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Função inversa – Como fazer e exercícios resolvidos

Em função temos a possibilidade de inverter um elemento de saída para o elemento de entrada. Essa possibilidade é possível com o uso de alguns métodos sendo a função de primeiro grau e de outros métodos sendo a função de segundo grau. O presente artigo tem como objetivo explicar de forma didática a função inversa, sua utilidade e resolver exercícios com as etapas explicadas.

Podemos adiantar que a função inversa é super importante para sabermos o que “veio antes” ou o elemento de entrada de um conjunto qualquer. Pode ser usado para desvendar situações/números dados e a lógica de um conjunto e a transformação dele em outro. Podemos então definir que f(x) é uma função qualquer e a inversa seria f-¹(x). Muitas pessoas não entendem o motivo pelo qual do -¹. Esse f-¹ ou mesmo o -¹ é estritamente reservado à inverter o valor dada uma função que ela criou. Para isso temos que sair de um ponto de partida já existente.

Se considerarmos ao pé da letra o -¹ temos que todo número base elevado a -¹ é o mesmo que o 1 dividido pela base. Se 2-¹, logo temos que o resultado disso é 1/2 ou meio, assim temos que 3-¹ é 1/3 e assim por em diante. Ou seja, não tem nada a ver com a função inversa.

Em tópicos iremos exemplificar cada detalhe dessa ferramenta no campo da matemática.

Na função composta temos alguns exemplos de função inversa durante o procedimento de calcular a composta quando se obtêm a função g(x) dada uma função f(x) do primeiro grau, exponencial ou do segundo grau. Esse processo é preciso ser feito para obter uma função que dê validade à função composta. Um exemplo é colocarmos o elemento y na função invertida por exemplo f(x) = 2x + 1, f-¹(x) = (y – 1)/2, que nos fornece a inversa ou o elemento x.

Índice – Função Inversa

grafico-da-funcao-exponencial-inversa-juntas
Conceito básico de função inversa f-¹(x)
Obter uma função inversa do primeiro grau
Gráfico da função inversa do primeiro grau
Função inversa exponencial
Gráfico da função inversa exponencial
Obter uma função inversa quadrática
Gráfico da função inversa quadrática
Fórmula de Martinelli para função inversa
Maiores dificuldades para descobrir a inversa
Função inversa em concursos e vestibulares
Uso da função inversa na prática

Conceito básico sobre Função Inversa

A função inversa é como desfazer uma função até torná-la no seu ponto inicial. Esse ponto inicial é o ponto final da nossa função inversa, ou seja, podemos citar um elemento do conjunto dos números Reais. Um exemplo disso é o seguinte. Imagine a função f(x) = 2x + 1. Qual será o inverso? Ou seja f-¹(x) ? Vamos ver um gráfico antes com essa função dada e mais um gráfico com a função inversa do mesmo. Sabemos que f(x) = 2x + 1, e sabemos também que y = 2x + 1 (isso quer dizer que para obtermos os elementos y temos que substituir o x que está sendo multiplicado por 2 e somado com 1, dai surge o conceito de função do primeiro grau ax + b, sendo a = 2 e b = 1 no caso).

Também vamos olhar como encontrar a raiz de uma função de primeiro grau.
grafico-raiz-da-funcao-do-primeiro-grau-exemplo. Para podermos achar a raiz dessa função do primeiro grau em específico tivemos que fazer essas passagens:

f(x) = 2x + 1
2x + 1 = 0 =>
2x = -1 =>
x = -1/2

Sim, precisamos isolar o f(x) = 2x + 1 com 0. Obtemos então uma equação do primeiro grau 2x + 1 = 0 e isolamos o x e então conseguimos encontrar a raiz da função do primeiro grau acima que é -1/2, mas devemos considerar que o termo independente 1 é o número que fornece a interceptação ao eixo y, então temos o par ordenado (-1/2, 1), onde -1/2 é a raiz da função f(x) = 2x + 1 e 1 é onde nossa reta intercepta o eixo y.

Agora, como seria a função inversa do primeiro grau se usarmos essa mesma função 2x + 1 ? O resultado seria o mesmo?

Gráfico da função inversa do primeiro grau

grafico-raizes-da-funcao-inversa-primeiro-grau-exemplo

A resposta é não. A raiz da função inversa de 2x + 1 ou o f-¹(x) é diferente, primeiro, vamos entender o seguinte. Se y = ax + b e temos que f(x) = 2x + 1, logo y = 2x + 1.

y = 2x + 1 =>
2x + 1 = y (Para melhor entendimento isolamos o y do lado direito).
2x = y – 1 =>
x = (y – 1)/2

Temos então nossa função inversa que é (y – 1)/2. Agora, para encontrarmos a raiz dessa função como está no gráfico entendemos que é preciso fazer esse cálculo:

f-¹(x) de 2x + 1 é igual a (y – 1)/2 então:

(y – 1)/2 = 0 =>
y/2 -1/2 = 0 =>
y/2 = 1/2 =>
y = 2(1/2) =>
y = 1

Temos então que a raiz da inversa do primeiro grau é 1. Mas, temos outro dado que é -1/2 e esse dado diz que intercepta o eixo y.

Função inversa exponencial – Exemplo das bactérias

Um exemplo clássico de função exponencial é o exemplo das bactérias que se multiplicam de forma exponencial em um curto espaço de tempo. Digamos então que em um tubo de ensaio foi jogada uma bactéria que se multiplica a cada hora. Essa multiplicação é o mesmo que 2^x, ou seja, o número dobra a cada hora. Temos então essa tabela:

tabela-de-bacterias-funcao-exponencial

Se por exemplo temos 2^x (ou seja, dois elevado a x), logo temos então que as bactérias se multiplicam em função de 2^x. Pois a cada hora o número de bactérias dobram. Então se na primeira hora passada temos 2 significa que é 2^1, na segunda hora passada, temos que é 2^2, na terceira, 2^3 e na quarta 2^4. Respectivamente, como mostra na tabela acima temos os números de bactérias 2, 4, 8 e 16.

Vamos criar então agora o gráfico dessa função exponencial e após isso explicar matematicamente como encontrar a função exponencial inversa. Temos que ressaltar que não há raízes para essa função exponencial dada. Então temos:

grafico-da-funcao-exponencial-exemplo

Veja que no final do gráfico aparenta ter uma linha retilínea. Mas, se expandirmos o gráfico à uma escala bem menor teremos algo mais acentuado do que a curvatura após considerar x = -1 que substituído em x de 2^x é 1/2, que corresponde com nosso y do gráfico.

Como encontrar então a função inversa exponencial? de acordo com o gráfico mostrado é possível entender que a inversa nada mais é do que um “espelho” desse tracejado. Temos então o gráfico da função inversa desse jeito logo abaixo e veremos como é o gráfico de uma função exponencial inversa. Lembre-se que é como um “espelho” da função exponencial o gráfico da função exponencial inversa.

grafico-da-funcao-exponencial-inversa-exemplo Veja que é como se fosse um espelho do traço feito. Um reflexo na água por exemplo. Agora, para calcularmos isso temos que entender o seguinte. O uso do logaritmo é importante. Nesse caso temos que f(x) = 2^x, logo y = 2^x. A base seria 2. Então temos que a inversa é f-¹(y) = log2y. Então, para encontrarmos a inversa temos que substituir o valor de saída no lugar do y de

f-¹(y) = log2y. Exemplo:

f-¹(2) = log2(2) =>
f-¹(2) = 1

Outro exemplo seria pegar 4 horas ou o número 16 que corresponde com a quantidade de bactérias geradas após 4 horas:

f-¹(16) = log2(16) =>
f-¹(16) = 4

Simples, não?

Obter uma função inversa quadrática

Quando nos deparamos com uma função quadrática em alguma ocasião que se pede a sua inversa, podemos dizer que há algumas formas de se fazer a inversa da mesma. A primeira delas é utilizar a famosa fórmula de Bhaskara, mas, com apenas uma adaptação. A segunda é usar o método de comparar os coeficientes, também temos o método de completar o quadrado e via uma fórmula desenvolvida por mim.

Vamos analisar nessa parte do artigo cada um dos jeitos/formas que podemos adquirir a inversa de uma função quadrática. Vamos começar por Bhaskara.

Fórmula de Bhaskara para descobrir a inversa de uma função quadrática

Se pegarmos a famosa fórmula de Bhaskara é possível descobrir a inversa de seu número. A fórmula de Bhaskara até então é o jeito mais elegante e simples de se descobrir a inversa de uma função quadrática.

Vamos pegar como exemplo uma função quadrática assim f(x) = 2x² + 4x – 6.

formula-de-bascara-inversa-da-quadratica

A única coisa que você vai ter que acrescentar nessa fórmula para descobrir a inversa de um número R após passar pela função quadrática é o – x, que no caso seria o elemento invertido de acordo com os termos a, b e c. Podemos dizer então que a expressão algébrica adquirida com a fórmula de Bhaskara para descobrir a inversa é:

formula-de-bascara-adaptada-para-achar-a-inversa

Agora é só inserir alguns elementos no conjunto A que contêm os elementos x e adquirir os elementos y com a função de exemplo f(x) = 2x² + 4x – 6. Nesse momento, inserimos no lugar do – x da expressão o valor ou elemento y que está no conjunto B após ter passado pela função. Parece confuso, mas não é. Vamos à um exemplo. Digamos que eu escolha um número qualquer, tipo 2. Temos então um diagrama assim:

A = {2}, B = {10}. Nosso conjunto B pode possuir infinitos positivos, negativos, fracionários assim como nosso conjunto A pois a função é R em R. Agora vamos usar a fórmula de Bhaskara adaptada para saber que número foi preciso inserir no conjunto A que corresponde com o elemento y 2 do conjunto B, basta fazer a substituição:

Sendo a = 2, b = 4, c = -6.

[- b + ou – √(b² – 4a(c – x) ] / 2a =>
[- 4 + ou – √((4)² – 4(2)(-6 -10) ] / 2(2) =>
[- 4 + ou – √(16 – 4(2)(-16) ] / 4 =>
[- 4 + ou – √(16 + 128) ] / 4 =>
[- 4 + ou – √144 ] / 4 =>
[- 4 + 12 ] / 4 =>
8 / 4 =>
2
Temos então nosso elemento do conjunto B (que representa os elementos y) invertido para x. Essa é sem dúvida a forma mais elegante de se obter a inversa em minha opinião. Mas, antes de continuar com outros métodos vamos entender o motivo pelo qual o termo c é preciso ser subtraído pelo elemento que queremos inverter e obter a inversa.

É muito simples. Se fizermos um gráfico com a função quadrática dada f(x) = 2x² + 4x – 6, teremos o seguinte.

funcao-quadratica-inversa-e-funcao-quadratica-grafico-exemplo

No caso conseguimos encontrar as raízes da função com o uso da Fórmula de Bhaskara. Com base nisso podemos entender com maior facilidade o motivo pelo qual devemos subtrair do termo c dentro da raiz com o elemento que desejamos inverter.

Se compararmos as raízes com o vértice da parábola veremos uma relação com o valor de entrada na fórmula (x no caso) para poder invertê-lo e obter o elemento x. Ou seja, colocamos em x na fórmula o elemento y que queremos inverter. Exemplo é inverter o número 10 que provem do número 2 dada a função R em R f(x) = 2x² + 4x – 6. Se analisarmos bem, o vértice menos o x’ e o x” dá o resultado da raiz do discriminante -4a(c – x) no caso. Essa é uma relação para entendermos o porquê temos que colocar – x na fórmula de Bhaskara e necessariamente no discriminante, porém, entre parêntese em -4a(c – x).

Agora iremos partir para outros métodos menos convencionais e também funcionáveis. São outras tecnologias da matemática.

Solucionar a função quadrática como y = ax² + bx + c

Essa maneira é bastante lógica e interessante, mas não perde a característica de y = a(x – h)² + k do método de completar o quadrado. Temos que usá-lo e chegar na inversa.

Digamos que temos uma função do segundo grau tal como f(x) = 4x² + 8x + 8. Para encontrarmos o que queremos temos que raciocinar o seguinte. Sabemos que a = 4, b = 8 e c = 8. Logo podemos chamar essa função de y = 4(x² + 2x + 2).

Temos agora que completar o quadrado, ou dar um jeito de transformar essa equação em algo como y = a(x – h)² + k. Muitas pessoas não entendem o que é o h e o k. Eles são os termos de translação vertical e horizontal dos pontos de um plano cartesiano. Como esse não é o assunto principal do artigo, não iremos entrar em muitos detalhes com relação a isso. Mas é a ideia base para conseguir uma inversa com o uso desse método.

Como temos y = 4x² + 8x + 8, pegamos o que é comum e dividimos tudo pelo coeficiente a que no caso é 4. Então divide tudo por 4 o termo a, o termo b e o termo c que respectivamente deu x² + 2x + 2. Como queremos encontrar um jeito, ou uma equação que forme novamente a mesma coisa estabelecida que foi y = 4x² + 8x + 8. Temos agora que considerar uma técnica, que é a de completar os quadrados. Para isso y = 4(x + 1)² + 4 é o mesmo que y = 4x² + 8x + 8. Sim, quer ver?

Primeiro, vamos pegar o (x + 1)² que é o mesmo que (x + 1)(x + 1). Temos então a distributiva:

(x + 1)(x + 1) =>
x² + x + x + 1 =>
x² + 2x + 1.

Porém, temos 4 que multiplica (x + 1)². Certo, então na verdade após fazer o cálculo de (x + 1)(x + 1) temos que multiplicar esse resultado por 4. Temos então:

4(x² + 2x + 1) =>
4x² + 8x + 4.

Mas peraí, não era y = 4x² + 8x + 8 ? Por isso que há o + 4 do lado de fora. É preciso colocar o + 4 ao final pelo fato de termos calculado até agora só 4x² + 8x + 4. Temos então a equação do segundo grau como y = 4x² + 8x + 8.

Agora, para continuar, temos que encontrar a inversa com base nessa técnica de transformar y = 4x² + 8x + 8 em y = 4(x + 1)² + 4 que são equivalentes e possui uma ideia de a(x – h)² + k. Mas não é exatamente por conta do sinal. Vamos entender melhor.

Temos que y = 4x² + 8x + 8, certo? e sabemos que isso é o mesmo que 4(x² + 2x + 2). Agora, se raciocinarmos um pouco veremos que (x + 1)² é o mesmo que (x² + 2x + 1). Então devemos considerar que 4(x² + 2x + 1 + 1) é equivalente a 4(x² + 2x + 2) e y = 4x² + 8x + 8 também é equivalente aos dois anteriores.

O segredo então é pegar e transformar tudo isso em y = 4(x + 1)² + 4. Ou seja, desconsideramos o + 1 que somado é 2.

Essa ideia completa um quadrado perfeito. Entendemos que o resultado adquirido, 1 no caso, é o que precisa ser o termo dentro do parêntese, por isso (x + 1). Daí surge o que queremos o y = a(x – h)² + k. Então, se sei disso, logo, 4(x + 1)² + 4, embora não devemos desconsiderar o sinal negativo de h pois o vértice de y = 4x² + 8x + 8 é (-1, 4).
grafico-funcao-quadratica-local-da-vertice-4x-8x-8-exemplo
Entenda que y = a(x – h) + k é para encontrar o vértice de uma parábola e é preciso usá-la como modelo para poder encontrar uma equação que seja possível criar uma outra equação que, no caso, é a inversa da função quadrática dada f(x) = 4x² + 8x + 8. Temos então que:

y = 4(x + 1)² + 4 =>
y – 4 = 4(x + 1)² =>
√(y – 4) = 4(x + 1) =>
√[(y – 4)/4] = (x + 1) => (Se temos dentro da raiz o denominador sozinho, tira a raiz quadrada dele, temos então o denominador que é 2)
√[(y – 4)]/2 = (x + 1) =>

-1 + ou – √[(y – 4)]/2

Então é essa a nossa expressão algébrica para inverter qualquer número dado na função. Exemplo? Vamos dizer que o elemento x de valor -3 seja passado pela função f(x) = 4x² + 8x + 8. Temos:

f(-3) = 4(-3)² + 8(-3) + 8 =>
f(-3) = 4.9 – 24 + 8 =>
f(-3) = 36 – 24 + 8 =>
f(-3) = 20

Certo, temos então em nosso conjunto A = {…,-3,…} que corresponde com o elemento y 20 do conjunto B. Nosso esquema então é A = {…,-3,…} e B = {…,20,…}. Embora seja apenas um número, temos que ressaltar que é R em R. Então pode ser testado com qualquer número.

Agora iremos testar o que achamos: x = √[(y – 4)]/2 + ou – 1. Nesse caso, temos que substituir o y pelo 20 pois é o elemento y que deve ser invertido para -3 que foi dado em A como elemento x.

x = -1 + ou – √[(y – 4)]/2
-1 + ou – √[(y – 4)]/2 =>
-1 + ou – √[(20 – 4)]/2 =>
-1 + ou – √[(16)]/2 =>
-1 + ou – 4/2 =>
-1 + ou – 2 (Aqui percebemos que é -)

Pronto, encontramos a inversa de 20 de acordo com as funções dadas e a inversa dada. Temos então que f-¹(x) = 4x² + 8x + 8 é igual a -1 + ou – √[(y – 4)]/2.

Fórmula de Martinelli para achar a inversa

Não quero me gabar, mas consegui descobrir uma fórmula capaz de encontrar a inversa.

A ideia partiu de definir qualquer elemento em positivo, claro, ter números que sejam a área de um quadrado como o 16. Parti desse pressuposto e consegui algo satisfatório.

Quando há números negativos dentro de uma das raízes é obrigatório a multiplicação por -1x e é possível tirar a raiz quadrada do número e podemos obter o resultado desejado. Veremos essa situação na demonstração do uso da fórmula.

formula-de-martinelli-via-inducao-baseada-em-Bhaskara

{+ ou – √[2a + b² +- a√4(2(c – x)² + 1)²] – b} / +-2a

Vamos analisar dois exemplos de função quadrática e ver como funciona essa fórmula.

No primeiro exemplo são todos os termos positivos:

f(x) = 5x² + 9x + 1

Temos então que a = 5, b = 9 e c = 1. Vamos substituir isso na fórmula. Como o coeficiente a é maior que 2 então temos que usar a primeira fórmula.

+- (a√(16c² + 16c + 4) – b²)

Agora, vamos fazer um esquema. Digamos que temos um diagrama assim:

A = {…-3, -2, -1, -1/3, 0, 1/3, 1, 2, 3….}

B = {…19, 3, -3, -13/9, 1, 41/9, 15, 39, 73…}

exemplo-funcao-quadratica-inversa-e-funcao-quadratica-juntas

Veja que todos os elementos dados hipoteticamente no conjunto A passaram pela função f(x) = 5x² + 9x + 1 e foi possível adquirir os elementos do grupo B. Agora iremos pegar um desses elementos y do grupo B e passar na nossa fórmula. Vamos pegar os elementos 3, -3, -13/9, 1, 41/9 e 15.

{√[5√(16x² + 16x + 4) + 51] – 9} / 10 =>
{√[5√(16(3)² + 16(3) + 4) + 51] – 9} / 10 =>
{√[5√(196) +- 51] – 9} / 10 =>
{√[5(14) +- 51] – 9} / 10 =>
{√[70 + 51] – 9} / 10 =>
{√[121] – 9} / 10 =>

{+ ou – 11 – 9} / 10 =>

20/10 => 2

Mais uma fórmula para encontrar a inversa

Outro jeito de encontrar a inversa é dado por essa fórmula:

formula-de-martinelli-pares-quadratica

Exemplo: 2x² + 4x – 6.

formula-raizes-b-par-reduzida

Dificuldades para obter a inversa de uma função qualquer

A maioria que começa a estudar função inversa vai se deparar logo de cara com algo que não é muito comum em sala de aula que é o -¹. Já falado no começo do artigo sobre esse elevado a menos um, pode parecer estranho, mas ao pé da letra, se elevarmos à -¹ a base, ou seja 2-¹ (dois elevado à menos um) teremos o 1 sendo dividido por 2. O resultado então é 1/2.

Sem sombra de dúvidas que em conjunto com a função inversa, a função composta também será ensinada. Se você não tomar cuidado é de certo que as duas matérias vão passar batidas e você não vai entender muito bem como elas possuem relação.

Em métodos convencionais como a fórmula de Bhaskara podemos descobrir o f-¹(x) de ax² + bx + c sem problema. Agora, para descobrir uma função g(x), no caso da composição de função, é preciso inverter para a origem o número e conseguir uma função que dá o fluxo de A para C. Não seria bem então um fluxo de B para C.

Função inversa em concursos e vestibulares

É de certo que em exemplos anteriores conseguimos pequenas demonstrações do uso da função inversa linear, exponencial e quadrática. Não fique preso a esse material, estude outros. Pegue provas de concurso liberadas pela instituição, de anos anteriores e tente fazê-las sem olhar no gabarito. Essa forma de estudar funciona muito bem e garante a você uma certa malícia de como deverá estudar antes de fazer a prova do(s) próximo(s) concurso(s) que você prestar.

Função inversa no dia a dia

A função inversa é super importante no dia a dia. Exemplo, digamos que desejamos saber qual é a origem de determinado número. Em função de quê surgiu determinado número? É nisso que a função inversa auxilia.

Outra vantagem da função inversa é na engenharia reversa de alguma coisa. Há uma suposta ideia de que a criptografia mais usada atualmente pode ser descriptografada com o uso de uma função polinomial. Ou seja, a função inversa com toda a certeza seria usada nisso também. Mas, com relação a isso, parece que não é possível, não é tão fácil para a decifrar.

Como as pessoas ganham dinheiro na Internet
como-ganhar-dinheiro-com-a-internet
Postagem publicada em
e atualizada em 15 de setembro de 2014
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Matemática  
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