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Problema do quadrado – Quantos quadrados possuem essa figura?

Como descobrir a quantidade de quadrados existentes em uma figura um tanto quanto estranha? Na Internet há uma figura com diversos quadrados, que, torna-se um pouco complicado de saber ao certo quantos quadrados existem na tal figura. Para isso, eu resolvi escrever um artigo de como fazer para contar os quadrados. Lembrando que um quadrado é uma figura geométrica com 4 lados e 4 vértices.

Para descobrir quantos quadrados existem nesse passa tempo, a priori, é com o uso do raciocínio e através da imaginação (imaginando os quadrados dentro dessa figura) que é possível identificar a quantidade. Mas, há uma técnica para descobrir. Primeiro, vamos ver a figura:

Quantos quadrados existem nessa figura?

quadrados-quantos-possuem-nessa-figura

Podemos notar que há diversos quadrados de diversos tamanhos. Para saber a quantidade exata de quadrados não devemos nos limitar a pensar somente nos quadrados óbvios, que são aqueles que estão dentro do quadrado maior e também aqueles quadradinhos que estão dentro dos dois quadrados dentro do quadrado maior. Vamos analisar essa figura melhor dissecando ela, ou seja, recriando a imagem.

recriando-a-figura-para-resolver-primeira-parte

Podemos notar que, o primeiro quadrado é o maior, por isso eu marquei logo à esquerda superior o número 1 em vermelho que faz parte da soma dos quadrados que existem na figura. Depois temos uma situação bastante comum que é multiplicar a primeira coluna e a linha de baixo para saber a quantidade de quadrados médios dentro do quadrado maior. Temos então 1 + 4 x 4 (1 que representa o quadrado maior e 16 que são os quadrados médios).

E agora? sabemos que há pelo menos 17 quadrados, e os demais?

Continuando a recriação da figura temos esses outros quadrados que devem ser somados aos que já contamos. Para facilitar nosso entendimento, vou apagar os detalhes em vermelho que coloquei na última imagem e vou anotar em vermelho a contagem dos novos quadrados médios e também os menores.

recriando-a-figura-para-resolver-parte-2

Podemos notar mais dois quadrados médios dentro do quadrado grande além dos já contados 16. Eles estão em uma posição entre linhas e colunas que atrapalha um pouco a contagem do total de quadrados. Mas é fácil continuar com o uso da recriação da figura. Temos então mais 2 quadrados médios e dentro desses dois quadrados médios há mais 8 quadrados pequenos (cada quadrado médio possui 4 quadrados pequenos, somados dão 8). Temos então mais 10 quadrados a serem adicionados na soma.

Portanto, até agora temos essa contagem: Na primeira etapa da recriação, encontramos 17 quadrados, agora temos mais 2 quadrados médios sendo que cada possuem 4 quadrados pequenos. Logo temos até o momento 17 + 10 = 27.

Agora vem a parte mais complicada de contar o resto dos quadrados

Notamos que na etapa anterior da recriação já conseguimos montar toda a figura. Isso implica em uma coisa: Será que já encontramos todos os quadrados? A verdade é: não! Ainda há muitos quadrados nessa figura, vamos olhar? Para facilitar nossa observação eu vou marcar em cor vermelha mais quadrados que ainda não foram encontrados aparentemente após recriarmos a figura, embora a recriação seja importante para termos uma ideia melhor do que se trata, temos agora que ir além de nossos olhos, ou melhor, além do que está aparentemente resolvido.

O que quero dizer é: Existe outras maneiras de “criar quadrados nessa figura” e isso só seria possível com uma boa observação e perder alguns minutinhos na figura. Vou mostrar a primeira etapa dessa observação intuitiva onde estão mais quadrados nessa figura através de linhas em vermelho que fiz na figura já recriada. Outra coisa que tenho que relatar antes disso é que pelo menos 40% das pessoa não percebem a existência desses quadrados. Vejamos:

outros-quadrados-imperceptiveis-a-maioria-das-pessoas-parte-1

Vejam que eu apenas contornei com vermelho outros quadrados que muitas pessoas não conseguem enxergar na figura. O mesmo seria para outros quadrados de cima e de baixo onde delimitei com vermelho:

outros-quadrados-imperceptiveis-a-maioria-das-pessoas-parte-2

E, temos mais um quadrado, mais especificamente no centro da figura. Esse quadrado faz com que pelo menos mais de 90% das pessoas errem a quantidade de quadrados existentes na figura:

quadrado-imperceptível-por-99-porcento-das-pessoas

Sim. Então temos até agora 27 quadrados encontrados mais 5 quadrados maiores como foi demonstrado acima. Até então foram encontrados 32 quadrados. Mas é só isso? Não. Vamos para a segunda parte dessa observação.

Pelo menos 50% das pessoas não enxergam esses outros quadrados

Sim, há mais quadrados nessa figura. E de acordo com nossas pesquisas pelo menos 50% das pessoas não notam esses outros quadrados. Vamos encontrar mais quadrados? Vejam a imagem abaixo:

outros-quadrados-imperceptiveis-a-maioria-das-pessoas-parte-4

E também temos essa lógica:

outros-quadrados-imperceptiveis-a-maioria-das-pessoas-parte-3

Sim. Boa parte das pessoas não encontram esses outros 4 quadrados nessa figura cerca de 50% ou 60% delas.

Agora some 32 quadrados já encontrados mais 4, temos então 36. Você acha que terminou? Não. Há mais quadrados na figura e 80% ou mais das pessoas não conseguem perceber que eles estão lá. São eles:

outros-quadrados-imperceptiveis-a-maioria-das-pessoas-parte-8

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outros-quadrados-imperceptiveis-a-maioria-das-pessoas-parte-6

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Pronto, temos então mais 4 quadrados encontrados. E esses são grandes. Some 36 com 4 e teremos um total de 40 quadrados. Legal né?

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Postagem publicada em
e atualizada em 1 de julho de 2013
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Descobrir, Dúvidas, Matemática  
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