Introdução ao calculo diferencial e integral

Definições basicas de sequencias.


Sequencia s: definições basicas

Primeiro, consideremos a sequencia . Então logo nos temos a propriedade.

É intuitivo que os numeros estão se tornando cada vez maiores. Agora consideremos a sequencia .

Neste caso, nos temos

Observe que os numeros estão se tornando cada vez menores. Você certamente pode se perguntar
se para qualquer sequencia de numeros teremos sempre um destes dois comportamentos. A resposta é claramente não, pois considere a sequencia .

Então nos temos.

Algumas poderiam pensar que esta sequencia está se tornando cada vez maior. Mas isto está errado. Pois, se calcularmos além nos teremos.

Prestem atenção no decimo numero que é igual ao nono numero. Nada errado ainda, mas
vamos verificar o decimo primeiro numero.

O decimo numero é claramente maior que o decimo primeiro numero. Isto é, a sequencia
se torna maior e maior antes dela alcançar o decimo numero então depois do decimo numero
a sequencia acaba se tornando menor e menor. È fácil encontrar um outro exemplo, no entanto
este exemplo é interessante pois a maioria de nos teriamos pensado que esta sequencia
é crescente a primeira vista.

Nota: Para verificar se uma sequencia está realmente se tornando maior
e maior nos devemos checar se

Isto certamente nos tomaria muito tempo para algumas sequencia s. Existe uma maneira
mais simples, e abstrata, isto é, nos devemos checar se para qualquer ,
isto será suficiente. Isto seria um argumento indutivo e certamente convenceria a maioria.

Definições : Considere a sequencia . Nos diremos que é

Crescente, se e somente se, para qualquer
Decrescente, se e somente se, para qualquer

Se uma destas propriedades é constatada verdadeira nos diremos que a sequencia é monotonica.

Exemplo: Verifique se a sequencia está crescendo.

Resposta: Deixe então nos teremos pois 2 > 1 então
qual nos dá

Exemplo: Verifique se a sequencia está decrescendo.

Resposta Seja . Então nos teremos n < n + 1. Portanto ...

Nota: Assim sendo, uma sequencia está crescendo se e somente se
para qualquer e decrescendo se e somente se para qualquer

Calculo integral e diferencial.

Introdução a sequencias.


Introdução à sequencias.

Certamente, sequencias são para o calculo integral oque uma calculadora é para um cientista. Existem algumas maneiras de introduzir o conceito de sequencia , algumas mais axiomaticas
e outras mais intuitivas. Nos iremos aqui, usar conceitos um pouco mais intuitivos.
Quando um cientista está fazendo ciência, ele certamente irá produzir experimentos.
Estes experimentos requerem um coletamento de dados, vamos supor que a cada dia, coletamos um dado novo. Assim sendo no primeiro dia coletamos um valor para um dado experimento

no segundo dia

e assim sendo , e

o dado coletado depois de n dias.
Claramente nos temos uma sequencia aqui, isto é, nos estamos gerando um conjunto de numeros com uma caracteristica especial que é a de ordem. Assim sendo, uma sequencia é por definição
um conjunto de numeros reais com uma ordem natural e nos eventualmente iremos usar a notação

Esta notação descreve uma sequencia de numeros onde

é o n-numero.

Definição: Considere uma sequencia

então o conjunto

é chamado de faixa da sequencia , isto é o conjunto dos valores que a sequencia varia.

Note que sequencias podem ser formalmente definindas como funções também.
Certamente no conjunto da faixa não existe uma ordem. assim sendo, considere a sequencia

então a faixa é o conjunto

Conjuntos e domínio de funções.

Produto cartesiano

Neste post vamos falar de listas e o conceito de produto cartesiano pois para seguirmos no estudo de funções precisamos dominar isto. Uma lista como o nome pode clarificar é uma sequencia de numeros que é expressa entre parenteses e usando-se virgulas. Exemplos de listas são (-1, 2, 0, 1) , (1, 2), (0, 2), (4, 1, 3), (0, 1, 2). Também chamamos de par ordenado.
Para termos uma lista precisamos também de um conjunto base, ou dois. Vamos então explicar oque produto cartesiano é. Acredito eu que a maneira mais simples de se mostrar isto é olhando atentamente para as propriedades deste objete.
Se A = {0, 1, 2} e B = {4, 2}
então o produto cartesiano de A por B é

olhando para o resultado da operação podemos perceber que o conjunto resultado possui |A| * |B| = 3 * 2 = 6 elementos. È fácil notar que para cada elemento do conjunto A existe todos os elementos do conjunto B correspondendo. Vamos calcular o produto cartesiano do conjunto B por A

Podemos notar que claramente neste exemplo, nem sempre o produto cartesiano é comutativo, mas podemos ter sim A por B igual a B por A quando A = B.

Como |C| = |D| temos para todo conjunto A e B.

É importante notarmos que podemos calcular o produto cartesiano de qualquer tipo de conjunto, de palavras, de qualquer tipo de numeros. Um exemplo é U = {a, b} vamos calcular U por U.

Atente para o quando temos um produto como
Usamos a notação para denotar tal operação.

Agora que sabemos oque são listas ou pares ordenados podemos introduzir o conceito de plano cartesiano. Um plano é um conjunto de pontos, podemos construir o plano apartir do conjunto de pontos da reta assim sendo, se temos uma reta l, cujo conjunto de pontos é expresso por *l = \{X | X \in l\} podemos calcular o produto cartesiano que será um conjunto de pares ordenados do tipo (a, b) com a e b pertencendo a l. Como é de fato conhecido que existe uma correspondencia entre pontos de uma reta de numeros reais então, vamos falar do conjunto R agora como sendo um conjunto de pontos e o conjunto *R vai ser o conjunto de pontos do plano cartesiano tal que o simbolo é lido como ‘e/and’.

É importante mencionar que podemos ter um conceito analogo para o conjunto dos numeros naturais, e inteiros, bem como qualquer outro conjunto.

Agora vamos ver como calcular o conjunto *R que é be simples.

Como sabemos que o conjunto real R é infinito, então só oque podemos ter é um esboço deste conjunto *R e visualiza-lo usando a nossa capacidade de abstração.

Assim sendo, vamos calcular *R para os valores de R’ = {-2, -1, 0, 1, 2}

neste caso *R’ = {(-2, -2), (-2, -1) , (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -2), (-1, -1), … }

Somente por estes pontos conseguimos ter uma idéia de como seria o plano cartesiano.

Certamente todos nos já temos um conceito de plano cartesiano desde cedo então lá vai uma breve definição. Definição 1. Um plano cartesiano é formado por dois eixos que são chamados x e y.
O eixo dos x é chamado abscissa e o eixo do y é chamado ordenada. O eixo do y é vertical e perpendicular ao eixo do x que é horizontal. Em baixo segue uma imagem bem como o grafico de uma reta y = 2x + 1 plotado nele.

O dominio desta função é real, e a imagem é real também.

Bem, acho que precisamos de um descanso, estamos quase lá. No proximo post estaremos
voltando ao conceito de função pois agora temos quase o armamento necessario para entendermos
bem como trabalhar com elas. !!!

Função – como entender

Como usar funções

Neste post estaremos ainda trabalhando melhor o conceito de função . Trataremos de funções comuns, que usualmente lidamos quando estamos resolvendo problemas cotidianos.
Uma função também pode ser representada graficamente tal representação se dá por dois metodos; como um conjunto de pontos no plano cartesiano, ou por um diagrama de setas. Inicialmente estaremos tratando da representação grafica dela no plano e depois passaremos para o diagrama de setas. Como para cada ponto do dominio existe apenas um numero no conjunto imagem, para traçarmos o grafico de uma função no plano cartesiano precisamos dar pontos do dominio a função para obter então o ponto que corresponde a imagem. Vamos usar como exemplo a função Vamos calcular o conjunto imagem desta função isto é o conjunto B.

Primeiro listamos o conjunto A ordenadamente em uma tabela.

y = x
A B
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2

Temos então calculado o conjunto imagem desta função que é

É interessante falarmos agora de uma outra notação que é muito usada quando se trata de funções. O conjunto C = {1, 2, 3} é um conjunto subconjunto dos numeros naturais tal conjunto pode ser expresso por esta propriedade assim tal conjunto é dito ser um intervalo dos naturais. É importante notar que o conceito pode ser expandido para os racionais, inteiros, e reais. Um outro ponto interessante é que como aquele conjunto pode ser representado na reta, pelo menos os intervalos que são reais então você pode interpreta-lo como sendo uma região da reta e assim, podemos expandir para o plano o conceito também. Mas não se preocupe com isso agora !
A notação usual de intervalo é a seguinte.

(a, b) = ]a, b[ =
[a, b] = [a, b] =
(a, b] = ]a, b] =
[a, b) = [a, b[ =

A primeira notação é a mais usada.

O o conjunto S pode ser o conjunto dos naturais, inteiros, ou reais, embora nos naturais, e inteiros o conjunto seria finito para valores inteiros de a e b.

Quando o intervalo possui ( a esquerda dizemos que o intervalo é aberto a esquerda.
quando o ) figura-se no intervalo então diz aberto a direita.
Quando tempos (a, b) então o intervalo é dito apenas aberto, e quanto tempos (a, b] é dito semi aberto a esquerda, e [a, b) semi aberto a direita, o mesmo figura-se para estar fechado o intervalo é também fechado a esquerda e assim em diante.

Agora que sabemos oque intervalos são e como usa-los podemos facilmente definir funções com maior praticidade.

Vamos calcular a imagem da função y = 2 * x cujo dominio é D = {0, 1, 2, 3}. Isto é, a função que leva cada numero do dominio a seu dobro.

Montando a tabela…
y = 2 * x
A B

0 0
1 2
2 4
3 6

Pronto, temos a imagem do conjunto B = {0, 2, 4, 6} = [0, 6]

Bem, por hoje é só pessoal. No proximo post estamos tratando ainda mais destes exemplos
e iremos calcular a imagem de outras funções. Até lá uma boa pedida seria
ir tentando calcular a imagem das funções y = 2x + 1, f(a) = 2a^2, g(x) = x – 1
e h(x) = x/2 ambas as funções definidas no dominio D = [-3, 3]

Introdução ao conceito de funções.

Entendendo melhor funções

Neste post iremos trabalhar mais em cima dos conceitos de funções pois são muito importantes. Primeiro, iremos ver mais casos de funções e logo em seguida caracterizaremos estas funções entre tres tipos. Como no ultimo post nos vimos, para que uma lei seja caracerizada uma função é ncessário que esta lei possua uma própriedade tal propriedade pode ser melhor descrita usando o seguinte predicado. Seja uma lei que associa elementos do conjunto A ao conjunto B, a lei é dita F. F é uma função se e somente se para cada elemento do conjunto A existe um elemento do conjunto B tal que a (F) b está relacionado, usualmente se escreve b = F(a) sendo e . É útil para fazermos também associações de frases à simbolos pois sem estes simbolos fica tedioso e difícil a expressabilidade de conceitos mesmo triviais. Tais associações serão inicialmente as seguintes: Quando lermos os seguintes simbolos eles estão correspondendo à "Para todo, Existe". para todo significa como o nome diz, para todo elemento de um conjunto, e existe obiviamente é; existe um elemento. Certamente eles irão sempre vir acompanhados de outro predicado que corresponderá a caracterização do elemento. Assim sendo, se temos a seguinte frase/predicado: Para todo x, x pertence à A = {1, 3, 5} então x é impar. Atualmente isto poderia descrito em simbolos como então x é impar. Mais tarde iremos aprender a converter inteiras frases em simbolos que por sua vez são mais expressiveis.
Agora um exemplo de , Existe x em A = {1, 2} tal que x é par. Se quisermos expressar isto usando o predicado de existencia, podemos fazer e x é par. Mais um exemplo de seria então x possui um sucessor, oque é verdade. E neste caso então x possui um antecessor é obviamente falso, pois 0 não possui antecessor em N.
Agora que temos as armas podemos expressar melhor oque uma função é, e como caracterizar relações, e fazermos asserções acerca delas. Certamente isto tudo também nos dá a possibilidade
de verificar se uma dada lei é ou não função com maior facilidade.
Sendo assim, vamos então lançar a definição formal doque uma função é.

Definição 1. Uma função é uma lei que associa um elemento de um conjunto A para um conjunto B.
e para cada elemento do conjunto A existe um elemento do conjunto B e apenas um elemento.
Isto é o simbolo quer dizer, existe apenas um elemento, e o simbolo quer dizer ‘então’.
Note que estamos trabalhando inicialmente intuitivamente em cima destes simbolos, eles possui um significado intuitivo que carregamos desde que aprendemos a falar. Mais adiante estaremos formalizando o conceito de predicado, e formalmente poderemos entender oque aquilo quer dizer.
E como calcular o resultado daquela expressão.
Agora que temos a definição formal de função, uma boa pedida seria tentar observar o redor
e encontrar funções, caracterzar as leis que vemos como sendo funções ou não. Isto pode parecer estranho a primeira vista mas estamos cercado delas, em toda parte, tudo pode ser visto como uma função. Tente isso, valerá a pena ! até o próximo post.

Conjuntos e suas relações.

União, intersecção, e diferença de conjuntos.

Bem, neste post irei expor os conceitos de intersecção e de união de conjuntos para então
fechar a parte de teoria dos conjuntos.
Como todos nos no dia a dia estamos acostumados a fazer soma, subtração, multiplicação etc.
Também existem operações equivalentes para conjuntos, estas operações são a únião, a subtração de conjuntos, e a intersecção. A união como a maioria já deve ter pelo menos uma intuição
é denotada por . Um exemplo seria A = {1, 2, 3} e B = {4} então .

Definição 1: Se A é um conjunto e B outro então a união de A e B é denotada por
Isto quer dizer que o conjunto C é feito de todos os elementos que aparecem em A e B.

Não apenas lidamos com a união como operação, também temos a intersecção que é muito útil
na solução de mesmo alguns problemas do dia dia. A intersecção é simples tal como a união.
Um exemplo seria se A = {1, 2} e B = {1} então a intersecção de A e B seria {1}.

Definição 2. Se A é um conjunto e B outro, então A intersecção B é denotada por isto quer dizer que I é construido por todos os elementos que aparecem em A e B ao mesmo tempo.

Agora que sabemos oque é união e intersecção, podemos definir oque é diferença de conjuntos.
A diferença de conjuntos seria o oposto da união. Um exemplo seria A = {1, 2, 3} e B = {2, 3} então A – B = { 1 }. Simples não ?

Definição 3. Se E e D são conjuntos então a diferença de E para D é denotada por A – D, e isto quer dizer que o conjunto A – D é formado por todos os elementos que aparecem em A e ao mesmo tempo não estão em D.

No começo, quando os seres humanos não tinham a noção de numero, usavamos uma noção puramente intuitiva de conjuntos mesmo sem ter esta axiomatização de hoje. Quando somamos estamos unindo coisas, quando somamos 3 palitos a quatro sorvetes estão fazendo a união do conjunto de palitos com o conjunto de sorvetes e depois oque fazemos é contar quantos elementos este conjunto novo tem. Então, poderiamos também pensar da soma como o numero de elementos que resulta depois da operação de união entre dois conjuntos. Um outro conceito importante que pertence a teoria dos conjuntos é o conceito de cardinalidade. Isto é, para cada conjunto podemos associar um numero, tal numero representa a quantidade de elementos que está dentro deste conjunto. Assim sendo, para todo conjunto podemos ter um numero. Bem, isto não é verdade para todos os conjuntos afinal, temos conjuntos que são infinitos. Quando conjuntos são infinitos então the hole is deep, comumente usamos conceitos mais abstratos para definir cardinalidade de conjuntos infinitos. Mas iremos introduzir aqui oque a cardinalidade de um conjunto finito é.

Definição 3. Dado um conjunto A, se A é finito então podemos associar A à um numero natural
que corresponde a quantidade de elementos que se figuram em A. Tal numero é expresso por |A| ou #(A).
Assim sendo, se A = {1, 2, 3} então |A| = 3, para B = {} então |B| = 0.

Um interessante fato é,

Acho que todos lembram daquela notação qual usamos para expressar elementos de conjuntos não é? Que tal se expressamos a união, intersecção, e subtração daquela maneira tão elegante ? Expressando-os assim teriamos o seguinte esquema.

onde quer dizer ou.
onde quer dizer e.

Fácil, não?

Operações fundamentais adição subtração multiplicação e divisão

operações fundamentais adição subtração multiplicação e divisão

Para treinar a matemática básica do dia a dia recomendo os seguintes links para recordar as 4 operações básicas da matemática e que também oferece alguns exercícios matemáticos para serem feitos, claro, com muita simplicidade.

Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão