Relação de Girard na equação cúbica

Para resolver uma equação cúbica podemos utilizar minha fórmula para equação cúbica sem problema algum. Mas, existe uma maneira mais rápida e simples de se achar as raízes (quando elas forem reais) de uma equação cubica? Sim, existe, e é com a relação de Girard que iremos resolver algumas equações do terceiro grau com ela.

A relação de Girard é bastante simples

Digamos que temos uma equação Ax³ + Bx² + Cx + D = 0.

A relação nos diz que:

a + b + c = -B/A
ab + bc + ac = C/A
abc = -D/A

Sendo a, b e c as raízes da equação cúbica.

Exercícios resolvidos equação cúbica com Relação de Girard

Só com as informações da relação de Girard fica impossível resolver uma equação cúbica ou mesmo de grau maior. Vamos então adicionar mais alguma informação para poder ser possível encontrar uma das raízes da equação cúbica que iremos apresentar.

Digamos que temos a equação cúbica:

x³ + 19x² + 110x + 200 = 0

Com a relação de Girard temos:

a + b + c = -19
ab + bc + ac = 110
abc = -200

Iremos adicionar mais uma informação:

a = 2c

Agora podemos solucionar a equação cúbica dada.

Fazemos algumas manipulações algébricas para descobrir o valor da raiz maior (pois no caso os coeficientes são todos positivos e isso indica que as raízes são negativas).

O método é:

(a + b + c)² = (-19)²

a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 361

a² + b² + c² + 2(110) = 361

a² + b² + c² = 361 – 220

a² + b² + c² = 141

Certo. Agora iremos substituir o a² por (2c)², pois a = 2c.

Temos então:

(2c)² + b² + c² = 141

4c² + b² + c² = 141

b² + 5c² = 141

Certo, agora falta acharmos o b². Para isso fazemos:

a + b + c = -19

(Lembrando que a = 2c)

2c + b + c = -19

b + 3c = -19

b = -19 – 3c

Como é b² que queremos, elevamos ambos os membros ao quadrado.

b² = (-19 – 3c)²

b² = (-19 – 3c)(-19 – 3c)

b² = 361 + 57c + 57c + 9c²

b² = 9c² + 114c + 361

Agora basta substituir em:

b² + 5c² = 141

9c² + 114c + 361 + 5c² = 141

14c² + 114c + 361 – 141 = 0

14c² + 114c + 220 = 0

Pronto, temos uma equação do segundo grau. Basta resolvê-la.

Temos x1 = -5 e x2 = -22/7

É bem provável que uma das raízes seja -5 pois -22/7 é um número fracionário.

Sabendo que -5 = c podemos substituir:

a = 2c => a = 2(-5) => a = -10

a + b + c = – 19

-10 + b – 5 = -19

b = -19 + 15

b = -4

Pronto, as raízes da equação cúbica dada são: {-10,-5,-4}.