TAG: Álgebra

Cláudio tem certa quantidade de moedas de R$ 1,00

Cláudio tem certa quantidade de moedas de R$ 1,00 e quer distribuí-las aos seus sobrinhos, sendo um deles, o filho de sua irmã, e os demais, filhos do seu irmão. Se Cláudio der 9 moedas para cada filho do seu irmão, e as demais moedas para o filho da sua irmã, esse último receberá 3 moedas a menos do que cada um dos seus primos; mas se Cláudio der 8 moedas para cada um dos seus sobrinhos, restarão 4 moedas que não seriam distribuídas. O valor que Cláudio tem em moedas de R$ 1,00 totaliza

Resposta da pergunta

Filhos do seu irmão = 9x
Filho da sua irmã = 9 – 3 => 6

Filhos do seu irmão mais Filho da sua irmã = 8x + 8

E resta 4 moedas. Portanto + 4.

9x + 6 = 8x + 8 + 4

9x – 8x = -6 + 12

x = 6

Logo:

9.6 = 54

+ 6 que é do filho da irmã

60!

Cláudio possui 60 moedas de 1 real.


A cabeça de um peixe mede 9. A cauda é igual ao tamanho da

Cabeça mais a metade do tamanho do corpo, e o corpo é igual a cabeça mais a cauda. Qual é então o tamanho do peixe?.

Esse é um dos desafios de álgebra na Internet que existem e são famosos, esse exercício em específico, o do peixe, que na verdade é conhecido pelo desafio do peixe é muito simples de ser resolvido.

Nos deparamos com um problema bastante simples de álgebra. É muito fácil resolver essa questão quando entendemos um pouco sobre álgebra. Vamos ao exercício.

Primeiro. Vamos separar a cabeça, corpo e a cauda por variáveis. O Seguinte deve ser feito:

C = Cabeça
CO = Corpo
CA = Cauda

Um peixe mede 9 cm de cabeça

Temos então que seguir o que o problema pede, certo? então veja só.

Sabemos que a cabeça ( C ) possui 9 de comprimento. Então temos:

C = 9

Sabemos também que a cauda é igual o tamanho da cabeça mais metade do tamanho do corpo ( CA = C + CO/2 )

CA = C + CO / 2

E por último sabemos que o corpo é a cabeça mais a cauda ( CO = C + CA )

CO = C + CA

Colocando todas as equações que precisamos logo abaixo teremos mais clareza do que iremos fazer:

C = 9
CA = C + CO / 2
CO = C + CA

Agora, por onde começar? É simples, veja:

Pegamos a equação CO e substituímos, temos então:

CO = 9 + 9 + CO / 2

Agora basta resolver, lembra das regrinhas?

CO = 9 + 9 + CO / 2
CO = 18 + CO / 2
CO – CO / 2 = 18 ( CO / 2 passa como sinal de menos e isola o 18 )
CO / 2 = 18 ( CO – CO / 2 é o mesmo que CO / 2, imagine 1 – 1/2, dá 1/2, simples )
CO = 18 * 2 ( Como CO está sendo dividido por 2, passa então multiplicando o 18 do segundo membro )
CO = 36 ( Temos então CO = 36 )

Legal, descobrimos que o CO ou o Corpo é 36. E agora? simples, vamos dar continuidade a resolução.

Agora, vamos substituir novamente, dessa vez pegaremos a equação da cauda:

CA = C + CO / 2

Sabendo que CO é 36 e C é 9. Temos que substituir, teremos a seguinte equação:

CA = 9 + 36 / 2
CA = 9 + 18
CA = 27

Ora, se queremos saber o tamanho do peixe e temos que CO é 36, CA é 27 e C é 9. Temos então:

C + CO + CA = 9 + 36 + 27

Logo o tamanho do peixe é 72.


Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo

Quanto pesa então um tijolo e meio ?????????????

Problema do tijolo Equação do primeiro grau

  • Para a solução do problema do Tijolo devemos utilizar a seguinte equação, para isso devemos então utilizar a Álgebra
  • Vamos definir a variável T como sendo a variável do peso do tijolo que iremos descobrir.

    Equação Peso do Tijolo

    Definimos a equação para saber quanto pesa um tijolo, agora, iremos definir outra equação, que é a pergunta do problema. Quanto pesa um tijolo e meio?

    Equação Tijlo Mais meio tijolo

    Essa equação é para somar o peso que iremos descobrir do tijolo com mais meio tijolo. ok? Vamos então resolver a primeira equação.

    Tirando o MMC

    Como vimos na primeira equação há uma coisa a ser feita, o MMC, sim, o MMC da primeira equação é (1,1,2) e o resultado é 2, então, igualamos o denominador.

    Equação do tijolo segundo passo

    Bom, para refrescar a memória, fazer o MMC é simples, veja que na primeira equação do tijolo disse que o MMC é (1,1,2) e o resultado é 2. Ora, da onde peguei os números 1,1,2 ? simples, veja que na primeira equação do tijolo há três membros, o primeiro que é t , o segundo é 1 e o terceiro t/2, saiba que t e 1 é o mesmo que t sobre 1, e o número 1 representando o segundo membro é o mesmo que 1 sobre 1, então é dessa forma que achei os números 1,1,2 para tirar o MMC que é 2. Uma técnica bastante simples para o cálculo do MMC é sempre pegar o resultado do MMC, dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador, por isso chegamos ao passo da equação acima. Agora vamos continuar a equação.

    Equação do primeiro Grau Tijolo terceiro passo

    Isolamos o a variável T que representa o peso do tijolo. Agora é só fazer a subtração, que teremos no primeiro membro:

    Resolução do problema do tijolo

    Agora basta cortar em ambos os membros o denominador e teremos:

    Segue que:

    Cada tijolo pesa dois kilos

    Muito bom, temos o valor do peso do Tijolo

  • Agora vamos substituir o T na segunda equação
  • Lembram da perguntinha do problema? quanto pesa um tijolo e meio?, então temos que T + T/2, ora, sabemos que T = 2, então temos:

    Um tijolo e meio pesa 3kg

    Temos então a resposta do problema do tijolo

    Um tijolo e meio pesa 3kg. Gostaram? deixem um comentário e nos sigam no Twitter


    Algebrismo basico.

    Fatoração algebrica.

    Neste post estaremos vendo alguns exemplos de fatoração e finalmente estudando oque é soma, subtração, e multiplicação, e também divisão de polinomios.

    Ex-1.

    Ex-2.

    Ex-3.

    Ex-4.

    Ex-5.

    Agora que sabemos fatorar a^2 – b^2 podemos aprender outros casos.

    Este é um polinomio que sempre temos de trabalhar.
    1)

    Vamos ver um exemplo deste tipo de fatoração

    Em geral para fatorarmos um trinomio quadrado perfeito, inicialmente verificamos se o trinomio é
    de fato um quadrado perfeito, para isso, é necessario fazermos algumas contas.

    Vamos extrair a raiz de e 1, temos 2x e 1.

    agora verificamos se como se verifica, o trinomio é quadrado perfeito.

    Deste produto notavel

    podemos conseguir uma maneira mais eficiente de verificar isto.

    Um trinomio do tipo acima será quadrado perfeito se sqrt(a^2)*sqrt(b^2) = 2ab
    Isto é, extraimos a raiz quadrada dos monomios que figuram-se como elevados a potencia dois.
    e verificamos se eles estão obedecendo aigualdade acima.

    Vamos agora definir formalmente a multiplicação , divisão, e subtração de polinomios.

    Subtração.

    Seja f e g duas funções definidas num dominio D.
    A subtração delas decorre do fato de que para toda função k(x) podemos sempre obter a função
    -k(x) portanto, a subtração de f e g é expressa em termos de uma soma isto é e podemos proceder como no primeiro caso.

    A multiplicação.

    e a divisão

    O dominio destas funções soma/multiplicção/divisão/subtração obdecem certas propriedades
    mas não iremos falar sobre elas agora.


    Álgebra básica – Saiba como funciona ela

    Alguns conceitos algébricos.


    Neste post vamos trabalhar alguns conceitos algebricos para podermos ter
    melhor desenvoltura quando trabalhando com funções. Mas antes de prosseguirmos
    irei definir oque é uma função polinomial e aprenderemos a achar raizes de algumas delas.
    Uma função polinomial é uma função em uma variavel x que usualmente possui a forma P(x) = 4x + x + 6 note que Fórmula Algébrica pois . E em R, embora possamos ter em C tal como em outros conjuntos.
    Como mencionado nos ultimos posts os valores para os quais f(x) = 0 são ditos raizes ou roots da equação. Como numeros, podemos somar, dividir, subtrair, e multiplicar funções e então obtemos outras funções. A definição destas operações sobre funções polinomiais segue abaixo, em seguida falaremos de um conceito que é importante o de fatoração de polinomios.

    1) Soma de duas funções.
    Seja f e g duas funções polinomiais definidas num dominio D. A soma de f por g é defina como sendo (f+g)(x)=f(x) + g(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2) + … + … a_1x^1 + a_0x^0 + b_nx^n + b_(n-1)x^(n-1) + b_(n-2)x^(n-2) + … + … b_1x^1 + b_0x^0 =
    a_nx^n + b_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + b_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2) + b_(n-2)x^(n-2) + … + … a_1x^1 + b_1x^1 + a_0x^0 + b_0x^0

    Vou aproveitar esta deixa para falarmos do conceito de fatoração, e em seguida usaremos o conceito na expressão acima. Se nos tivermos uma expressão como a(2+b) + c(2+b) nos poderemos fatora-la, isto é faremos o termo que aparece em comum em todos os monomios ser um dos fatores do produto que teremos. Lembrando que um monimio é um produto, assim sendo 2x, 2xy, 4mxz, 7xya são monomios, ou seja monomio é toda expressão algebrica que não possui soma, tal como x/4, 5y/a e assim em diante. Temos que a + b é dito binomio e y + x + z é dito trinômio. Vamos voltar ao conceito de fatoração agora, queríamos fatorar a expressão a(2+b) + c(2+b), como (2+b) aparece em todos os monômios podemos fatora-la isto é coloca-la em evidencia. A expressão fatora ficaria então (2+b)(a + c), repare que transformamos a soma em um produto de dois binômios que por sua vez se tornou de certo modo um monômio também.

    Antes de fatorarmos aquela grande expressão da soma vamos praticar com mais alguns exemplos.

    Fórmula Álgebrica

    bem, para visualizar a igualdade acima teremos de lançar mão de alguns artifícios.

    como a, b e são números reais, temos três possibilidades.

    a primeira delas é, a menor que b

    se a menor que b então podemos dizer que existe um numero k tal que b = a + k

    mas ora, se a maior que b temos que b menor que a portanto existe k’ tal que b = a – k’

    e se b = a então certamente existe k tal que b = a + k , k = 0

    vamos reduzir os tres casos a um único caso por simplicidade.

    vamos mostrar que |k’| = |k|, onde |a| quer dizer modulo de um numero real ou distancia.
    assim sendo, |-2| = 2, |2| = 2, |-5| = 5, |8| = 8. e |-9| = |9| isto é, o modulo de um numero real
    é um numero sempre positivo.

    para mostrar que k = k’ vamos usar o fato de que se b = a + k e b = a – k’ então

    a + k = a – k’ oque temos a – a + k = – k’ = 0 + k = – k’, assim sendo k = -k’.

    e como |k| = |-k’| temos provado oque queriamos.

    Como para cada numero k positivo existe um numero -k positivo também.
    podemos reduzir tudo a um único caso. isto é.
    Se a e b são dois numeros reais então existe um numero k real tal que b = a + k.
    Pois se a menor que b sempre podemos adicionar uma quantidade negativa à b de modo a faze-lo ser igual a a e o mesmo ocorre para a maior que b acrescentando uma quantidade positiva à b afim de faze-la igual à a.

    Sendo assim começamos nossa demonstração com a asserção

    b = a + k, para algum real k.

    então podemos escrever Fórmula Algébrica - Básica como …
    Fórmula Algébrica básica

    como b = a + k, vamos isolar k em termos de b e a, encontramos…

    k = b – a

    substituindo k novamente por b e -a obtemos…
    Fórmula Algébrica básica
    lembre-se que sempre que tivermos -a isto será igual à (-1)*a, logo se temos (-x-y) isto é igual à (-1)(x+y) = -(x+y)

    logo chegamos ao que queriamos mostrar !!!

    Agora que demos uma olhada em fatoração fica mais simples entender oque vamos fazer na definição de soma de funções polinomiais.

    Fórmula Algébrica básica

    No próximo post introduziremos uma notação mais leve, a de somatório qual nos permitirá trabalhar com maior desenvoltura bem como definir as outras operações com funções polinomiais.


    Postado por
    PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal