TAG: Equação

Ana e maria receberam a mesma quantia dos seus pais

Ana e Maria receberam a mesma quantia dos seus pais. Ana gastou a quarta parte do que recebeu, enquanto que Maria, dois quinto da sua parte. sabendo se que Maria gastou 15 reais a mais que Ana, determine o valor que cada uma delas recebeu.

Resposta da pergunta

Temos que A será Ana e M será Maria e X a quantidade de dinheiro.

A = x e M = x

A = x – x/4

M = x – 2x/5

Como Maria gastou 15 reais a mais que Ana, então:

M = x – x/4 – 15

Logo:

x – 2x/5 = x – x/4 – 15

-2x/5 = -x/4 – 15

2x/5 + x/4 = – 15

MMC dá 20.

(-8x + 5x)/20 = -15

-3x = -300

x = 100

100 é a quantidade de dinheiro que cada uma recebeu dos seus pais.

Resposta da pergunta: Ana e Maria receberam 100 em dinheiro de seus pais


Equação quártica – exercícios resolvidos

Equação quártica ou do 4° grau é definida por \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) e podemos resolvê-la pelo método de Ferrari ou podemos transformá-la para \(ax^4 + cx^2 + dx + e\) e resolver pelo método de Descartes (que separa uma equação do quarto grau em duas de grau 2).

Nesse artigo iremos ver a minha transformação para a equação do modo \(ax^4 + cx^2 + dx + e\) que tem quatro raízes.

Para isso iremos fazer uma “fórmula” para conseguir chegar na minha transformação. Essa fórmula é bastante simples, trata-se de uma manipulação algébrica para obter uma fórmula que, por iterações, podemos chegar em uma das raízes da equação quártica após diversos passos.

Equação quártica – Explicação por tópicos

Gráfico equação de quarto grau
Conceito básico da equação Quártica
Fórmula por iterações equação quártica
Transformação de Martinelli
Método de Descartes
Exemplo – Exercício resolvido

Conceito básico de equação quártica

Bem, o básico que podemos dizer sobre a equação do quarto grau é que ela, diferente das equações de grau menores como a de terceiro e segundo grau, para ela ser resolvida, é preciso utilizar o Método de Ferrari (que não iremos falar dele nesse artigo) ou utilizar outro método como o de Descartes e assim conseguiremos separar uma equação de quarto grau em duas de grau menores, no caso, duas equações quadráticas.

Para utilizar o método de Descartes é preciso saber como resolver uma equação do terceiro grau, pois durante o procedimento do uso do método de Descartes surgirá uma equação cúbica e com uma das raízes reais dela conseguiremos terminar a separação da equação quártica em duas de segundo grau.

Fórmula por iterações equação quártica

Vamos começar com a forma geral de uma equação quártica:

\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

Agora nosso objetivo é criar um binômio elevado a 4 no primeiro membro, temos:

\(ax^4 + bx^3 = – cx^2 – dx – e\)

Multiplica ambos os membros por \(256a^3\)

Temos então:

\(256a^4x^4 + 256a^3bx^3 = -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Agora iremos adicionar em ambos os membros: \( 96a^2b^2 + 16axb^3 + b^4\) .Pelo binômio de Newton fica fácil entender isso. Basta desenvolver \((4ax + b)^4\).

Temos então:

\(256a^4x^4 + 256a^3bx^3 + 96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 = \)
\(96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Organizando, colocando em evidência, temos uma situação assim:

\((4ax + b)^4 = 96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Pronto, já temos quase a nossa “fórmula” para descobrir uma das raízes de uma equação de quarto grau por iterações.

$${{ x = {{-b – \sqrt[4]{ b^4 + 16a(b^3 – 16a^2d)x + 16a^2(6b^2 – 16ac)x^2 – 256a^3e }} \over {4a}} }}$$

Ai está, após rearranjarmos a expressão temos essa igualdade acima que é a fórmula convencional, dando um chute de 1 ou -1 no x e no x² e, por iterações, ou seja, pegar o resultado e inserí-lo novamente em x e x² teremos valores se aproximando da raiz (quando elas não forem complexas).

Transformação de Martinelli

Com a minha transformação para a equação quártica sem o termo cúbico evitamos denominadores para solucioná-la com o método de Descartes.

Como provar a transformação de Martinelli

É simples, basta pegar a fórmula por iterações e inserir em x a própria fórmula. Então teremos dentro do radical algo assim:

Primeiro a fórmula por iterações:

$${{ x = {{-b – \sqrt[4]{ b^4 + 16a(b^3 – 16a^2d)x + 16a^2(6b^2 – 16ac)x^2 – 256a^3e }} \over {4a}} }}$$

E agora como chegar na transformação de Martinelli:

$${{ 16a(b^3 – 16a^2d)[{{- b – x} \over {4a}}] }}$$
$${{ 4(b^3 – 16a^2d)[{{- b – x}}] }}$$
$${{ -4(b^3 – 16a^2d) }}$$
$${{ -4b(b^3 – 16a^2d) }}$$

Podemos já adicionar:

$${{ b^4 – 256a^3e }}$$

Por fim fazemos isso com:

$${{ 16a^2(6b^2-16ac)[{{-b – x} \over 4a}][{{-b – x} \over 4a}]}}$$

Temos no primeiro desenvolvimento:

$${{ 4a(6b^2-16ac)[{{-b – x}}][{{-b – x} \over 4a}]}}$$

Fazendo:

$${{ [-b(6b^2 – 16ac) – (6b^2 – 16ac)][-b – x] }}$$

$${{ b^2(6b^2 – 16ac) + 2b(6b^2 – 16ac) + (6b^2 – 16ac) }}$$

Então podemos formar uma equação quártica com as seguintes características:

$${{ ax^4 }}$$
$${{-(6b^2 – 16ac)x^2}}$$
$${{-(2b(6b^2 – 16ac) – 4(b^3 – 16a^2d))x}}$$
$${{-(b^4 – 256a^3e + b^2(6b^2-16ac) – 4b(b^3 – 16a^2d))}}$$

Aconselho que você defina o termo a como 1 (dividir toda a equação por a torna o termo a igual a 1).

Podemos usar o método de Descartes para solucionar esse tipo de equação. O método consiste em separar uma equação de grau 4 em duas de grau 2.

Atenção: Depois de resolver a equação com a transformação de Martinelli você terá que usar a seguinte fórmula para obter de fato as raízes: Ela é:

$${{ {{-b – \alpha} \over {4a}} }}$$

Sendo Alfa uma das raiz obtida pela separação da equação do quarto grau em duas de grau 2.

Veremos um exemplo disso depois.

Método de Descartes

Vamos resolver uma equação do quarto grau da forma:

$${{ ax^4 + cx^2 + dx + e = 0 }}$$

Para isso começamos com a seguinte igualdade:

$${{y^4 + qy^2 + ry + s = (y^2 + ky + m)(y^2 -ky + n) }}$$

Portanto, igualamos essa expressão com um o produto de dois trinômios que também é 0. Feito isso temos que:

$${{m + n – k^2 = q}}$$ e

$${{k(m – n) = r}}$$

e

$${{mn = s }}$$

Certo, sabendo dessas informações podemos adquirir mais informações. Por exemplo.

$${{ m + n – k^2 = q => n = k^2 + q – m }}$$
$${{k(n – m) = r => n – m = r/k => -m = r/k – n}}$$

Temos então a situação de:

$${{ 2n = k^2 + q + r/k }}$$

e

$${{2m = k^2 + q – r/k }}$$

Feito isso podemos obter a seguinte expressão sabendo que mn = s:

$${{(k^3 + qk + r)(k^3 + qk – r) = 4sk^2}}$$

E disso conseguimos uma equação do sexto grau que também é uma cúbica.

$${{k^6 + 2qk^4 + (q^2-4s)k^2 – r^2 = 0 }}$$

Exemplo – Exercício resolvido

$${{x^4 + 52x^3 + 944x^2 + 6848x + 15360 = 0 }}$$

Feito a transformação, temos:

$${{ x^4 – 1120x^2 + 7680x + 48384 = 0}}$$

Temos que:

$${{m + n – k^2 = – 1120}}$$

$${{k(n-m) = 7680}}$$

$${{mn = 48384}}$$

$${{(k^3 – 1120k + 7680)(k^3 – 1120k – 7680) = 193536k^2 }}$$

Temos então:

$${{ k^6 – 2240k^4 + 1060864k^2 – 58982400 = 0 }}$$

Onde suas raízes são: -40, -24, -8, 8, 24 e 40.

Vamos usar a raiz 8 positivo para finalizar nossa resolução pelo método de Descartes:

$${{ m + n – 64 = – 1120 }}$$

$${{8(n – m) = 7680 }}$$

$${{mn = 48384 }}$$

Sendo assim podemos saber m e n.

$${{ m = -1056 – n }}$$

$${{ n = – 48 }}$$

$${{ m = – 1008 }}$$

Agora podemos formar as duas equações do segundo grau:

$${{ y^2 + 8y – 1008 = 0 }}$$
$${{ y^2 – 8y – 48 = 0 }}$$

Agora usamos Bháskara para descobrir as raízes dessas equações de segundo grau e obtemos que:

raiz 1 = 28
raiz 2 = -36
raiz 3 = 12
raiz 4 = -4

Agora para sabermos mesmo as raízes da equação quártica dada como exemplo precisamos ainda passar esses números para a seguinte fórmula:

$${{ {- b – (raiz) \over {4a}} }}$$

Então fazemos:

$${{ {-52 – 28 \over {4}} => -20}}$$

$${{ {-52 + 36 \over {4}} => -4}}$$

$${{ {-52 – 12 \over {4}} => -16}}$$

$${{ {-52 + 4 \over {4}} => -12 }}$$


Equação do quinto grau – método para resolver

Muito já foi falado sobre equação do quinto grau. Sabemos que há uma teoria de que não é possível resolver equação do quinto grau com radicais, mas, o que veremos nesse artigo é um método simples (que inclusive usa radical) para solucionar a equação quintica ou de 5°.

Uma fórmula é capaz de solucionar a equação do quinto grau. Lembrando que uma vez encontrada uma raiz real podemos utilizar o método resolutivo da equação do quarto grau para encontrar as demais raízes. Então, o nosso foco aqui é encontrar uma das raízes, que é a real no caso, para depois encontrar as demais raízes. Em conjunto, teremos o método para encontrar a raiz real e depois usaremos a divisão de polinômios para termos um polinômio de quarto grau e assim obter as demais raizes do polinômio de quinto grau.

Demonstração da fórmula
Como usar a fórmula
Calculadora online de equação de quinto grau
Considerações finais sobre essa fórmula

Demonstração da fórmula para resolver equação de quinto grau

O princípio dessa fórmula é “tentar completar o quadrado”. Sim, é através do teorema da equação do segundo grau que iremos obter a fórmula para a equação de quinto grau.

Podemos chamar esse método de “O método de Martinelli” para adquirir a fórmula de quinto grau.

Vamos então demonstrar a fórmula:

metodo-de-martinelli-parte1-divisao-pelo-coeficiente-a

O primeiro passo é dividir o polinômio pelo coeficiente a. Feito isso, temos que adquirir a “compensação” ou para tentar completar o quadrado. Mas, precisamos saber, através da expansão, dos termos que, representados por letras, deverão ser adicionados na equação para podermos formar a fórmula. Desenvolvemos então o produto notável:

formula-de-martinelli-parte2-produto-notavel-quinto-grau

Agora iremos pegar os quatro últimos termos e separá-los como positivos.

Também temos que ressaltar que temos cx^3 + dx^2 + ex + f (todos esses coeficientes são divididos por a e posteriormente são multiplicados por a). O mesmo ocorre com os últimos quatro termos do produto notável acima.

Então, tirando o mmc de 3125a^4 (sim, elevado a 4 pois foram multiplicados por a).

Então temos uma situação assim:

formula-de-martinelli-passo-3-mmc

O mesmo será com os demais termos cx^3 + dx^2 + ex + f.

formula-de-martinelli-passo-4

Pronto, agora é só colocarmos o produto notável (x + b/5a)^5 e igualarmos a 0.

formula-martinelli-passo-6

Pronto, agora basta passarmos para o segundo membro, depois passar como raiz de índice 5 e por fim passar b/5a para o segundo membro que teremos o valor de x. E é ai que nossa fórmula surge.

formula-martinelli-completa-parte-1

Se fizermos alguns reajustes como eliminar o denominador do radical e fazer o fator comum teremos ainda uma fórmula mais compacta:

formula-equacao-do-quinto-grau

Pronto, temos a fórmula da equação do quinto grau. Porém, como usá-la?

Como usar a fórmula da equação de quinto grau

Podemos dar um exemplo de equação do quinto grau com todas as raízes pertencendo ao conjunto dos números reais.

Vamos então escolher essa equação:

exemplo-de-equacao-do-quinto-grau

Basta substituir na fórmula os coeficientes: a = 1, b = 18, c = 121, d = 372, e = 508 e f = 240.

Temos então essa situação:

resultado-da-equacao-de-quinto-grau-na-formula

Se pegarmos o discriminante dessa fórmula e resolvermos como se fosse uma equação do terceiro grau, iremos obter um valor bem aproximado da raiz. Nesse caso podemos supor com precisão a raiz real dessa equação de quinto grau.

Após resolver a equação do terceiro grau obtemos três raízes no caso:

-2.2196036504684

-4.77488211047148

e

-4.00086307626942

Pronto, fica fácil entender que uma das raízes é -4 pois é o valor que mais se aproxima. Mas não devemos descartar que -4.774.. seja próximo de -5 e que -2.21… seja próximo de -2 e -3 (mais próximo de -2 do que de -3, então a suposição seja -2 como uma das raízes da equação do quinto grau dada). Mas.. devemos ter certeza que um ou dois resultados estão próximos de uma das raízes (quando as demais não forem complexas). Então fica fácil.

Basta substituir -4 em x que teremos -4 como resposta e é essa uma das raízes reais.

Pela divisão de polinômios chegamos a uma equação de quarto grau e por fim conseguimos obter as demais raízes. Não é necessario entrar nesse método, nosso foco aqui é encontrar uma das raizes reais da equação de quinto grau.

Calculadora online de equação de quinto grau

uma SIMPLES demonstração do calculo de raizes de uma equação do quinto grau é possível através dessa calculadora (com alguns bugs por enquanto).

Considerações finais da fórmula equação quintica

Esse método também funciona para equação cúbica. Basta criar a fórmula para isso. No meu vlog há um vídeo explicando como ela funciona para equação de terceiro grau.

Quanto aos resultados da equação quintica, pode parecer “lento” para se obter o resultado, mas com “suposições” é bem provável que você consiga encontrar, quando for inteira, a raiz real da equação de quinto grau.

Com paciência obtem-se o resultado para outras raízes irracionais, basta substituir na fórmula e resolver a equação do terceiro grau que teremos um valor aproximado da raiz e com base nesse resultado conseguiremos obter a raiz de fato da equação de quinto grau inserindo em x o valor obtido do resultado da equação do terceiro grau e devemos fazer isso sucessivamente por pelo menos 7 vezes para obter o mais aproximado valor possível da raíz.

Atenção, se o resultado ficar preso a um resultado positivo e negativo significa que você terá que igualar a fórmula ao resultado da equação do terceiro grau e fazer a multiplicação por 5a, fazer a soma por b, fazer a elevação a quinta potência, após isso, teremos no segundo membro um número, esse número deverá ser ser somado ou subtraído (dependendo do sinal) do termo independente da equação do terceiro grau que estiver no primeiro membro.

Assim, resolve-se essa nova equação e o valor da raiz vai se aproximando e por fim o valor da raiz após esses procedimentos vai aparecer corretamente e precisamente!

Mas se quiser resolver de outra maneira analítica temos esse vídeo:

 


Como descobrir a equação do primeiro grau pelo gráfico

Como descobrir a equação do primeiro grau com o uso do gráfico apenas? Essa é uma das dúvidas em matemática mais usuais e que exige do aluno um pouco de cuidado e raciocínio na hora da resolução do problema de uma equação polinomial de grau 1.

Em como descobrir o gráfico da equação/função temos a noção de como podemos encontrar o gráfico da função ou equação quando nos é dado um problema como y = ax + b.

Após isso podemos deduzir com um raciocínio simples como é a equação de um gráfico simples.

Descobrindo a equação de um gráfico

grafico-de-uma-funcao-linear

grafico-de-uma-funcao-linear-exemplo-2

Temos dois exemplos de gráfico onde eles podem nos fornecer uma equação cada um deles.

O primeiro gráfico é bastante simples assim como o segundo.

No primeiro caso temos uma reta que corta o eixo x e y respectivamente nos pontos -1 e 3. Assim, podemos concluir o seguinte, que a equação é 3x + 3 = 0.

O segredo é pegar o número que a reta intercepta em y e colocá-lo em nossa equação, então temos ax + 3 = 0. Agora se raciocinarmos um pouco veremos que se passarmos o + 3 para o outro membro teremos – 3 como resultado, então temos ax = – 3. Agora com um pouco mais de raciocínio teremos que nosso a é 3, pois temos – 1 que é interceptado pela reta no eixo x.

O mesmo ocorre com o segundo gráfico, temos ax + b, sendo b = 6 e a = 3 que nos fornece a raiz -2.

Outro caso:

Ache a equação do gráfico – Reta

grafico-de-uma-funcao-linear-1

A equação desse gráfico é -6x + 3 = 0 pois:

-6x + 3 = 0 =>
-6x = -3 =>
-x = -3/6 =>
-x = -1/2 =>

Multiplica tudo por -1 e teremos x = 1/2.

Vamos ver outros exemplos de gráfico com reta para descobrirmos a equação (do primeiro grau).

grafico-de-uma-funcao-linear-menos-dois

A equação desse gráfico é 4x – 2.

Sim, pois:

4x – 2 = 0 =>
4x = + 2 =>
x = 2/4 =>
x = 1/2

Quando o gráfico intercepta somente o eixo y

Há situações onde o gráfico só intercepta o eixo y e isso não nos dá orientação na hora de extrair a equação do primeiro grau de um gráfico dado.

grafico-de-uma-funcao-do-primeiro-grau-sem-equacao-1

Nesse caso temos as informações necessárias no gráfico para poder criar nosso sistema e encontrar uma equação do primeiro grau válida.

Vejamos. Temos y = 4, b = 1, 3a. Se colocarmos isso num sistema teremos { 4 = 3a + b, b = 1

Logo:

4 = 3a + b =>
4 = 3a + 1 =>
4 – 1 = 3a =>
3 = 3a =>
3/3 = a =>
1 = a.

Nossa equação para esse gráfico é y = x + 1.


Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo

Quanto pesa então um tijolo e meio ?????????????

Problema do tijolo Equação do primeiro grau

  • Para a solução do problema do Tijolo devemos utilizar a seguinte equação, para isso devemos então utilizar a Álgebra
  • Vamos definir a variável T como sendo a variável do peso do tijolo que iremos descobrir.

    Equação Peso do Tijolo

    Definimos a equação para saber quanto pesa um tijolo, agora, iremos definir outra equação, que é a pergunta do problema. Quanto pesa um tijolo e meio?

    Equação Tijlo Mais meio tijolo

    Essa equação é para somar o peso que iremos descobrir do tijolo com mais meio tijolo. ok? Vamos então resolver a primeira equação.

    Tirando o MMC

    Como vimos na primeira equação há uma coisa a ser feita, o MMC, sim, o MMC da primeira equação é (1,1,2) e o resultado é 2, então, igualamos o denominador.

    Equação do tijolo segundo passo

    Bom, para refrescar a memória, fazer o MMC é simples, veja que na primeira equação do tijolo disse que o MMC é (1,1,2) e o resultado é 2. Ora, da onde peguei os números 1,1,2 ? simples, veja que na primeira equação do tijolo há três membros, o primeiro que é t , o segundo é 1 e o terceiro t/2, saiba que t e 1 é o mesmo que t sobre 1, e o número 1 representando o segundo membro é o mesmo que 1 sobre 1, então é dessa forma que achei os números 1,1,2 para tirar o MMC que é 2. Uma técnica bastante simples para o cálculo do MMC é sempre pegar o resultado do MMC, dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador, por isso chegamos ao passo da equação acima. Agora vamos continuar a equação.

    Equação do primeiro Grau Tijolo terceiro passo

    Isolamos o a variável T que representa o peso do tijolo. Agora é só fazer a subtração, que teremos no primeiro membro:

    Resolução do problema do tijolo

    Agora basta cortar em ambos os membros o denominador e teremos:

    Segue que:

    Cada tijolo pesa dois kilos

    Muito bom, temos o valor do peso do Tijolo

  • Agora vamos substituir o T na segunda equação
  • Lembram da perguntinha do problema? quanto pesa um tijolo e meio?, então temos que T + T/2, ora, sabemos que T = 2, então temos:

    Um tijolo e meio pesa 3kg

    Temos então a resposta do problema do tijolo

    Um tijolo e meio pesa 3kg. Gostaram? deixem um comentário e nos sigam no Twitter


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    PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal