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Lógica matemática – Exemplos e exercícios resolvidos

A lógica matemática é super importante no nosso cotidiano. Exemplo, imagine que você deseja saber a quantidade de clientes de uma empresa com base nas vendas de determinados produtos para cada cliente, dois clientes ou até mesmo três clientes em um período específico.

A lógica matemática nos proporciona mais que isso, tal é como as afirmações lógicas como no silogismo onde podemos descobrir algo falso ou verdadeiro.

Temos também os símbolos de subconjunto, união, intersecção, complementar e outros detalhes a serem falados no artigo.

Vamos lá.

Índice – lógica matemática

Exemplo prático de lógica
Exemplo problema intersecção e união
Exercícios propostos e resolvidos

Exemplo de lógica matemática

Podemos iniciar um exemplo prático de lógica. O silogismo é a conexão de ideias, porém ideias com base na lógica para termos uma argumentação lógica perfeita.

Ai temos as proposições e premissas que torna uma conclusão falsa ou verdadeira. Exemplo prático:

Todo paulista é brasileiro.
João é paulista.
logo João é brasileiro.

Esse exemplo é bastante simples e de fácil entendimento, claro que há silogismos mais complexos que não é o caso do artigo.

Em forma gráfica temos o silogismo citado dessa forma:

silogismo-em-grafico

Veja que o círculo João está dentro das outras camadas que são Paulista e Brasileiro.

Com abreviação, conseguimos B para brasileiro, P para paulista e J para João. Logo temos por subconjunto:

J ⊂ P ⊂ B

Lê-se: João é um subconjunto pertencente aos Paulistas que por sua vez é um subconjunto pertencente ao universo dos brasileiros.

Seria lógico também, pelo fato de haver somente João dentro do subconjunto dos Paulistas, dizer que João pertence ao subconjunto dos Paulistas apenas.

Claro, esse é um exemplo bastante simples de silogismo. Mas, como queremos estudar algo prático iremos entender melhor como funciona a lógica na matemática.

complementar-de-um-conjuntoVamos analisar agora a questão complementar de um conjunto.

Vamos supor que no universo A temos maçã, pera, uva e mamão. No conjunto B temos maçã e mamão.

O complementar é aquilo que não está em A. Então, temos o complementar pera e uva.

Exemplo problema de intersecção

problema-interseccao

Agora temos as intersecções com preenchimento. Podemos escrever essas intersecções de forma simbólica.

interseccao-com-preenchimento

De forma simbólica, temos os símbolos ∪ (união de) e ∩ (intersecção).

Na figura acima temos o preenchimento de diversas áreas. Para mostrar esse caso simbolicamente temos no primeiro caso:

(A ∩ B), lê-se A intersecção com B. Já no caso dos três grupos preenchidos e mais o meio temos:

(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C), lê-se: A intersecção com B união com B intersecção com C união com A intersecção com C.

interseccao-e-uniao-exemplo-7

A ∩ B ∩ C, lê-se: A intersecção com B intersecção com C.

Podemos nos deparar com outras situações, vejamos:

interseccao-exemplo-2

Nesse caso é (A ∪ B) ∩ C, lê-se A união B intersecção com C.

interseccao-exemplo-3

Nesse caso é A ∪ (B ∩ C) , lê-se A união com B intersecção com C.

interseccao-exemplo-4

(A ∩ B) ∪ (B ∩ C), lê-se, A intersecção com B união com B intersecção com C.

interseccao-exemplo-5

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C), lê-se, A intersecção com B união com A intersecção com C.

Exercícios propostos e resolvidos

Com base no que já foi falado sobre lógica matemática, intersecção, união etc é possível resolver problemas de nosso cotidiano com essa ferramenta apresentada. Vejamos:

Em uma pesquisa realizada com homens e mulheres sobre determinados tipos de roupa 21 preferiram o modelo A de roupa 40 escolheram o modelo B de roupa e 15 desejariam o modelo C de roupa. Sabe-se que 10 pessoas comprariam o modelo A e B de roupa, 6 comprariam o modelo B e C de roupa, 3 comprariam o modelo A e C de roupa e 5 comprariam os três modelos. Com esses dados responda:

Quantas pessoas participaram da pesquisa ?

Quantas pessoas gostam somente do modelo A de roupa ?

Quantas pessoas gostam somente do modelo C de roupa ?

Quantas pessoas gostam do modelo A e B de roupa ao mesmo tempo?

Para responder todas essas questões precisamos reunir o máximo de informações possíveis do problema. Nas 4 perguntas, temos uma que é super importante: o número de participantes da pesquisa. Por isso temos que fazer um diagrama e saber onde cada quantidade vai dentro das figuras. Vejamos:

diagrama-do-problema-interseccoes

Agora fica fácil. A ideia é subtrair os valores dentro das intersecções pelo total dos que preferem cada uma das roupas. No caso temos:

21 + 40 + 15 – 10 – 3 – 6 + 5 = 62

O resultado é 62. Como temos 5 pessoas que escolhem os três tipos de roupa então temos que somar ao total.

Por que temos que subtrair as intersecções desse total? Pois é simples, eles já existem entre homens e mulheres do total dos 3 grupos, então é preciso subtrair.

Temos então a resposta da primeira pergunta que é a quantidade de pessoas entrevistadas, no caso, 62 pessoas.

A segunda pergunta é ainda mais fácil.

21 – 10 – 3 + 5 = 13

Pronto, somente 13 pessoas exclusivamente gostam/comprariam do modelo A de roupa.

A terceira pergunta segue o mesmo raciocínio:

15 – 3 – 6 + 5 = 11

Somente 11 pessoas gostam exclusivamente do modelo C de roupa. E última pergunta é um pouco mais complexa. Vejamos:

Ora, se sabemos que exclusivamente o modelo A 13 pessoas gostam, então resta-nos saber qual a quantidade de pessoas que gostam exclusivamente do modelo B e somar ambos.

40 – 10 – 6 + 5 = 29

Logo temos A que é 13 + B que é 29.

Então temos 13 + 29 que é 42.

Vamos tirar a prova real disso agora. Temos 53 como soma de A + B + C, no caso 11, 13 e 29. 62 como o total de pessoas que comprariam pelo menos um dos três produtos.

A ideia é subtrair de 53 3x o número 5 que é A ∩ B ∩ C. Então temos 53 – 15 que dá 38. Se igualarmos x + 38 = 62 teremos um outro resultado:

x = 62 – 38 => x = 24. Se 24, podemos comparar isso a soma das intersecções de A, B e C. Se somarmos tudo dá 24, pois 10 + 3 + 5 + 6 = 24.

Referências externas

1. Silogismo. Disponível em: Silogismo. Acessado em 20 mar. 2014.

Como as pessoas ganham dinheiro na Internet
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Postagem publicada em
e atualizada em 2 de abril de 2014
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Funciona, Matemática  
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