Fórmula de Bhaskara

Equação do segundo grau

Neste post estaremos revendo como resolver uma equação do segundo grau bem como fatorar um polinomio de grau 2. Mas primeiramente falarei de algumas coisas importantes.
Como acredito que a maioria já tenha visto oque uma equação é, ou pelo menos tenha idéia irei ser breve. Uma equação possui dois membros e um simbolo que os conecta que é o simbolo de igualdade.

Ex. .

Note que podemos temos duas funções ali, a função f(x) = x + 1 e a função g(x) = 2x – 2.
Assim sendo podemos pensar naquilo como f(x) = g(x) também e então podemos pensar em equações como simplesmente a igualdade de funções para alguns valores destas em seus dominios.
Mas primeiro vamos nos reter a uma idéia intuitiva de igualdade para então partir para
algo mais abstrato.
Se temos uma equação isto é um objeto, um objeto que possui algumas propriedades.
Estas propriedades é oque usamos para chegar a solução da equação. Assim sendo, vamos para um exemplo pratico e introdutorio. Temos 1 = 1 que certamente é verdadeiro, notem que se sormamos 1
a ambos os membros teremos 1 + 1 = 1 + 1 que ainda assim é verdadeira. Se pegarmos 2 = 2, e somarmos 3 a ambos os membros teremos 3 + 2 = 3 + 2 que ainda assim é verdadeira. Então usando este pensamento indutivo podemos pensar que se 1 = 1 entao podemos somar -2 a ambos os membros e obter 1 + (-2) = 1 + (-2) = 1 – 2 = 1 – 2 = -1 = -1 que também é verdadeiro. Sendo assim, podemos usar este raciocinio indutivo e generalizar para; Se temos a = b então podemos somar k com k maior que 0 ou k menor que 0 ou k = 0 a ambos membros e a igualdade ainda assim será verdadeira. Mas se podemos partir de a = b então podemos partir também de a + k = b + k e obter a = b que seria util na resolução de equações. Assim sendo, se temos que x + 1 = 2, podemos aplicar as propriedades acima e somar -1 a ambos os membros que obteriamos x + 1 – 1 = 2 – 1 e obter x = 1 que é a solução da equação. Simples não ? assim sendo, abaixo segue alguns exemplos e como trabalha-los.

Ex 1.

x + 3 = 3 + x – x

Aplicando oque sabemos sobre igualdades…

Somando -3 a ambos os membros…

x + 3 – 3 = 3 + x – x – 3

Então…

x + 0 = 3 – 3 + x – x

x = x – x

Como x – x = 0

temos…

x = 0

Ex 2.

x + x + x – 1 – 2 = x – 3

Somando 1 a ambos os membros…

x + x + x – 1 – 2 + 1 = x – 3 + 1

temos…

x + x + x -1 + 1 – 2 = x – 2

Então…

x + x + x – 2 = x – 2

Somando 2 a ambos os membros.

x + x + x – 2 + 2 = x – 2 + 2

Assim..

x + x + x = x

Somando -x a ambos os membros…

x + x + x – x = 0

Daí…

x + x + x = 0

Mas ora…

x + x + x pode ser escrito como 3x.

então fica…

3x = 0.

Como o único numero que multiplica 3 e dá zero é zero. a solução é x = 0.

Bem por hoje ficaremos por aqui, nos proximos posts iremos avançar mais.
Uma boa idéia para aqueles que tem pouca pratica com este tipo de tarefa seria
praticar, criar exemploes, sentar e simplesmente brincar com estas coisas.

Até.

Fatoração de polinômios e produtos notaveis.

Conheça um pouco sobre fatoração de polinômios e produtos notáveis neste artigo essencial sobre como fatorar um polinômio, como entender produtos notáveis.

Alguns topicos importantes sobre fatoração

Neste post trabalharemos ainda mais o conceito de fatoração testando alguns exemplos.
Vamos fatorar polinomios de grau 2.

Ex 1.

Ex 2.

Ex 3.

Bem, agora iremos ver exemplos de fatoração com polinomios de grau 3.
Segue abaixo alguns produtos notaveis.

Ex 1.

x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3

Ex 2.

Ex 3.

Ex 4.

É interessante praticar estes produtos notaveis pois quando lidando com muito algebrismo
eles são extremamente uteis. Existe um programa no linux onde vocês podem testar este tipo
de fatoração/multiplicação e também outras coisas bem como calcular derivadas e integrais.
O programa é chamado maxima e é facilmente instalado atraveś do apt-get para aqueles que usam debian. Nos próximos posts estaremos trabalhando ainda mais o algebrismo e introduziremos o conceito de mmc e mdc de polinômios bem como caracterizaremos polinômios dentro de seus respectivos tipos, sejam eles fracionarios, racionais, ou irracionais e também daremos uma definição formal doque é o grau de um polinômio e também falaremos sobre como fatorar polinômios como ax^2 + bx + c onde não figura um quadrado perfeito, isto é, usando a formula de Bhaskara ou o método de completar quadrado.

Algebrismo basico.

Fatoração algebrica.

Neste post estaremos vendo alguns exemplos de fatoração e finalmente estudando oque é soma, subtração, e multiplicação, e também divisão de polinomios.

Ex-1.

Ex-2.

Ex-3.

Ex-4.

Ex-5.

Agora que sabemos fatorar a^2 – b^2 podemos aprender outros casos.

Este é um polinomio que sempre temos de trabalhar.
1)

Vamos ver um exemplo deste tipo de fatoração

Em geral para fatorarmos um trinomio quadrado perfeito, inicialmente verificamos se o trinomio é
de fato um quadrado perfeito, para isso, é necessario fazermos algumas contas.

Vamos extrair a raiz de e 1, temos 2x e 1.

agora verificamos se como se verifica, o trinomio é quadrado perfeito.

Deste produto notavel

podemos conseguir uma maneira mais eficiente de verificar isto.

Um trinomio do tipo acima será quadrado perfeito se sqrt(a^2)*sqrt(b^2) = 2ab
Isto é, extraimos a raiz quadrada dos monomios que figuram-se como elevados a potencia dois.
e verificamos se eles estão obedecendo aigualdade acima.

Vamos agora definir formalmente a multiplicação , divisão, e subtração de polinomios.

Subtração.

Seja f e g duas funções definidas num dominio D.
A subtração delas decorre do fato de que para toda função k(x) podemos sempre obter a função
-k(x) portanto, a subtração de f e g é expressa em termos de uma soma isto é e podemos proceder como no primeiro caso.

A multiplicação.

e a divisão

O dominio destas funções soma/multiplicção/divisão/subtração obdecem certas propriedades
mas não iremos falar sobre elas agora.

Álgebra básica – Saiba como funciona ela

Alguns conceitos algébricos.


Neste post vamos trabalhar alguns conceitos algebricos para podermos ter
melhor desenvoltura quando trabalhando com funções. Mas antes de prosseguirmos
irei definir oque é uma função polinomial e aprenderemos a achar raizes de algumas delas.
Uma função polinomial é uma função em uma variavel x que usualmente possui a forma P(x) = 4x + x + 6 note que Fórmula Algébrica pois . E em R, embora possamos ter em C tal como em outros conjuntos.
Como mencionado nos ultimos posts os valores para os quais f(x) = 0 são ditos raizes ou roots da equação. Como numeros, podemos somar, dividir, subtrair, e multiplicar funções e então obtemos outras funções. A definição destas operações sobre funções polinomiais segue abaixo, em seguida falaremos de um conceito que é importante o de fatoração de polinomios.

1) Soma de duas funções.
Seja f e g duas funções polinomiais definidas num dominio D. A soma de f por g é defina como sendo (f+g)(x)=f(x) + g(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2) + … + … a_1x^1 + a_0x^0 + b_nx^n + b_(n-1)x^(n-1) + b_(n-2)x^(n-2) + … + … b_1x^1 + b_0x^0 =
a_nx^n + b_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + b_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2) + b_(n-2)x^(n-2) + … + … a_1x^1 + b_1x^1 + a_0x^0 + b_0x^0

Vou aproveitar esta deixa para falarmos do conceito de fatoração, e em seguida usaremos o conceito na expressão acima. Se nos tivermos uma expressão como a(2+b) + c(2+b) nos poderemos fatora-la, isto é faremos o termo que aparece em comum em todos os monomios ser um dos fatores do produto que teremos. Lembrando que um monimio é um produto, assim sendo 2x, 2xy, 4mxz, 7xya são monomios, ou seja monomio é toda expressão algebrica que não possui soma, tal como x/4, 5y/a e assim em diante. Temos que a + b é dito binomio e y + x + z é dito trinômio. Vamos voltar ao conceito de fatoração agora, queríamos fatorar a expressão a(2+b) + c(2+b), como (2+b) aparece em todos os monômios podemos fatora-la isto é coloca-la em evidencia. A expressão fatora ficaria então (2+b)(a + c), repare que transformamos a soma em um produto de dois binômios que por sua vez se tornou de certo modo um monômio também.

Antes de fatorarmos aquela grande expressão da soma vamos praticar com mais alguns exemplos.

Fórmula Álgebrica

bem, para visualizar a igualdade acima teremos de lançar mão de alguns artifícios.

como a, b e são números reais, temos três possibilidades.

a primeira delas é, a menor que b

se a menor que b então podemos dizer que existe um numero k tal que b = a + k

mas ora, se a maior que b temos que b menor que a portanto existe k’ tal que b = a – k’

e se b = a então certamente existe k tal que b = a + k , k = 0

vamos reduzir os tres casos a um único caso por simplicidade.

vamos mostrar que |k’| = |k|, onde |a| quer dizer modulo de um numero real ou distancia.
assim sendo, |-2| = 2, |2| = 2, |-5| = 5, |8| = 8. e |-9| = |9| isto é, o modulo de um numero real
é um numero sempre positivo.

para mostrar que k = k’ vamos usar o fato de que se b = a + k e b = a – k’ então

a + k = a – k’ oque temos a – a + k = – k’ = 0 + k = – k’, assim sendo k = -k’.

e como |k| = |-k’| temos provado oque queriamos.

Como para cada numero k positivo existe um numero -k positivo também.
podemos reduzir tudo a um único caso. isto é.
Se a e b são dois numeros reais então existe um numero k real tal que b = a + k.
Pois se a menor que b sempre podemos adicionar uma quantidade negativa à b de modo a faze-lo ser igual a a e o mesmo ocorre para a maior que b acrescentando uma quantidade positiva à b afim de faze-la igual à a.

Sendo assim começamos nossa demonstração com a asserção

b = a + k, para algum real k.

então podemos escrever Fórmula Algébrica - Básica como …
Fórmula Algébrica básica

como b = a + k, vamos isolar k em termos de b e a, encontramos…

k = b – a

substituindo k novamente por b e -a obtemos…
Fórmula Algébrica básica
lembre-se que sempre que tivermos -a isto será igual à (-1)*a, logo se temos (-x-y) isto é igual à (-1)(x+y) = -(x+y)

logo chegamos ao que queriamos mostrar !!!

Agora que demos uma olhada em fatoração fica mais simples entender oque vamos fazer na definição de soma de funções polinomiais.

Fórmula Algébrica básica

No próximo post introduziremos uma notação mais leve, a de somatório qual nos permitirá trabalhar com maior desenvoltura bem como definir as outras operações com funções polinomiais.

Funções e graficos.

Grafico de funções.

No ultimo post vimos que o conjunto G do grafico de uma função está contido no produto
cartesiano do dominio pela imagem da função.
Neste post iremos encontrar melhores meios para traçar o grafico de uma função
no plano cartesiano, isto é, representa-lo graficamente. No ultimo post mencionamos
que algumas funções se anulam para determinados valores de seu dominio.
Tais pontos são ditos soluções ou raizes da função. Isto é se f(x) = 0 para algum x do dominio D de f então os valores de x para os quais f(x) é zero são ditos raizes.
Suponha então f(x) = x – 1, vamos tentar encontrar os valores de x para os quais f(x) se anula, para isso fazemos f(x) = 0 então temos x – 1 = 0, oque nos resulta em uma simples equação do primeiro grau, resolvendo-a obtemos x = 1, portanto só existe um ponto x = 1 tal que a função se anula escrevemos S = {1}. Quando uma função se iguala a zero em um ponto de seu dominio podemos também interpretar isto graficamente. A interpretação deste fato é vista como sendo o ponto onde a curva da função f(x) corta o eixo dos x. Isto é o ponto (x, 0) pertence ao grafico G da função. Usando o exemplo anterior de f(x) = x – 1, temos então o ponto (1, 0) como sendo um ponto qual pertence ao eixo dos x. No exemplo do post anterior da função teriamos como conjunto solução S = {1, -1} e teriamos portanto os pontos (1, 0) e (-1, 0) qual ambos pertencem ao eixo dos x. Há funções cujos valores nunca se anulam, tais funções seus pontos jamais cortam o eixo dos x, um exemplo de tal função é cujo grafico é interessante de vocês plotarem.
A função está definida para x = 0, pois não existe divisão por numero 0. Assim sendo, o dominio dela é R – {0} ou seja (-oo, 0) U (0, +oo). A notação (-oo, 0) ainda não vimos, mas inicialmente
pense no -oo le-se alpha, como sendo infinito. e R-{0} quer dizer como já foi explicado anteriormente, todos os numeros do conjunto R que não pertencem a {0} isto é, o conjunto R -{0} será o conjunto de todos os numeros exceto o 0. O – é dito diferença de conjuntos.
Um outro exemplo de função que jamais corta o eixo dos x é , não existe nenhum numero
em R tal que faça esta função se anular a imagem desta função é totalmente formada por valores positivos. È fácil perceber porque a imagem é , como então certamente para qualquer valor real. Isto vem de um teorema util que diz como simples não ?
Agora que sabemos o significado de f(x) = 0, vamos entender oque significa geometricamente x = 0, isto é o valor de f(0). Quando fazemox x = 0 para uma dada função f, o valor f(0) corresponde ao ponto da curva que corta o eixo do y, assim sendo (0, f(0)) é o ponto que pertence ao eixo dos y. Vamos então agora aprender como traçar o grafico de uma reta no plano cartesiano sem ter de calcular a imagem do dominio dela usando o metodo da tabela. Como é bem conhecido que por dois pontos se passa uma única reta, precisamos apenas de dois pontos para determinar de modo único uma reta no plano cartesiano. Poderiamos escolher quaisquer pontos do dominio e então calcular o valor da funçao naqueles dois pontos. Mas por motivos de simplicidade podemos calcular os pontos (0, f(0)) e (x, 0) , para achar (0, f(0)) basta substituirmos f por 0. Já para acharmos (x, 0) basta fazermos f(x) = 0, no exemplo da função x – 1, temos (1, 0) como sendo o ponto que pertence ao eixo dos x isto é que a reta corda o eixo dos x. E o ponto que pertencen ao eixo dos y é (0, -1).

Vamos agora aplicar estes conceitos para traçar o grafico de
Como fizemos anteriormente, vamos achar o ponto (0, g(0)) temos (0, -1)
portanto o ponto (0, -1) pertence ao eixo dos y.
Para acharmos o ponto cuja ordenada é 0 precisamos igualar a função x^2 – 1 a 0.
Temos segue portanto x = -1 ou x = 1, pois e
assim sendo, o conjunto solução é S = {-1, 1} que é o conjunto de valores para os quais a função se torna negativa.
Nos proximos posts estaremos trabalhando um pouco de manipulação algebrica
pois sem ela é impossível lidar com funções bem. Vamos aprender a resolver equações fracionais, e inequações e só então voltaremos ao dar uma emphase em funções desta maneira.

Funções basicas.

Estudando algumas funções basicas.

Agora que sabemos oque o plano cartesiano é, e como calcular o conjunto cartesiano de conjuntos podemos avançar no estudo de funções. Uma dica legal é conseguir um programa para plotar funções um bom programa é o geogebra e o kmplot para quem usa linux. O geogebra creio eu estar disponivel para linux também. Quando conseguir o programa é interessante brincar com ele, descobrindo como ele funciona, e plotando funções qualquer tipo.
Neste post estaremos tratando da formalização de função e de como traçar o grafico dela no plano cartesiano.

Vamos partir de um exemplo, . Vamos estudar esta função para valores proximos do 1 e do -1. Isto é valores no intervalo [-2, -2]


A B
-2 (-2)^2 – 1 = 4 – 1 = 3
-1 (-1)^2 – 1 = 1 – 1 = 0
0 (0)^2 – 1 = 0 – 1 = -1
1 1^1 – 1 = 1 – 1 = 0
2 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3

Ao olhar para esta tabela podemos extrair interessantes informações sobre esta função.
Certamente uma das mais importantes são os pontos do dominio para os quais a função se torna 0.
No exemplo acima tais pontos são -1 e 1 quanto tal situação se figura, isto é a da função se anulando diz-se que a função possui raizes nestes pontos. Assim sendo S = {-1, 1} é o conjunto das raizes da funão , tais raizes são ditas soluções para a equação =.
È importante lembrar que é uma classe importante de funções isto é, é uma função polinomal. Mais adiante estaremos tratando doque elas são e de suas propriedades.

Para acharmos o grafico desta função precisamos calcular um conjunto chamado G que é G = {(-2, 3), (-1, 0), (0, -1),
(1, 0), (2, 3)} este é o conjunto do grafico da função.

Note que G está contido em G* que é o conjunto de pontos do plano cartesiano que é igual ao conjunto como a função está definida nos reais, é impossivel calcularmos o conjunto do produto cartesiano de R por R. Só oque podemos fazer é conseguir uma intuição de como o conjunto G* vai se parecer, e é claro apartir de alguns teoremas podemos assegurar o comportamento da função em dados intervalos.
Vamos calcular G* como sendo o dominio A e a imagem B que calculamos acima na tabela.

Como A = {2, -1, 0, 2} e B = {3, 0, -1, 0, 3} calcular é simples.
temos G = {(2, 3), (2, 0), (2, -1), (2, 0), (2, 3), (-1, 3), (-1, 0), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 3), (0, 3), (0, 0), (0, -1), (0, 0), (0, 3), (2, 3), (2, 0), (2, -1), (2, 0), (2, 3)}

Assim sendo G está sempre contido em onde A é o dominio e B a imagem.

Bem, simples, mas certamente um pouco trabalhoso.

Introdução ao calculo diferencial e integral, sequencias

Sequencia e suas propriedades.

Nova Postagem


Sequencia s, e suas propriedades

Vamos voltar a nossa analogia do cientista coletando dado a cada dia onde
representa o dado coletado depois de n dias. Oque aconteceria se o cientista tivesse descoberto que o dado que ele havia coletado nos primeiros sete dias não estão corretos ou não são
bons o suficiente para ele ter uma boa analise ? Ele simplesmente teria de considerar
os dados depois do setimo dia. Então ele teria uma nova sequencia .
Que nos usaremos a notação.

De fato, uma outra maneira de escrever esta sequencia é

Claramente, a sequencia

representa o caso quanto nosso cientista descartou os dados coletados nos primeiros k dias.

Esta sequencia será denotada como calda da sequencia original. E também os primeiros k elementos
da sequencia são conhecidos como cabeça, e o tamanho é k. Usando isto então nos podemos ver que a sequencia .

<ṕ>

está decrescendo depois que nos analisamos os elementos depois dos 9 primeiros elementos
da sequencia .

isto é.

Está decrescendo. Note que nos não checamos isto antes. Assim, isto talvez seja uma boa idéia treinar você mesmo neste tipo de questões.

Nota: Note que existem exemplos de sequencia que não tem uma calda monotonica. Por exemplo, a sequencia é uma delas. Esta sequencia alterna para sempre entre dois numeros isto é 1 e -1.

Existe uma outra maneira de verificar se uma sequencia tem uma calda monotonica.

Considere a sequencia

Não é claro tão pouco óbvio que esta sequencia possui uma calda monotonica. A razão é que enquanto n cresce o numerador também cresce. Considere a função.

Se nos calcularmos a derivada teremos.

Isto é claro que f'(x) < 0, sempre que x > e. Pois n > e, para qualquer então
a calda de

está decrescendo.

Definições: Considere a sequencia . Nos diremos que
é limitada acima , se e somente se existe um numero M tal que

para qualquer . O numero M é chamado um limite superior para a sequencia .

Mais além, iremos dizer que é limitada abaixo se e somente se existe um numero m tal que

para qualquer . O numero m é chamado de um limite inferior para a sequencia .

Exemplo: A sequencia é limitada abaixo por 0( porque ela é positiva). Esta sequencia não é limitada acima.

Exemplo: A sequencia é limitada. Certamente, nos temos para qualquer ,

Portanto 0 é um limite inferior e 1 é um limite superior .

Introdução ao calculo diferencial e integral

Definições basicas de sequencias.


Sequencia s: definições basicas

Primeiro, consideremos a sequencia . Então logo nos temos a propriedade.

É intuitivo que os numeros estão se tornando cada vez maiores. Agora consideremos a sequencia .

Neste caso, nos temos

Observe que os numeros estão se tornando cada vez menores. Você certamente pode se perguntar
se para qualquer sequencia de numeros teremos sempre um destes dois comportamentos. A resposta é claramente não, pois considere a sequencia .

Então nos temos.

Algumas poderiam pensar que esta sequencia está se tornando cada vez maior. Mas isto está errado. Pois, se calcularmos além nos teremos.

Prestem atenção no decimo numero que é igual ao nono numero. Nada errado ainda, mas
vamos verificar o decimo primeiro numero.

O decimo numero é claramente maior que o decimo primeiro numero. Isto é, a sequencia
se torna maior e maior antes dela alcançar o decimo numero então depois do decimo numero
a sequencia acaba se tornando menor e menor. È fácil encontrar um outro exemplo, no entanto
este exemplo é interessante pois a maioria de nos teriamos pensado que esta sequencia
é crescente a primeira vista.

Nota: Para verificar se uma sequencia está realmente se tornando maior
e maior nos devemos checar se

Isto certamente nos tomaria muito tempo para algumas sequencia s. Existe uma maneira
mais simples, e abstrata, isto é, nos devemos checar se para qualquer ,
isto será suficiente. Isto seria um argumento indutivo e certamente convenceria a maioria.

Definições : Considere a sequencia . Nos diremos que é

Crescente, se e somente se, para qualquer
Decrescente, se e somente se, para qualquer

Se uma destas propriedades é constatada verdadeira nos diremos que a sequencia é monotonica.

Exemplo: Verifique se a sequencia está crescendo.

Resposta: Deixe então nos teremos pois 2 > 1 então
qual nos dá

Exemplo: Verifique se a sequencia está decrescendo.

Resposta Seja . Então nos teremos n < n + 1. Portanto ...

Nota: Assim sendo, uma sequencia está crescendo se e somente se
para qualquer e decrescendo se e somente se para qualquer

Calculo integral e diferencial.

Introdução a sequencias.


Introdução à sequencias.

Certamente, sequencias são para o calculo integral oque uma calculadora é para um cientista. Existem algumas maneiras de introduzir o conceito de sequencia , algumas mais axiomaticas
e outras mais intuitivas. Nos iremos aqui, usar conceitos um pouco mais intuitivos.
Quando um cientista está fazendo ciência, ele certamente irá produzir experimentos.
Estes experimentos requerem um coletamento de dados, vamos supor que a cada dia, coletamos um dado novo. Assim sendo no primeiro dia coletamos um valor para um dado experimento

no segundo dia

e assim sendo , e

o dado coletado depois de n dias.
Claramente nos temos uma sequencia aqui, isto é, nos estamos gerando um conjunto de numeros com uma caracteristica especial que é a de ordem. Assim sendo, uma sequencia é por definição
um conjunto de numeros reais com uma ordem natural e nos eventualmente iremos usar a notação

Esta notação descreve uma sequencia de numeros onde

é o n-numero.

Definição: Considere uma sequencia

então o conjunto

é chamado de faixa da sequencia , isto é o conjunto dos valores que a sequencia varia.

Note que sequencias podem ser formalmente definindas como funções também.
Certamente no conjunto da faixa não existe uma ordem. assim sendo, considere a sequencia

então a faixa é o conjunto

Conjuntos e domínio de funções.

Produto cartesiano

Neste post vamos falar de listas e o conceito de produto cartesiano pois para seguirmos no estudo de funções precisamos dominar isto. Uma lista como o nome pode clarificar é uma sequencia de numeros que é expressa entre parenteses e usando-se virgulas. Exemplos de listas são (-1, 2, 0, 1) , (1, 2), (0, 2), (4, 1, 3), (0, 1, 2). Também chamamos de par ordenado.
Para termos uma lista precisamos também de um conjunto base, ou dois. Vamos então explicar oque produto cartesiano é. Acredito eu que a maneira mais simples de se mostrar isto é olhando atentamente para as propriedades deste objete.
Se A = {0, 1, 2} e B = {4, 2}
então o produto cartesiano de A por B é

olhando para o resultado da operação podemos perceber que o conjunto resultado possui |A| * |B| = 3 * 2 = 6 elementos. È fácil notar que para cada elemento do conjunto A existe todos os elementos do conjunto B correspondendo. Vamos calcular o produto cartesiano do conjunto B por A

Podemos notar que claramente neste exemplo, nem sempre o produto cartesiano é comutativo, mas podemos ter sim A por B igual a B por A quando A = B.

Como |C| = |D| temos para todo conjunto A e B.

É importante notarmos que podemos calcular o produto cartesiano de qualquer tipo de conjunto, de palavras, de qualquer tipo de numeros. Um exemplo é U = {a, b} vamos calcular U por U.

Atente para o quando temos um produto como
Usamos a notação para denotar tal operação.

Agora que sabemos oque são listas ou pares ordenados podemos introduzir o conceito de plano cartesiano. Um plano é um conjunto de pontos, podemos construir o plano apartir do conjunto de pontos da reta assim sendo, se temos uma reta l, cujo conjunto de pontos é expresso por *l = \{X | X \in l\} podemos calcular o produto cartesiano que será um conjunto de pares ordenados do tipo (a, b) com a e b pertencendo a l. Como é de fato conhecido que existe uma correspondencia entre pontos de uma reta de numeros reais então, vamos falar do conjunto R agora como sendo um conjunto de pontos e o conjunto *R vai ser o conjunto de pontos do plano cartesiano tal que o simbolo é lido como ‘e/and’.

É importante mencionar que podemos ter um conceito analogo para o conjunto dos numeros naturais, e inteiros, bem como qualquer outro conjunto.

Agora vamos ver como calcular o conjunto *R que é be simples.

Como sabemos que o conjunto real R é infinito, então só oque podemos ter é um esboço deste conjunto *R e visualiza-lo usando a nossa capacidade de abstração.

Assim sendo, vamos calcular *R para os valores de R’ = {-2, -1, 0, 1, 2}

neste caso *R’ = {(-2, -2), (-2, -1) , (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -2), (-1, -1), … }

Somente por estes pontos conseguimos ter uma idéia de como seria o plano cartesiano.

Certamente todos nos já temos um conceito de plano cartesiano desde cedo então lá vai uma breve definição. Definição 1. Um plano cartesiano é formado por dois eixos que são chamados x e y.
O eixo dos x é chamado abscissa e o eixo do y é chamado ordenada. O eixo do y é vertical e perpendicular ao eixo do x que é horizontal. Em baixo segue uma imagem bem como o grafico de uma reta y = 2x + 1 plotado nele.

O dominio desta função é real, e a imagem é real também.

Bem, acho que precisamos de um descanso, estamos quase lá. No proximo post estaremos
voltando ao conceito de função pois agora temos quase o armamento necessario para entendermos
bem como trabalhar com elas. !!!