, temos:

4a²x² + 4abx + b² + 4ac = b²

Veja que o objetivo é transformar o b² que é multiplicado por x ao quadrado também. Antes não havia. O fato disso é que o termo b também é multiplicado por x por isso há a necessidade de acrescentar + b² e, como artifício, para completar o quadrado. Sim, pois 4a²x² + 4abx + b² é o mesmo que (2ax + b)², formamos então o quadrado. Porém, como não podemos apenas acrescentar em um membro apenas esse b² temos que acrescentar no segundo membro também (isso é regra matemática, que compensa o que foi adicionado). Então adicionar o 4 que multiplica a²x² + abx + ac é um artifício para completarmos o quadrado.

Após 4a²x² + 4abx + b² + 4ac = b², temos essa forma alternativa:

(2ax)² + 2(2ax)b + b² + 4ac = b²

Por que temos que alterar para essa forma? A ideia é deixar nossa equação em um formato adequado de passar para o outro membro o que já desenvolvemos. Por isso temos que apelar para essa forma alternativa. Veja que (2ax)² é o mesmo que 4a²x², 2(2ax)b é o mesmo que 4abx. Quer ver? Se substituirmos o a, b e o x por qualquer número, vamos supor que a = 2, b = 2, x = 2 e se fizermos a conta, teremos resultados iguais vindos de 4a²x² e (2ax)². O mesmo para 4abx e 2(2ax)b (64 e 32 respectivamente). Porém, logo vemos que 64 é 8 sua raiz, e 32 não tem raiz inteira, mas se eu adicionar o b², aí tem. Agora, se a, b e x forem diferentes, não teremos um quadrado perfeito no 2(2ax)b em muitos casos. Exemplo.

Digamos que a = 2, b = 3, x = 4. São dados hipotéticos. Temos que substituir agora e ver se em 2(2ax)b forma um quadrado perfeito (um número após ter a sua raiz tirada, ele se torna um número positivo racional ou natural pertencentes ao conjunto dos números reais).

2(2ax)b => 2(2(2)(4))3 => 2(4(4))3 => 2(16)3 => 32.3 => 96.

Temos então um número que não forma um quadrado perfeito. Se fosse 100 o resultado, ai sim, daria 10 x 10 ou 10² que pode ter sua raiz extraída e obter o número 10. Mas no caso é 96. Mas, ai temos uma curiosidade. Se pegarmos 2(2ax)b + b², temos 105. Pois deu 96 nosso 2(2ax)b com a = 2, b = 3 e x = 4. Então como queremos completar o quadrado adicionamos o b² em ambos os membros. Então, temos 105, mesmo assim não forma um quadrado perfeito. O que temos que fazer então? Ora, somar o 2(2ax)b + b² com (2ax)² e teremos um quadrado perfeito. Vamos ver?

(2ax)² + 2(2ax)b + b² =>
(2(2)(4))² + 105 (Já sabemos que para a = 2, b = 3, x = 4 o 2(2ax)b + b² é 105) =>
(4(4))² + 105 =>
(16)² + 105 =>
256 + 105 =>
361

E isso é o mesmo que (2ax + b)²

(2ax + b)² =>
(2(2)(4) + 3)² =>
(16 + 3)² =>
(19)² =>

361

Opa, conseguimos 361. Se fizermos a raiz de 361 teremos o número 19. Incrível. Mas e o resto? sobrou + 4ac = b² para ser explicado. Vamos lá.

Para a = 2, b = 3 e x = 4 temos que definir um termo constante. Mas, temos que ressaltar uma coisa, o termo constante não tem o x como fator multiplicador. Então, por isso que o 4ac não tem a ver com o formar o quadrado de acordo com x introduzido. Embora faça parte da equação e deve, claro, ser considerado para completar a nossa fórmula de acordo com o método de completar quadrado.

Depois de (2ax)² + 2(2ax)b + b² + 4ac = b², temos o seguinte:

(2ax + b)² + 4ac = b²

Que é a forma simplificada ou alternativa de (2ax)² + 2(2ax)b + b² + 4ac = b². Sim. Vamos explicar melhor.

(2ax + b)² é o mesmo que (2ax + b)(2ax + b). Vamos calcular agora:

(2ax + b)(2ax + b) =>
4a²x² + 2abx + 2abx + b² =>
4a²x² + 4abx + b²
formula-de-Bhaskara-dentro-de-um-quadrado
Opa, obtemos o mesmo resultado de 4a²x² + 4abx + b² + 4ac = b², que já foi mostrado anteriormente.

Se temos (2ax + b)² e + 4ac = b². Agora fica fácil.

(2ax + b)² + 4ac = b² =>
(2ax + b)² = b² – 4ac =>
(2ax + b) = √(b² – 4ac) =>
2ax = -b + ou – √(b² – 4ac) =>
x = [-b + ou – √(b² – 4ac)]/2a

Temos então a famosa fórmula de Bhaskara.

Como encontrar as raízes sem Bhaskara ?

Além da fórmula que bolei, tem também outro jeito. É simples. Vamos à um exemplo:

Dada a função R em R f(x) = 2x² + 8x + 2. Como encontrar então as raízes sem fórmula de Bhaskara ou fórmula alguma ?

Basta usar o método de completar o quadrado

Basicamente usamos a(x – h)² + k = 0 para poder encontrar as raízes de uma função sem fórmula. Vamos testar com um exemplo. Digamos que f(x) = 2x² + 8x + 2.

Se vamos usar o método de completar quadrados temos então que seguir um modelo. Esse modelo por padrão é a(x – h)² + k. Isso significa que y = a(x – h)² + k.

Ora, sabemos que o eixo de simetria é -b/2a (que é o lugar localizado entre a parábola, uma linha imaginária por exemplo). Podemos deduzir então que é preciso primeiro encontrar o eixo de simetria para poder continuar a solução do vértice de uma parábola.

Por exemplo, encontre o vértice de f(x) = 2x² + 8x + 2. Vamos definir então o eixo de simetria dessa função.

-b/2a =>
-(8)/2(2) =>
-8/4 =>

-2.

Certo, nosso eixo de simetria é -2.

A técnica para usar o modelo a(x – h)² + k é a seguinte:

Agora iremos achar o vértice dessa parábola:

-delta/4a =>

-(b² – 4ac)/4a =>

-(64 -4(2)(2))/4(2) =>

-(64 – 16)/4(2) =>

-48/8 =>

O vértice da parábola é -12. Então podemos substituir na equação: (h, k) = (-2,-6).

Feito isso temos que a(x – h)² + k => 2(x + 2)² – 12

No começo, temos que ter a noção que y = 2x² + 8x + 2. Temos que y – 2 = 2x² + 8x =>

y – 2 = 2(x² + 4x)

y – 2 + 2(4) = 2(x² + 4x + 4)

y – 2 + 8 = 2(x + 2)²

y + 6 = 2(x + 2)²

y = 2(x + 2)² – 6

y = 2(x -(-2))² – 6.

Então nosso h é -2 e nosso k é -6. E agora, como achar as raízes com essas informações? Simples.

Igualamos 2(x + 2)² – 6 a 0.

2(x + 2)² – 6 = 0

2(x + 2)² = 6

(x + 2)² = 3

x + 2 = √3

x = √3 – 2 ou x = -√3 -2

Via Soma e Produto – Como encontrar as raízes ?

A fórmula da Soma e do Produto é respectivamente -b/a e c/a. Temos que definir que número vai dar -b e c em determinada equação do segundo grau ou mesmo função para encontrar as raízes.

Digamos que temos f(x) = x² + 8x + 7, temos então que a = 1, b = 8 e c = 7.

Na Soma e no Produto temos então que -8/1 e 7/1. Então temos a Soma como -8 e o produto como 7. Temos que encontrar nesses resultados, através de um jogo de sinais, o -8 para Soma e 7 para o Produto. Temos que encontrar então dois números ou fração de números que somado e multiplicado respectivamente darão -8 e 7. Vamos raciocinar um pouco.

Como o próprio nome já diz: Soma e Produto, logo entendemos que o primeiro se refere a soma e o segundo a multiplicação. Com um raciocínio rápido, podemos deduzir que 7 e 1 podem dar o resultado que almejamos -8 e 7. Vamos tentar?

7 e 1

S = 7 + 1 = 8
P = 7 * 1 = 7

(Não deu -8 e + 7)

-7 e 1

S = -7 + 1 = -6
P = -7 * 1 = -7

(Não deu -8 e + 7)

-7 e -1

S = -7 + (-1) = -8
P = -7 * -1 = 7

-8 e 7

Pronto, deu -8 e + 7. Logo as raízes de x² + 8x e + 7 são -7 e -1.

Como encontrar o vértice de uma parábola

O vértice de uma parábola pode ser encontrado com o uso do método de completar quadrados. É bastante simples. Antes, vamos entender o que é o vértice de uma parábola e sua relação com a função quadrática.

Simplesmente o vértice de uma parábola é o ponto de máxima ou o ponto de mínima. Vejamos:

vertices-de-uma-parabola-minima-e-maxima

Como então calcular esse ponto de mínima ou máxima em um gráfico?

Se vamos usar o método de completar quadrados temos então que seguir um modelo. Esse modelo por padrão é a(x – h)² + k. Isso significa que y = a(x – h)² + k. Onde a é -b/2a.

Ora, sabemos que o eixo de simetria é -b/2a (que é o lugar localizado entre a parábola, uma linha imaginária por exemplo). Podemos deduzir então que é preciso primeiro encontrar o eixo de simetria para poder continuar a solução do vértice de uma parábola.

Por exemplo, encontre o vértice de f(x) = 2x² + 8x + 2. Vamos definir então o eixo de simetria dessa função.

-b/2a =>
-(8)/2(2) =>
-8/4 =>

-2.

Certo, nosso eixo de simetria é -2. O próximo passo é encontrar o y. Ora, sabemos que f(x) = 2x² + 8x + 2 é o mesmo que y = 2x² + 8x + 2. Então, temos que substituir o resultado -2 em x. Temos então:

y = 2x² + 8x + 2 =>
y = 2(-2)² + 8(-2) + 2 =>
y = 2.4 – 16 + 2 =>
y = 8 – 16 + 2 =>
y = -6

Certo. Então nosso vértice é (-2, -6).

Esse é o método mais simples e fácil de encontrar o vértice de uma parábola. Ai nesse caso vemos o ponto mínimo da parábola.

Já no método de completar quadrados temos como já falado o modelo a(x – h)² + k. Sendo o h e o k o ponto do vértice, ou seja, (h, k) que no caso deu (-2, -6) através de outro método.

A técnica para usar o modelo a(x – h)² + k é a seguinte:

y = 2x² + 8x + 2

Nesse caso, o termo constante 2 é passado para o primeiro membro.

y – 2 = 2x² + 8x

Após isso, entendemos que 2x² + 8x é o mesmo que 2(x² + 4x). Agora, para deixar nossa equação compensada, temos que dar 2 ao primeiro membro. Assim:

y – 2 + 2( ) = 2(x² + 4x) =>

Nesse momento, adiciona o b (que é 4) dividido por 2 (que é o resultado do eixo de simetria -b/2a) e elevamos ao quadrado esse resultado no segundo membro. Após isso, compensamos o resultado no primeiro membro.

y – 2 + 2( ) = 2(x² + 4x + (4)/2) =>
y – 2 + 2( ) = 2(x² + 4x + 2 =>
y – 2 + 2( ) = 2(x² + 4x + 2²) =>
y – 2 + 2( ) = 2(x² + x + 4)

Colocamos então o 4 em 2( ) …

y – 2 + 2(4) = 2(x² + x + 4) =>
y – 2 + 8 = 2(x² + x + 4) =>
y + 6 = 2(x² + 4x + 4) =>
y = 2(x² + 4x + 4) – 6

Agora precisamos transformar o 2(x² + 4x + 4) em um quadrado perfeito. Ou, no formato a(x – h)² + k.

Que seria o mesmo que: 2(x + 2)²

Agora temos: 2(x -(+2))² + (-6). Pois queremos a(x – h)² + k. Então, h virou + 2 e k virou – 6. Temos então o vértice da parábola pelo método de completar quadrado.

2(x -2-6. O vértice é (-2, -6).

Por que aprender função do segundo grau

A função do segundo grau é extremamente importante no dia a dia. O exemplo clássico de uso da função quadrática é encontrar os pontos de máxima e de mínima de um determinado gráfico sobre algum assunto.
bola-de-canhao-parabola-negativa
Para isso encontramos os vértices da parábola e através deles conseguimos entender os pontos de máxima e mínima e tomar decisões com relação a esses dados.

Além da parte profissional, a função do segundo grau ou quadrática é também usada muito na física para o estudo de movimentos. Imagine a trajetória de uma bala de canhão? ela forma uma parábola, a bola do canhão ganha um momento de altitude e depois um momentos de declínio.

Esse movimento é uma parábola e pode ser estudada minuciosamente os momentos de altitude e a perda de força e o momento de queda do objeto após ser lançado ao ar.

Função Quadrática exercícios resolvidos

Vamos à alguns exemplos feitos de função quadrática onde se pede para encontrar as raízes da função. Para isso, iremos utilizar a fórmula de Bhaskara.

f(x) = 2x² + 5x -1.

A fórmula de Bhaskara é dada por [-b + ou – √(b² – 4ac)]/2a. Queremos achar as raízes, ou seja, as vezes que a parábola toca o eixo x.

Sendo a = 2, b = 5 e c = -1.
[-b + ou – √(b² – 4ac)]/2a =>
[-(5) + ou – √((5)² – 4(2)(-1))]/2(2) =>
[-5 + ou – √(25 + 8)]/4 =>
[-5 + ou – √(33)]/4 =>
[-5 + ou – 5.744562647]/4 =>

As raízes portanto são: -2.686140662 e 0.186140662.

Podemos pegar um exercício mais simples agora. Que tal f(x) = 2x² + 3x -2.

Sendo a = 2, b = 3 e c = -2.

[-b + ou – √(b² – 4ac)]/2a =>
[-(3) + ou – √((3)² – 4(2)(-2))]/2(2) =>
[-3 + ou – √(9 + 16)]/4) =>
[-3 + ou – √(25)]/4) =>
[-3 + ou – 5]/4) =>

As raízes são: -2 e 1/2.

2x² + 3x -2 = 0
2(-2)² + 3(-2) – 2 = 0 =>
2.4 – 6 – 2 = 0 =>
8 – 6 – 2 = 0.

Agora teste com 1/2 e veja o resultado.

O que mais se erra em função quadrática ?

O que mais se erra em função quadrática é sem dúvida a falta de entendimento da fórmula de Bhaskara e também falta de conhecimento de polinômios.

Entender o método de completar quadrado e também como Bhaskara chegou a fórmula dele é imprescindível para que você possa entender de uma vez por todas a função quadrática, sua utilidade e evitar errar coisas bobas como o caso de encontrar o vértice de uma parábola e também as raízes de uma função quadrática.

Quem não consegue entender, precisa ao menos memorizar a fórmula. Só assim então será possível evitar erros que poderiam ter sido evitados.

Como fazer o gráfico da função quadrática corretamente

É muito simples. Você deve ter em mente que um plano cartesiano é feito de pontos. Há 4 quadrantes. A parábola que surge em uma função quadrática pode ser positiva ou negativa. Em outras palavras, ela pode ser para cima ou para baixo.

O gráfico da função do segundo grau precisa ser feito conforme os pontos do plano cartesiano. Devemos tomar cuidado com isso pois podemos marcar as raízes e também o vértice em lugares errados desse plano cartesiano de x e y coordenadas.

O vértice no caso, não necessariamente será em um dos pontos, mas pode estar entre um ponto e outro ou mesmo em um ponto.

Referências externas função quadrática

1. Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara ?. Disponível em: A fórmula de Bhaskara e suas curiosidades. Acessado em: 22 novembro 2013.

2. Bhāskara II. Disponível em: Bhāskara II. Acessado em: 22 novembro 2013.


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