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Método de completar quadrado

O método de completar quadrado é super importante no cálculo e podemos transformar uma equação polinomial de grau 2 em um quadrado perfeito – (b/2a)² + o termo constante. Ou, em outras palavras, podemos transformar ax² + bx + c = 0 em algo como a(x – h)² + k (em uma expressão algébrica diferente que culmine no mesmo resultado de ax² + bx + c). Por que? Ora, a(x – h)² + k, se desenvolvermos isso, ou seja, se expandirmos teremos:

a(x – h)(x – h) + k =>
ah² – 2ahx + ax² + k

Pois (x – h)(x – h) é o mesmo que (x – h)². Se desenvolvermos somente (x – h)(x – h), (Lembra de produtos notáveis ?) nesse caso teremos:

desenvolver-formato-quadrado-perfeito-exemplo-expandido-de-a-h-a-h-exemplo

Como temos a(x – h)(x – h) + k. Então fica ah² – 2ahx + ax² + k na forma expandida. Tudo bem, mas como então transformar uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 em a(x – h)² + k ? Vamos analisar um exemplo simples.

A ideia e o primeiro passo é dividir tudo por a. Sim, então temos que dividir ax² + bx + c = 0 tudo por a. Então fica ax²/a + bx/a + c/a. Como ax²/a vai dar x², então temos que a(x² + bx/a + c/a) + k que é igual a ax² + bx + c. Por que? simples, queremos transformar ax² + bx + c em a(x – h)² + k. Se queremos isso isso, o primeiro passo seria dividir tudo por a. Ai, do lado de fora do parêntese, se faço isso eu então multiplico.

Sim, quer ver? Se multiplicarmos todos os termos dentro do parêntese por a, teremos ax² + bx + c, porém, temos o + k…

Mas, esse + k pode ser qualquer número, inclusive 0. Não sabemos ainda o valor de k. O k é o termo constante e pode ser composto de um termo mais um outro número. Em método de completar o quadrado podemos ter que k = – (b/2a)² + c (veremos o motivo disso mais adiante).

Então, para entendermos melhor o método de completar o quadrado vamos dar um exemplo geométrico.

Exemplo geométrico de completar o quadrado com expressão algébrica

quadrado-perfeito

Veja que [x + (b/2a)]² é um quadrado perfeito. Mas para que esse quadrado adquirido conseguisse essa forma geométrica perfeita foi preciso utilizar de alguns artifícios.

Vejamos. Digamos que temos o polinômio 2x² + 6x + 8 e queremos extrair dele um quadrado perfeito. Temos então:

a = 2, b = 6, c = 8.

2(x² + 6x/2 + 8/2)

Agora, para entendermos melhor ainda, iremos pegar termo por termo e transformá-los em figuras geométricas. No caso, o x² dentro do parêntese é um quadrado perfeito, mas o 6x/2 ou bx/a já é outra figura geométrica, e c/a ou 8/2 é também outra figura geométrica. Digamos que temos essas figuras:

cada-termo-uma-figura-geometrica-exemplo

Vejam que não peguei exatamente 6x/2. Eu simplesmente peguei o b que é 6 e dividi por 2. O objetivo é somar essa quantidade ao já existente 6x/2 (que resulta em 3x no caso) e dividi-lo novamente por 2 para poder completar o quadrado com as peças geométricas.

Certo, agora podemos fazer a divisão de 6/2 e 8/2. Teremos duas partes iguais na figura de 6/2. Essa parte da figura fica dessa forma então:

duas-partes-iguais-de-b-e-de-c-exemplo-de-b-2a

Sendo então 3x/2 + 3x/2, ou bx/2a + bx/2a = b/a (respectivamente temos b = 3, e a = 2).

Agora, com essas duas partes iguais de b, podemos fazer isso aqui:

duas-partes-de-b-para-completar-o-quadrado-3-e-meio

E agora? como completar esse quadrado? Precisamos raciocinar um pouco só e entender que [(6/2.2)]² é o que falta para completar esse quadrado (sendo b = 6, e a = 2). Sim, falta a área [(b/2a)]² e assim é possível completar o quadrado na figura geométrica. Veja que o termo constante ficou de fora, mas servirá para poder compensar o que foi feito. Temos matematicamente isso:

Sendo (b/2a)² o mesmo que (6/4)² nesse caso.

2[x² + (6/2)x + (6/4)² – (6/4)² + 8/2] =>
2[(x + 6/4)² – (6/4)² + 8/2]

Veja que em negrito está a parte que forma o quadrado perfeito e pode ser reduzido para essa forma (x + 6/4)².

É um artifício para completar o quadrado sem usar, por enquanto, o termo constante, mas, como não podemos esquecer do termo constante, temos que subtrair [(b/2a)]² também (é para compensar/balancear esse artifício). Mas, na figura completa, teremos o quadrado perfeito se adicionarmos [(b/2a)]² à ele. Ou seja, expandimos a área do quadrado até um certo ponto para que x² + (6/2)x + (6/4)² possa ser contraídos da forma mais otimizada possível. Isso resultou em (x + 6/4)².

Temos essas passagens com uso dos termos:

a[x² + (b/a)x + c/a] =>
a[x² + (b/a)x + (b/2a)² – (b/2a)² + c/a] =>
a[x² + (b/a)x + (b/2a)² – (b/2a)² + c/a] (Em negrito nosso quadrado perfeito) =>
a[(x + b/2a)² – (b/2a)² + c/a] =>
a(x + b/2a)² – ab/4a² + a(c/a) (Veja que eu já multiplico tudo por a e expando o (b/2a)², mas não multiplico ainda o quadrado perfeito (x + b/2a)² por a já.) =>
a(x + b/2a)² – b/4a + c (Como existia a e a no denominador e no numerador em ab/4a² e a(c/a) elimino então o expoente e o numerador, pois dá na mesma se eu manter ab/4a² e a(c/a), só faço o trabalho de eliminar o que não é preciso manter)

Vamos determinar um exemplo prático, 2x² + 6x + 8, se x = 2. Teríamos:

a = 2, b = 6, c = 8.

a[x² + (b/a)x + c/a] =>

2[x² + (6/2)x + 8/2] =>
2[x² + (6/2)x + (6/2(2))² – (6/2(2))² + (8)/(2)] =>
2[x² + (6/2)x + (6/4)² – (6/4)² + 8/2] (Em negrito nosso quadrado perfeito) =>
2(x + 6/4)² – (6/4)² + 8/2 =>
2(x + 6/4)² – 2[(6)²/(4)²] + 2(8/2) (Veja que multiplico o -[(6)²/(4)²] por 2 que é a, e também expando ele. Faço o mesmo com (8/2) que é c/a)=>
2(x + 6/4)² – 9/2 + 8 =>

Após todo esse desenvolvimento, podemos inserir o valor de x que é 2.

2(2 + 6/4)² – 9/2 + 8 =>
2(8/4 + 6/4)² – 9/2 + 8 =>
2(14/4)² – 9/2 + 8 =>
2(196/16) – 9/2 + 8 =>
2(49/4) – 9/2 + 8 =>
2(49/4) – 9/2 + 8 =>

2(12.25) – 4.5 + 8 =>
24.5 – 4.5 + 8 =>

28

O mesmo seria se inseríssemos em ax² + bx + c o x = 2 caso definíssemos a = 2, b = 6 e c = 8.

2x² + 6x + 8 =>
2(2)² + 6(2) + 8 =>
2.4 + 12 + 8 =>
8 + 12 + 8 =>

28.

Veja que é preciso compensar esse artifício com o – (b/2a), pois se dermos (b/2a) para conseguir um quadrado perfeito, temos que dar também – (b/2a), pois é um artifício para se conseguir o quadrado.

Mas, ao dar + (b/2a), conseguimos (x + b/2a)², e é isso que precisamos: Um quadrado perfeito.

Para começar o processo de completar o quadrado, tivemos de dividir o b/a por 2 (b/2a), para poder ajustar as peças geométricas em seus devidos lugares que possam formar um quadrado, e assim o quadrado ser montado por completo (no caso foi adicionado 6/4 ou 3/2 na lateral direita (b/2a) e mais 6/4 ou 3/2 em baixo da figura geométrica ou + (b/2a)).

b-2a-ao-quadrado-para-completar-o-quadrado

Certo, então, como todos podem ver, a área que necessitávamos foi preenchida. Em contra partida disso, só poderá ser possível esse preenchimento de acordo com essa flexibilidade matemática: Se adicionarmos (b/2a)².

Após isso precisamos balancear nossa expressão. Então devemos considerar -(b/2a)² como fator primordial para que o polinômio ax² + bx + c seja igual ao quadrado acima montado – (b/2a)² e mais o termo constante c.

Ou seja, todos os valores inseridos em x darão os mesmos resultados para a(x + b/2a)² – (b/2a)² + c.

Mas, lembre-se, entendemos que esse resultado é por indução (ou seja, deu um quadrado perfeito pela tentativa feita de x = 2, mas deve ser considerado R em R o x) e que, de acordo com a lógica que deve ser feita, o quadrado só vai necessitar da parte de preenchimento/o que falta para obtermos o quadrado perfeito, por isso precisamos compensar isso para que o polinômio ax² + bx + c seja igual o resultado de a(x + b/2a)² – (b/2a)² + c.

Temos então que subtrair essa diferença com o uso do termo constante e o -36/16 no caso (que é -(b/2a)²) do polinômio já dado 2x² + 6x + 8.

Por isso temos que dar -9/2 à nossa expressão também, para compensá-la e termos um quadrado perfeito porém, com um ajuste compensador desse quadrado.

Temos, então, após inserir um valor em x na expressão a(x + b/2a)² – (b/2a)² + c seja igual ao valor obtido em ax² + bx + c.

Mas o que queremos que você entenda é que a função polinomial 2x² + 6x + 8 dada como exemplo fornece os mesmos resultados.

Para x = 1, 2 e 1,3… Respectivamente, se introduzirmos em x esses valores, teremos 16, 28 e 10,222222…. Isso mostra que a matemática é flexível e uma coisa pode ser demonstrada de outra forma como é o caso do método de completar o quadrado.

O que fizemos? transformamos 2x² + 6x + 8 em a(x + b/2a)² – (b/2a)² + c, todos os valores para x introduzidos em ambas as formas darão o mesmo resultado. Ou seja, transformamos 2x² + 6x + 8 em um quadrado perfeito – (b/2a)² + c.

Após compreender esse principio você conseguiu algo de extrema importância antes de iniciar o estudo do cálculo 1 e também conheceu uma curiosidade sobre função quadrática que é o completar os quadrados para poder chegar à fórmula de Bhaskara e que o método de completar o quadrado nada mais é do que fazer um novo quadrado perfeito com o uso de artifícios como é o caso do + (b/2a)², e – (b/2a)² (esse último para balancear os valores que serão obtidos com o novo quadrado perfeito que condizem com os mesmos resultados obtidos com ax² + bx + c).

Fórmula para o método de completar quadrado

Existe uma fórmula, ou algo que podemos considerar antes de iniciar a resolução de nosso exercício. Ela é dada por:

a(x + b/2a)² – b²/4a + c

Mas devemos considerar que as passagens são super importantes, pois pode haver uma equação de segundo grau que exija mais coisas para formar o quadrado perfeito por isso a “receita” ou a fórmula seria discorrer todos esses passos:

ax² + bx + c = 0

a[x² (bx)a + c/a]

a[x² (bx)a + (b/2a)² – (b/2a)² + c/a]

a[(x + b/2a)² – (b/2a)² + c/a] (Aqui faço o quadrado perfeito com x² (bx)a + (b/2a)²)

a(x + b/2a)² – ab²/4a² + ac/a (Aqui multiplico tudo por a, nesse caso, temos a no denominador e no numerador, temos que tirá-los).

a(x + b/2a)² – b²/4a + c

Para que se torne Bhaskara faça a(x + (b/(2a)))^2 = (b^2/(4a)) – c.

Método de Al-Khwarizmi – Como fazer

O método apresentado até então se assemelha com um dos métodos de completar o quadrado de Al-Khwarizmi. Mas é o suficiente para quem deseja aprender o método de completar o quadrado sem a especificação de que seja de Al-Khwarizmi.

Pronto, temos então a fórmula passo a passo do método de completar quadrados. Esperamos ter ajudado! Qualquer dúvida, deixe um comentário.

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Postagem publicada em
e atualizada em 17 de abril de 2014
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Matemática  
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