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Função composta – Como fazer e exercícios resolvidos

Vemos muito nas aulas de matemática a função composta. Vimos em artigos anteriores função do primeiro grau, mas foi uma abordagem da função do primeiro grau simples. A função composta se caracteriza como um atalho para um terceiro conjunto. Sabemos que há dois conjuntos na função do primeiro grau, certo? vimos que para mantermos nossa função real precisamos saber quais números não podem ir no domínio da função. Como nunca podemos parar de aprender, chegou a hora de entender como funciona a função composta que é largamente utilizada nos campos da engenharia, medicina, biologia, segurança da Internet e até mesmo administração. Seria difícil saber ao certo quantas áreas o uso da função composta (ou também conhecida como composição de função) é usada.
Para começar, vamos antes ver um fluxograma de função composta sem elementos definidos para cada conjunto.

Índice – Função composta

Funcao-composta-como-fazer
Conceito de função composta
Fluxograma de (gof)(x) após criar a função h(x)
Fluxograma função composta (fog, fof, gog)
Prova de (gof)(x) de acordo com os elementos estabelecidos
Exemplo de exercício de função composta
Exercícios resolvidos – (gof)(x), (fof)(x), (gog)(x) e (fog)(x)
Função composta em concursos e vestibulares
O que mais se erra em função composta
Dificuldades na resolução de função composta
Video-Icone-artigoVídeo aula de função composta
Desafios de função composta
Uso da função composta na prática – Criptografia
Teorema para resolver g e f indefinidos
Fórmula para g(x) e f(x) quando função quadrática

Fluxograma de uma função composta possível.

Exemplo simples de fluxograma de função composta pode ser visto logo abaixo:
fluxograma-funcao-composta-gof
No fluxograma da função composta acima podemos notar que é como existisse uma terceira função que usa os elementos do conjunto A para associar-se com os elementos do conjunto C.

Nesse caso, a função \(h(x)\), ou \((gof)(x)\), é formada por \(f(x)\) e \(g(x)\). Em linguagem matemática, isso significa que \(f: A → B\) e \(g: B → C\). Agora, um “atalho” de \(A → C\) é vista como \(h(x)\). Mas por que é visto como \(h(x)?\). Alias, \(h(x)\) é como um atalho de \(A\) em \(C\). Podemos representar isso com um exemplo simples.

Imagine os conjuntos A = {…}, B = {…} e C = {…}

Esses conjuntos possuem respectivamente os elementos \(x, y, z\) que por sua vez possuem em sequência os números \(1, 2, 3\) (elementos x), \(5, 7, 9\) (elementos y) e \(9, 13, 17\) (elementos z). Isso significa que:

A = {1, 2, 3}, B = {5, 7, 9}, C = {9, 13, 17}

Os números do conjunto A foram dados hipoteticamente. Agora, para que nossa função composta seja possível, temos que determinar as funções como: \(f(x) = 2x + 3\) e \(g(x) = 2x-1\). Sabemos que \(f(x) = 2x + 3\) é o mesmo que \(y = 2x + 3\), temos então uma terceira função chamada \(h(x)\) que corresponde com \(h(x) = 2(2x + 3)-1\) (\((gof)(x)\) no caso).

Se resolvermos essa função após a substituição teremos essas passagens:

\(h(x) = g[f(x)] =>\)
\(h(x) = g[(2x + 3)]-1 => \)
\(h(x) = 2[2x + 3]-1 => \)(fazer a distributiva)
\(h(x) = 4x + 6-1 => \)(feito a distributiva)
\(h(x) = 4x + 5 => \) (6 – 1 é 5, pronto, terceira função formada)

Logo temos que \(h(x) = 4x + 5\) que é (gof)(x).

Fluxograma de (gof)(x) após criar a função h(x) = 4x + 5

Obtemos então a terceira função que funciona como um atalho de A em C que no caso é \(h(x) = 4x + 5\) e é o \((gof)(x)\), ou \(g[f(x)]\). Sim, pois substituímos o f(x) por 2x + 3, e g por 2[f(x)] – 1 para formar a função \(h(x) = 4x + 5\). Se quiséssemos achar o \((fof)(x)\), \((fog)(x)\) ou o \((gog)(x)\), respectivamente teríamos as funções: \(h(x) = 4x + 9\), \(h(x) = 4x + 1\) e \(h(x) = 4x-3\). Porém, não haveria a possibilidade de um atalho de A em C se introduzir os elementos x do conjunto A, e manter os mesmos elementos de B e C com o uso dessas funções a não ser o nosso \((gof)(x)\) já calculado como \(h(x) = 4x + 5\).

Isso significa então que \((gof)(x)\) é diferente de \((fog)(x)\), \((fof)(x)\) e \((gog)(x)\). Há casos que, dependendo das funções \(f(x)\) e \(g(x)\) estabelecidas e quando se pede para encontrar o \((fog)(x)\), \((gof)(x)\), \((gog)(x)\) ou \((fof)(x)\) podem existir os mesmos resultados ou ser uma função composta válida (mas isso é muito raro). Por isso na maioria das vezes \((gof)(x)\) não é igual a \((fog)(x)\) e vice versa. O mesmo ocorre com \((gog)(x)\) diferente de \((fof)(x)\) e vice versa. Também devemos levar em consideração que \((gog)(x)\) e \((fof)(x)\) é diferente das outras duas composição de função: \((gof)(x)\) e \((fog)(x)\).

De acordo com os elementos estabelecidos em B e C a possibilidade de um atalho de A em C existe somente com a função \((gof)(x)\) ou \(h(x) = 4x + 5\).

O motivo disso, como já falado, são os elementos já estabelecidos nos conjuntos B e C, para haver a possibilidade de um atalho de A em C, teríamos outros elementos em B e C. Ai sim, seria possível \((gog)(x)\), \((fof)(x)\) e \((fog)(x)\) com esses elementos e outras funções \(f(x)\) e \(g(x)\) estabelecidas. Vejamos:
fluxograma-funcao-composta-gof-elementos-estabelecidos
Se quiséssemos um atalho de A em C com o uso de \((fog)(x)\) teríamos que ter os números 5, 9, 13 no conjunto C. Pois \((fog)(x)\) é a função \(h(x) = 4x + 1\). Se colocássemos os três elementos do conjunto A na função de atalho \((fog)(x)\), os números 5, 9 e 13 seriam os resultados do conjunto C. Em contrapartida, não há lógica no fluxo da função composta quando se obtêm esses três elementos z no conjunto C, pois os números 5, 9 e 13 não correspondem com o fluxo \(A → B → C\). Então, os conjuntos B e C teriam que ser alterados para que haja o fluxo e ainda a possibilidade de um atalho de A em C.

Então, para ser possível nosso atalho com \((fog)(x)\) por exemplo, nessa questão, com o uso dos elementos pré-estabelecidos do conjunto A (1, 2 e 3 no caso), precisamos usar a função \(g(x) = 2x-1\) primeiro e depois \(f(x) = 2x + 3\). Podemos dizer que isso é uma malandragem matemática, pois, \(g(1) = 2(1)-1 => 1\) (esse resultado é o primeiro elemento do conjunto B, y no caso), que por sua vez, devemos usar esse resultado de g(x) na função \(f(x) = 2x + 3\), teríamos: \(f(1) = 2(1) + 3 => f(1) = 5\). Agora, se pegarmos a função \(h(x) = 4x + 1\) e colocarmos o elemento x do conjunto A, 1 no caso, teríamos \(h(1) = 4(1) + 1 => h(1) = 5\). Dessa forma, haveria \(A → B → C\) e um atalho de A em C. O mesmo para os demais elementos x adicionados ao conjunto A:

\(g(2) = 2.2-1 => g(2) = 3\)
\(f(3) = 2.3 + 3 => f(9) = 9\)
\(h(2) = 4.2 + 1 => h(2) = 9\)

\(g(3) = 2.3-1 => g(3) = 5\)
\(f(5) = 2.5 + 3 => f(5) = 13\)
\(h(3) = 4.3 + 1 => h(9) = 13\)

Ao invés de chamarmos isso de uma “malandragem”, devemos ressaltar que \((fog)(x)\) nada mais é do que \(f[g(x)]\). Temos então essa ideia de que devemos calcular primeiro o g(x), como fizemos para encontrar a função \(h(x)\) de \((gof)(x)\). Nesse caso, fazemos \(f[(2x-1)]\). Ora, sabemos que x é 1 (primeiro elemento x do conjunto A), temos então que \(f{[2(1)-1]} => f(1)\). Certo? agora, como encontramos o \(g(x)\) com o uso da substituição, podemos encontrar agora o \(f(1)\) pela substituição também, que é \(2(1) + 3\), pois \(f(x) = 2x + 3\). Muito simples. Um resumo dessa explicação é isso:

\(f[g(x)] = 2[2(1)-1] + 3 => 2[1] + 3 => 2 + 3 => 5\).

A curiosidade nisso é que no primeiro fluxograma encontrado no conceito da função composta nos deparamos com um f entre o conjunto A e o B, e um g entre o conjunto B e o C. Isso pode dar uma impressão de que é o \((fog)(x)\), mas não é. A verdade é que primeiro se calcula a função \(f(x)\) e depois o \(g(x)\) para encontrar o \((gof)(x)\) pois \((gof)(x)\) nada mais é do que \(g[f(x)]\). Sendo assim para \((gof)(x)\) temos:
\((g o f)(x) = g[f(x)] => g[2(1) + 3] => g(5)\). Entenderam? a função \(f(x) = 2x + 3\), quando colocamos o primeiro elemento x do conjunto A, é igual a 5. Logo temos então que g(5). Se g(5), então temos que substituir o g também pois \(g(x) = 2x-1 => 2(5)-1 => 9\). Para facilitar tudo isso, temos que \(g[f(x)] = 2[2(1)+3]-1 => 2[5]-1 => 10-1 => 9\). Portanto, o mesmo resultado se substituirmos tudo de uma vez só.

Veja os fluxogramas de (fog)(x), (gog)(x) e (fof)(x) com os elementos x estabelecidos em A

fluxograma-funcao-composta-fog-elementos-estabelecidos

Com base nisso, teríamos que acrescentar 1 e 3 no conjunto B e o elemento 5 no conjunto C.

O mesmo seria aplicável às funções \((gog)(x)\) e \((fof)(x)\). Vejamos os fluxogramas de \((gog)(x)\) e \((fof)(x)\):
Fluxograma-funcao-composta-gog-elementos-estabelecidos

Fluxograma-funcao-composta-fof-elementos-estabelecidos

A prova de (gof)(x) de acordo com os elementos x estabelecidos em A

Agora vamos pegar a função de \((gof)(x)\) que achamos e provaremos que existe de fato um atalho de A em C de acordo com os elementos x, y e z estabelecidos nos três conjuntos? Basta testar. Vamos lá?

Se colocarmos o primeiro elemento de x do conjunto A na função \(h(x) = 4x + 5\) teremos:

\(h(1) = 4(1) + 5\) (1 é o primeiro elemento dos elementos x do conjunto A)
\(h(1) = 9\) (corresponde com o primeiro elemento de z do conjunto C).

Agora iremos colocar em sequência o restante dos elementos x do conjunto A e obter os demais resultados:

\(h(2) = 4(2) + 5\)
\(h(2) = 13\) (corresponde com o segundo elemento de z do conjunto C).

\(h(3) = 4(3) + 5\)
\(h(3) = 17\) (corresponde com o terceiro elemento de z do conjunto C).

Entenderam o motivo pelo qual, no caso da função \(h(x) = 4x + 5\), é qual-o-resultado-de-gofcomo um “atalho” de A em C? muito simples.

Se colocarmos os elementos y do conjunto B na função \(g(x) = 2x-1\) teremos os resultados equivalentes aos números dos elementos z do conjunto C, mas não será um atalho, antes foi preciso passar pela função f(x) para obter os elementos y do conjunto B.

\(g(5) = 2(5)-1\)
\(g(5) = 9\) (correspondendo com o primeiro elemento de z do conjunto C)

\(g(7) = 2(7)-1\)
\(g(7) = 13\) (corresponde com o segundo elemento de z do conjunto C)

\(g(9) = 2(9)-1\)
\(g(9) = 17\) (corresponde com o terceiro elemento de z do conjunto C)

Agora, para finalizar nosso entendimento, vamos calcular os elementos do conjunto A na função f(x) = 2x + 3.

\(f(1) = 2(1) + 3\)
f(1) = 5 (corresponde com o primeiro elemento de y do conjunto B)

\(f(2) = 2(2) + 3\)
\(f(2) = 7\) (corresponde com o segundo elemento de y do conjunto B)

\(f(3) = 2(3) + 3\)
\(f(3) = 9\) (corresponde com o terceiro elemento de y do conjunto B)

Pronto, agora sabemos como funciona a função composta e seu fluxo.

A Simbologia: \((fog)(x) = f[g(x)], (gof)(x) = g[f(x)], (fof)(x) = f[f(x)]\) e \((gog)(x) = g[g(x)]\) representa comumente a função composta quando nos deparamos com ela no ensino médio, concursos e na universidade. E são possíveis dependendo dos elementos que cada um dos conjuntos possuem JUNTOS (A, B e C, quando dados hipotéticos estabelecidos devem estar em harmonia com o que há dentro desses conjuntos para a função composta ser possível). Também nos deparamos com \((gof)(x), (fof)(x), (gog)(x)\) e \((gof)(x)\).

A função \(h(x)\) ou composta é uma função sobrejetora pelo fato de poder associar-se mais de uma vez um elemento x à um mesmo elemento y. Mas, ocorre também a característica de função injetora que associa-se unicamente com um elemento y o elemento x.

O conceito de função composta torna-se complicado de ser entendido se você não prestar atenção e não tiver um material adequado de estudo.

Exemplo de função composta – Fácil fazer

\(f(x) = 2x-1, g(x) = x-1\), determine \(g[f(1)]\).

Neste exercício de função composta acima devemos determinar o g o f, ou em outras palavras, determinar a função composta de f: 1. Para isso vamos fazer o seguinte.

Solução do exercício de função composta

\((gof)(1) = g[f(1)]\)

Sei que \(f(x) = 2x-1\), sei também que está definido g[f(1)], então, se eu substituir o x na função \(f(x) = 2x-1\) terei: \(f(1) = 2(1)-1 → f(1) = 1\).

Opa, tenho \(f(1) = 1\), então, vamos dar continuidade a resolução da função composta acima.

Ora, sabemos que \(g(x) = x-1\), certo? e temos também que g(1) pois sei que f(1) é 1, então basta substituir o x por 1. temos então:

\(g(x) = x-1 → g(1) = 1-1 → g(1) = 0\)

Muito bom!, resolvemos a função composta, conseguimos determinar \(g[f(1)]\) que é 0.

Exercícios resolvidos função composta – (gof)(x), (fof)(x), (gog)(x) e (fog)(x)

Vamos considerar as seguintes funções:

  • \(f(x) = 2x + 3\)
  • \(g(x) = 2x-1\)
  • Queremos achar \(f[g(x)]\) ou \((fog)(x)\), vamos fazer? Para isso deveremos determinar x.

    \(2[g(x)] + 3\) (pegamos a função f(x) e substituímos o \(x\) por \(g(x)\))
    \(2[(2x-1)] + 3\) (substituímos \(g(x)\) por \(2x-1\) que é \(g(x)\))
    \(4x-2 + 3\) (fizemos a distributiva)
    \(4x + 1\) (fizemos a soma e deu 1 positivo)
    \(x =-1/4\) (ao isolar o x temos que trocar o sinal, passa a ser então negativo, temos agora menos um quarto)encontrar-o-fog-em-funcao-composta

    Achamos o x, ele é -1/4.

    Agora vamos achar o \(g(x)\). Basta substituir o X.

    \(g(-1/4) = 2(-1/4)-1\)
    \(g(-1/4) =-2/4-1\) (distributiva, lembre-se da regrinha de multiplicar fração, conserva o denominador)
    \(g(-1/4) =-1/2-1\) (-2/4 dá para deixar irredutível? sim, -1/2 divide tudo por 2.)
    \(g(-1/4) =-3/2\) (achar o MMC de 2 e 1, pois o denominador de -2 é 1 e o de -1 é 2, o resultado do MMC é 2)

    \(g(-1/4) = -3/2\)

    Vamos agora tirar a prova disso?

    \(f(-3/2) = 2(-3/2) + 3\)
    \(f(-3/2) =-3 + 3\)
    \(f(-3/2) = 0\)

    Excelente, encontramos a resposta e não erramos em nenhuma etapa nesse exercício de função composta.

    Ai você deve estar se perguntando – Como assim? a terceira função formada deu \(x =-1/4\) e depois usamos isso para achar o \(g(x)\) que deu -3/2 e depois tiramos a prova real disso colocando o valor de \(g(x)\) na função \(f(x) = 2x + 3\)… confusão? não, vamos agora prestar atenção como a matemática é clara e lógica e está ai para nos facilitar a vida.

    Veja bem. Os resultados foram: -1/4 (que nada mais é do que o resultado da terceira função \(h(x) = 4x + 1\) após isolarmos o x), depois pegamos esse resultado -1/4 e descobrimos o g(x) que foi preciso substituir -1/4 no lugar do x e, após fazermos os cálculos deu -3/2 e por último temos a prova real de tudo isso, colocamos o -3/2 na função \(f(x) = 2x + 3\) que deu 0 pois nosso cálculo de todas as etapas foram corretas. Agora, vejamos, obtivemos 3 resultados diferentes, percebam:

    Obtivemos -1/4, -3/2 e 0. É justamente esse 0 que corresponde com um elemento válido no conjunto A, mas, deixamos claro que praticamente todos os elementos x no conjunto A hipoteticamente dados são válidos para que se haja o fluxo e também um atalho de A em C. Sim, encontramos um elemento válido, através das equações dadas \(f(x) = 2x + 3\), \(g(x) = 2x-1\) e \(h(x) = 4x + 1\), de fog(x). Vamos ver se isso é verdade?

    Digamos que hipoteticamente os elementos x: -1/4, -3/2 e 0 estejam no conjunto A. Se determinarmos isso com base nos cálculos que fizemos encontraremos então a lógica disso tudo e a função composta torna-se mais compreensível à todos os estudantes de matemática.

    A = {-1/4, -3/2, 0}

    Se colocarmos esse \(-1/4\) na função \(g(x) = 2x -1\), e pegar o resultado que é \(-3/2\) e depois colocar na função \(f(x) = 2x +3\), teremos \(f(-3/2) = 2.-3/2 +3 => f(-3/2) = 0\). Há então um fluxo de \(A → B → C\). Mas, será que nossa função composta fog no caso é válida? Sim, vejamos o que acontece quando colocamos o \(-1/4\) na terceira função \(h(x) = 4x + 1\).

    \(h(-1/4) = 4(-1/4) + 1\)
    \(h(-1/4) =-1+1\)
    \(h(-1/4) = 0\)

    Sim, deu 0, que corresponde com o elemento z do conjunto C e com o resultado da prova real de fog.

    O mesmo seria possível com qualquer número do conjunto dos números reais, mas, como ele nos deu 3 resultados \(-1/4\), \(-3/2\) e 0, ficou compreensível que eles fazem parte do fluxo da função composta fog e também é possível um atalho nesse fluxo de A em C.

    Outro detalhe importante, nós poderíamos colocar qualquer número nos elementos x e fazer a função composta fog com a regra, somente à fog, de que devemos calcular o elemento na função g(x) primeiro e depois na função f(x).

    Exemplo:

    Digamos que não coloquemos nenhum desses resultados ao achar fog de acordo com as funções estabelecidas e coloque um número ai qualquer no conjunto A, digamos que esse número qualquer é 100.

    Sabendo que há o elemento 100 no conjunto A, e queremos achar fog, temos então que seguir essas etapas.

    primeiro, colocamos o elemento 100 em \(g(x) = 2x-1\).

    \(g(100) = 2.100-1\)
    \(g(100) = 200-1\)
    \(g(100) = 199\)

    Agora, usaremos o resultado de \(g(x)\) em \(f(x) = 2x + 3\).

    \(f(199) = 2.199 + 3\)
    \(f(199) = 398 + 3\)
    \(f(199) = 401\)

    Temos que A = {100}, B = {199}, C = {401}. Agora, um atalho de A em C é dado por \(h(x) = 4x + 1\). Ora, não é o conjunto A que possuem os elementos x? então temos:

    \(h(100) = 4.100 + 1\)
    \(h(100) = 400 + 1\)
    \(h(100) = 401\)

    Pronto, achamos um atalho de A em C sendo que o elemento 100 foi dado de forma hipoteticamente. O que vale mesmo são os resultados obtidos em B e C, por isso eles precisam ser alterados para que o atalho seja possível de acordo com as funções estabelecidas.

    A matemática às vezes nos prega peças por conta de alguns detalhes que os professores de matemática comumente não explicam da devida forma, é preciso detalhar os resultados, o motivo pelo qual eles servem e ai as crianças, adolescentes, jovens e até mesmo adultos poderão entender melhor ela e com base nisso as pessoas começarão a ganhar mais vontade em aprender pois com uma boa didática tudo torna-se mais simples e gostoso de aprender.

    Mas e \((gof)(x)\), \((gog)(x)\) e \((fof)(x)\) ? Vamos resolver um exercício de \((gof)(x)\) primeiro.

    Como encontrar o (gof)(x) em função composta

    Para encontrar o \((gof)(x)\) ou \(g[f(x)]\) temos que considerar as mesmas funções.

  • \(f(x) = 2x + 3\)
  • \(g(x) = 2x-1\)
  • Pegamos a função g(x) e substituímos o x por f(x).

    \(2[f(x)]-1\)
    \(2[(2x + 3)]-1\)
    \(4x + 6-1\)
    \(4x + 5\)
    \(x = -5/4\) (passa dividindo e troca o sinal).

    Achamos o x, ele é -5/4 (menos cinco quartos)

    Agora é só substituir o -5/4 no f(x). Temos:

    \(f(-5/4) = 2(-5/4) + 3\)
    \(f(-5/4) = -10/4 + 3\)
    \(f(-5/4) = -10/4 + 12/4\) (MMC de 4 e 1 é 4)
    \(f(-5/4) = 2/4\) (dá para deixar irredutível? dá, divide tudo por 2)
    \(f(-5/4) = 1/2\).

    Vamos tirar a prova disso? Basta substituir, coloque o resultado de \(f(-5/4)\) em \(g(x)\).

    \(g(1/2) = 2(1/2)-1\)
    \(g(1/2) = 1-1\)
    \(g(1/2) = 0\)

    Pronto, deu certo, achamos o \(g[f(x)]\) ou o \((gof)(x)\).

    Como encontrar o (gog)(x) ou o g[g(x)] ?

    Considere as funções:

  • \(f(x) = 2x + 3\)
  • \(g(x) = 2x – 1\)
  • Desconsidere \(f(x) = 2x + 3\), e vamos pegar somente o \(g(x) = 2x – 1\).

    Iremos fazer assim.

    \(g[g(x)] = (gog)(x)\)

    \(2[g(x)]-1\)
    \(2[(2x-1)]-1\)encontrar-o-gog-em-funcao-composta
    \(4x-2-1\)
    \(4x-3\)

    logo temos \(x = 3/4\)

    Agora fica simples. Vamos substituir o x em \(g(x) = 2x-1\) e saberemos \((gog)(x)\).

    \(g(3/4) = 2(3/4)-1\)
    \(g(3/4) = 6/4-1\) (MMC de 4 e 1 é 4)
    \(g(3/4) = 6/4-4/4\)
    \(g(3/4) = 2/4\) (dá para deixar irredutível? sim, divide tudo por 2)
    \(g(3/4) = 1/2\)

    Pronto, descobrimos o (gog)(x) que é 1/2. Vamos tirar agora a prova?

    \(g(1/2) = 2(1/2)-1\)
    \(g(1/2) = 1-1\)
    \(g(1/2) = 0\)

    Certinho! o nosso \((gog)(x)\) está correto.

    Como encontrar o (fof)(x) ou f[f(x)] ?

    Considere as funções:

  • \(f(x) = 2x + 3\)
  • \(g(x) = 2x – 1\)
  • Nesse caso não iremos utilizar \(g(x) = 2x – 1\), só colocamos para exemplificar. Iremos usar somente \(f(x) = 2x + 3\). Então, determinaremos \(f[f(x)]\) ou \((fof)(x)\).encontrar-o-fof-em-funcao-composta

    Simples. Basta fazer a substituição:

    Sabemos que \(f(x)\) é \(2x + 3\). Nosso \((fof)(x)\) vai ficar assim:

    Substituindo fica \(2(2x + 3) + 3\). Agora basta resolver.

    \(4x + 9\) (aplicamos a distributiva e já somamos o 3 que estava fora do parêntese)
    \(x = -9/4\) (isolamos o x, portanto o sinal troca e torna-se negativo)

    Temos então menos nove quartos.

    Agora iremos encontrar o f(x):

    \(f(-9/4) = 2(-9/4) + 3\)
    \(f(-9/4) =-18/4 + 3\)
    \(f(-9/4) =-54/12 + 36/12\) (MMC de 4 e 3 é 12)
    \(f(-9/4) =-18/12\)
    \(f(-9/4) =-3/2\) (irredutível, divide tudo por 6)

    Vamos tirar a prova disso? Sim. Vejamos:

    \(f(-3/2) = 2(-3/2) + 3\)
    \(f(-3/2) =-6/2 + 3\)
    \(f(-3/2) =-3 + 3\)
    \(f(-3/2) = 0\)

    Deu certo. Nosso \((fof)(x)\) está correto.

    Exercício de função composta com expoente

    Conhecida também como função quadrática, as funções com expoente ou de segundo grau, são dadas por ax² + b, ou ax² + bx + c.

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = x² + 1\)
    \(g(x) = 2x – 1\)

    encontre \((gof)(x) e (fog)(x)\).

    \((gof)(x)\) é o mesmo que \(g[f(x)]\).

    \(g[f(x)] =>\)
    \(g[(x² + 1)] =>\)
    \(2[(x² + 1)]-1 =>\)
    \(2[x² + 1]-1 =>\) (Tiramos do parêntese)
    \(2x² + 2-1 =>\) (Fizemos a distributiva)
    \(2x² + 1\)

    Pronto, encontramos nosso \((gof)(x)\) que é \(2x² + 1\). Vamos tirar a prova real? Para isso define-se um diagrama. A = {-1, 0, 1}, B = {indefinido}, C = {indefinido}.

    Como o fluxo começa com f(x) temos que:

    \(f(x) = x² + 1 =>\)
    \(f(-1) = (-1)² + 1 =>\)
    \(f(-1) = 1 + 1 =>\)
    \(f(-1) = 2.\)

    \(g(x) = 2x-1 =>\)
    \(g(2) = 2(2) – 1 =>\)
    \(g(2) = 4 – 1 =>\)
    \(g(2) = 3\)

    Temos nosso fluxo dessa forma com -1 de A. Agora, vamos ver se é um atalho de A com o elemento -1 para C com o elemento z 3.

    \(gof(x) = 2x² + 1 =>\)
    \(gof(-1) = 2(-1)² + 1 =>\)
    \(gof(-1) = 2(1) + 1 =>\)
    \(gof(-1) = 2 + 1 =>\)
    \(gof(-1) = 3\).

    Sim, nosso gof(x) está correto e nossa função composta é valida. Faça agora o fog(x) e teste com um diagrama (mas é de R em R) para ver se seus cálculos darão certo.

    Exercício de função composta com raiz quadrada e expoente

    Dadas as funções.

    \(f(x) = x² + 1\)
    \(g(x) = √2x-1\)

    Determine fog(x) ou f[g(x)].

    \(f[(√2x-1)] =>
    [(√2x-1)]² + 1 =>\)
    \((√2x-1)² + 1\) (Lembra de produtos notáveis? dá \(2x – 2√2x + 1) =>\)
    \(2x-2√2x + 1 + 1 =>
    2x-2√2x + 2\)

    Esse é nosso \((fog)(x)\). Vamos testar? Veja que não podemos escolher hipoteticamente o elemento -1 em A pois desfaz nossa função composta pelo fato de não existir raiz de número negativo. Temos então que trabalhar com os positivos.

    A = {2}, B = {indefinido}, C = {indefinido}.

    Defini 2 em A para evitar números fracionários.

    Como é fog(x) o fluxo de nossa função composta começa em g(x).

    \(g(x) = √2x-1 =>\)
    \(g(2) = √2(2)-1 =>\)
    \(g(2) = √4-1 =>\)
    \(g(2) = 2-1 =>\)
    \(g(2) = 1.\)

    A = {2}, B = {1}, C = {indefinido}.

    \(f(x) = x² + 1 =>\)
    \(f(1) = (1)² + 1 =>\)
    \(f(1) = 1 + 1 =>\)
    \(f(1) = 2\)

    A = {2}, B = {1}, C = {2}.

    Agora para tirar a prova real disso temos que usar nosso fog(x).

    \(
    fog(x) = 2x-2√2x + 2 => \)
    \(fog(2) = 2(2) – 2√2(2) + 2 =>\)
    \(fog(2) = 4-2√4 + 2 =>\)
    \(fog(2) = 4-2.2 + 2 =>\)
    \(fog(2) = 4-4 + 2 =>\)
    \(fog(2) = 2.\)

    Sim, é um atalho de A em C e mais um fluxo de A em B e B em C.

    Função composta exponencial – Como fazer ?

    A função composta exponencial se caracteriza como um fator determinante. Exemplo, imagine a produção de carros. Ela precisa de um fator principal e ele não é coeficiente e sim o que eleva a incógnita. Digamos que a taxa de produção de um automóvel qualquer é de \(2^x + 1\). Ou seja, 2 elevado a x. Temos então nossa função composta assim:

    \(f(x) = 2^x + 1\)
    \(g(x) = x + 1\)
    \(gof(x) = ?\)

    Como ficaria então nosso gof(x) ? vamos solucionar:

    \(gof(x) = g[f(x)] =>\)
    \(g[2^x + 1] =>\)
    \([2^x + 1] + 1 =>\)

    \(gof(x) = 2^x + 2\). Esse é nosso \((gof)(x)\). Vamos ver se é verdade? Basta fazer um diagrama por exemplo. A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}, B = {9/8, 5/4, 3/2, 2, 3, 5} e C = {17/8, 9/4, 5/2, 4, 6}.

    Vamos pegar ai um número qualquer do elemento A e ver se e um atalho de A em C com uso do nosso \(gof(x) = 2^x + 2\).

    \(gof(x) = 2^x + 2 =>\)
    \(gof(-3) = 2^(-3) + 2 =>\)
    \(gof(-3) = 9/8 + 2 =>\)
    \(gof(-3) = 1/8 + 16/8 =>\)
    \(gof(-3) = 17/8\)

    Sim, é um atalho de A em C. Faça agora com os demais elementos e confira.

    Função composta em concursos e vestibulares

    É de certo que esses exemplos e exercícios resolvidos são bastante simples e dificilmente aparecerão em vestibulares e concursos de grande disputa.
    funcao-composta-em-vestibulares-e-concursos
    Por isso, para que você não saia de mãos abanando após saber como é a função composta depois de todas essas explicações, recomendo não ficar preso apenas a esse material, estude outros. Mas, além disso, deixo claro que em vestibulares as questões são para confundir o candidato e assim somente os mais espertos conseguem passar no vestibular com notas altas e também nos concursos.

    No caso da função composta, você pode se deparar com situações de \((gof)(x)\), descobrir o x de gof(x)… ora, isso é confuso aos iniciantes. Nesse caso deve ler todo o enunciado e ver que há coisas a serem consideradas. Por exemplo: A função \(f(x) = x² + 1\) e \(g(x) = x-1\). Sendo que \(gof(x) = g[f(x)]\). Então quanto é \(gof(y-2)\) ?

    Sim, as coisas tornam-se mais complicadas que se imagina. Nesse caso, temos um expoente na função f. Temos também algo diferente que é \(gof(y-2)\) do qual não explicamos aqui (com a incógnita y).
    Mas não tem problema, o importante na matemática é sem dúvida o raciocínio e depois o conhecimento.
    Agora iremos resolver esse problema de função composta e veremos que em vestibulares e até mesmo em concursos mais disputados as questões exigem muito mais do que esse artigo de função composta.

    Primeiro, ele quer saber \(gof(y-2)\), certo? Então, antes de tudo devemos calcular o \(gof(x)\) que é \(g[f(x)]\) (ou o a função h(x)).

    temos que: \(h(x) = (x² + 1) -1 => h(x) = x²\). Agora, sabemos que gof é \(x²\) , como ele definiu o x de gof (a função h no caso) como \(y-2\), significa o mesmo que h(y-2), temos então que \(gof(y-2) = (y-2)²\), sendo que o \(x²\) se transforma em \((y -2)²\) por conta do \(h(x) = (y-2)²\) definido em gof que, novamente, é \(y-2\) (vide o enunciado a fim de maior esclarecimento). Porém, esse ² é o expoente da incógnita x que precisa ser considerado, por isso \((y-2)²\). Entenderam como em vestibulares e concursos as coisas parecem difíceis por conta de algo simples que na verdade estão lá só para confundir e meter medo? Ele definiu o x de h(x) como \(y-2\), mas havia o expoente a ser considerado também após acharmos a função \(h(x) = x²\), logo \((y-2)²\), isso assustaria qualquer candidato que tenha estudado muito e se preparado caso o mesmo não seja esperto o suficiente.

    Tá, e ai? temos \(gof(x)\) que resulta em \((y-2)²\), podemos perceber que isso é a forma simplificada de \(y²-4y + 4\). Pois \((y-2)²\) é o mesmo que \((y-2)(y-2)\). Se fizermos a distributiva, ou seja y multiplica y, y multiplica -2 e -2 multiplica y e -2 temos \(y²-4y+4\).

    Outro caso é o candidato se deparar com \(f(x) = x²-x-1\) e \(g(x) = x-1\). Nessa situação vemos que não podemos subtrair o \(x²\) por x em \(x²-x\), as pessoas menos experientes em matemática acabam fazendo esse erro tosco. Se quisermos achar o fog por exemplo nessas funções dadas temos as seguintes passagens:
    \(f[g(x)] =>\)
    \(f(x-1) =>\)
    \((x-1)²-(x-1)-1\) Não se deve colocar o \(-x\) de \(f(x)\), pois já está definido que \(x\) é \((x-1)\), isso é MUITO IMPORTANTE SABER! outra coisa é que substitui o \(x\) por \((x-1)\) entre parênteses, não pode tirar os parênteses quando for substituir, pois o \(x\) já está definido como \((x-1)\), guarde bem isso também! =>
    \((x-1)(x-1)-(x-1)-1\) (forma de \((x-1)²\) é o mesmo que \((x-1)(x-1)\), produtos notáveis, e deve ser feito a distributiva para obter o resultado que é \(x²-x-x+1\). Em \(-(x-1)-1\) é igual a -x pois, – com – da mais e – com mais dá -, x é positivo no caso, e temos logo em seguida 0, pois com + 1 – 1 = 0) =>
    \(x²-x-x-x+1 =>\) (soma todas as incógnitas, -3x)
    \(x²-3x + 1\) (resultado final)

    Mas, por sorte, você se deparou com esse artigo na Internet e, além de conhecer a função composta e outras explicações acerca dela, revelamos essa dica super importante caso queira acertar todas as perguntas de função composta em um vestibular ou concurso por exemplo, deverá procurar saber mais sobre função composta e outras dicas de como passar em vestibular ou concurso aqui no blog.

    O que mais as pessoas erram na resolução de composição de funções


    Se você entendeu como achar o \((fog)(x)\), \((gof)(x)\), \((gog)(x)\) e \(fof(x)\), ótimo. Mas existem situações em que as pessoas erram coisas bobas, veja só essa.

  • \(f(x) = 2x + 3\)
  • \(g(x) = 2x – 1\)
  • Queremos achar o \(fog(x)\), como fazer? Dá na mesma se for feito da forma anterior, mas, há casos que a função composta pode ser resolvida dessa forma:
    \(fog(x) = f[g(x)]\) certo? ok. Então temos \(g(2x +3)\). A segunda etapa agora é substituir o g por g(x) que é \(2x-1\). Nessa segunda etapa MUITA GENTE ERRA e coloca \(2x(2x +3)-1\) … Isso é errado! O \(2x\) da função \(g(x) = 2x-1\) não pode ser copiado novamente, pois o x já foi definido que é \((2x + 3)\), então faz \(2(2x +3)-1\) que fica logo em seguida como \(4x + 5\). Pronto. Achamos a terceira função.

    erros-comuns-em-funcao-compostaMuito se erra também quando o candidato se depara com \((gof)(x)\), \((fof)(x)\)… Ora, como ficaria algo como \(f[f(x)](x)\) ? Na verdade, \(fof(x)\), \(gof(x)\), \(gog(x)\) e \(fof(x)\) são respectivamente \((fof)(x)\), \((gof)(x)\), \((gog)(x)\) e \((fof)(x)\). Exemplo:

  • \(f(x) = x + 3\)
  • \(g(x) = x – 2\)
  • Determine \(gof(x-5)\). E agora? como fazer \(gof(x-5)\)? Simples. Lembre-se, \(gof(x)\) é \(g[f(x)]\). O que é \(gof(x)\)?
    \(gof(x) = g[f(x)] =>\)
    \(g(x + 3) =>\)
    \((x + 3)-2\) (nunca faça x(x + 3) – 2 pois o x já foi definido na primeira etapa da substituição) =>
    \((x + 3)-2\) =>

    Logo temos que \(h(x) = x + 1\). Esse é o gof(x) mas não é o \(gof(x-5)\) ? Vamos entender melhor como funciona então.

    Mas peraí, ele não disse que é \(gof(x-5)\)? então temos que colocar isso também (colocar o \(x-5\)). Fica então \((x + 3-5)-2\). Outra dúvida que surge é: Cadê O \(x-5\)? você só colocou o \(-5\). Sim, pois o \(x\) já está definido em \(g[f(x)]\) que é \(g(x – 3)\), então apenas adicionei o que falta, o \(-5\) no caso. Então segue:
    \((x + 3-5) – 2 =>\)
    \(x + 3-5-2\) =>
    \(x-4\)

    Então temos que \(gof(x-5)\) é o mesmo que \(h(x) = x-4\). Em outras palavras, temos que \(g[f(x)-5] = gof(x-5)\), que por sua vez, após os cálculos feitos deu \(h(x) = x-4\).

    Vamos agora tirar a prova real disso. Vamos definir um diagrama de função composta: A = {-2, -1, 0, 1}, B = {indefinido}, C = {indefinido}. Agora, vamos perceber o seguinte. É \(gof(x-5)\), isso significa que o fluxo da função composta começa com \(f(x)\). Se começa com \(f(x)\) temos então que o \(x\) de \(f(x)\) é na verdade \(x-5\). Esse é o segredo para resolver \(gof(x-5)\).

    \(f(x-5) = (x-5) + 3 =>\)
    \(f(-2-5) = (-2-5) + 3 =>\)
    \(f(-7) = (-7) + 3 =>\)
    \(f(-7) =-4\)

    \(g(x) = x-2 =>\)
    \(g(-4) =-4-2 =>\)
    \(g(-4) =-6\)

    \(f(x-5) = (x-5) + 3 =>\)
    \(f(-1-5) = (-1-5) + 3 =>\)
    \(f(-6) =-6 + 3 =>\)
    \(f(-6) =-3\)

    \(g(x) = x-2 =>\)
    \(g(-3) = -3-2 =>\)
    \(g(-3) = -5\)

    \(f(x-5) = (x-5) + 3 =>\)
    \(f(x-5) = (0-5) + 3 =>\)
    \(f(-5) =-2\)

    \(g(x) = x-2 =>\)
    \(g(-2) =-2-2 =>\)
    \(g(-2) =-4\)

    \(f(x-5) = (x-5) + 3 =>\)
    \(f(1-5) = (1-5) + 3 =>\)
    \(f(-4) =-4 + 3 =>\)
    \(f(-4) =-1\)
    \(g(x) = x-2 =>\)
    \(g(-1) =-1-2 =>\)
    \(g(-1) =-3\)

    Nosso diagrama ficou assim:

    A = {-2, -1, 0, 1}, B = {-4, -3, -2, -1}, C = {-6, -5, -4, -3}.

    Temos o fluxo de \(A → B → C\). Porém, temos que saber se nossa função composta é válida. Para isso temos que ver se A é um atalho para C. Como descobrir isso? usa-se a função h(x) que deu \(h(x) = x-4\). Ora, não é o conjunto A que possuem os elementos x? vamos substituir e ver se é um atalho de A em C com os elemento x:

    \(h(x) = x-4 => h(-2) =-2-4 => h(-2) =-6\)
    \(h(x) = x-4 => h(-1) =-1-4 => h(-2) =-5\)
    \(h(x) = x-4 => h(0) = 0-4 => h(0) =-4\)
    \(h(x) = x-4 => h(1) = 1-4 => h(1) =-3\)

    Como podemos ver, todos os elementos x do conjunto A correspondem com um atalho para os elementos z do conjunto C. Mas deixo claro que é R em R.

    Dificuldades na hora de resolver função composta

    dificuldade-em-funcao-compostaÉ de certo que o aluno ou candidato a uma vaga na faculdade ou concurso vai se deparar com situações bem mais complicadas que esses simples exercícios de função composta dados até então. Embora sejam simples, foram bastante didáticos a fim das pessoas entenderem como funciona a função composta. Mesmo essa didática e todas essas explicações as pessoas possuem dificuldade na resolução de problemas de função composta. Vamos ver alguns casos em que a pessoa “trava” na hora de resolver sendo que ela sabe resolver e entende a função composta.

    Há casos em que é preciso imaginar o \(g(x)\) como \(ax + b\) e \(f(x)\) como \(ax + b\). Ou, pior ainda, imaginar que uma dessas funções é \(ax² + bx + c\) (quando há função do segundo grau dada no enunciado).

    Ache g(x) dado fog(x) – Função composta do primeiro grau

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = 2x + 1\)
    \(g(x) = ?\) (não sabemos)
    \(fog(x) = 5x + 3\)

    E agora? como resolver? Bom, lembra do método da substituição? Sim, é ele que iremos usar. Vamos lá?

    Primeiro, o que é fog ?, nada mais é do que \(f[g(x)]\). Se sabemos disso é só substituir:

    \(f[g(x)] = 5x + 3\)
    \(2[g(x)] + 1 = 5x + 3\)
    \(2[g(x)] = 5x + 3-1\)
    \(2[g(x)] = 5x + 2\)
    \(g(x) = (5x + 2)/2\)

    Pronto, achamos o nosso g(x). Vamos ver se é verdade? Vamos definir nosso diagrama de função composta para poder tirar a prova disso. Vamos definir o conjunto A, B e C. No conjunto A vamos colocar o elemento x de valor 1. Com esse elemento vamos fazer o fluxo e depois o atalho de A para C.

    Diagrama, A = {1}, B = {não sabemos ainda}, C = {não sabemos ainda}.

    Como é fog, então o fluxo de nossa função composta começa em g(x), pois fog nada mais é do que f[g(x)], resolve então primeiro o g(x) pois está entre parêntese.

    \(g(x) = (5x + 2)/2\)
    \(g(1) = (5.1 + 2)/2\)
    \(g(1) = (7)/2\)
    \(g(1) = 7/2\)

    Temos então um elemento do conjunto B que é o nosso y, o elemento é 7/2. Vamos colocar então no nosso diagrama:

    A = {1}, B = {7/2}, C = {indefinido ainda}.

    Agora, precisamos colocar esse valor 7/2 em \(f(x) = 2x + 1\).

    \(f(7/2) = 2(7/2) + 1\)
    \(f(7/2) = 14/2 + 1 \)
    \(f(7/2) = 14/2 + 2/2 \)(Achar o MMC de 1 e 2, dá 2)
    \(f(7/2) = 7 + 1\)
    \(f(7/2) = 8\).

    Pronto, fizemos o fluxo de \(A → B → C\). Nosso diagrama de função composta de \(fog(x)\) está assim:

    A = {1}, B = {7/2}, C = {8}.

    Agora iremos associar o elemento x do conjunto A para tentar descobrir se há uma ligação com o elemento z do conjunto C. Mas antes, precisamos saber, qual é o meu \(fog(x)?\) nosso fog(x) estabelecido é \(fog(x) = 5x + 3\).

    \(fog(1) = 5.1 + 3\)
    \(fog(1) = 5 + 3\)
    \(fog(1) = 8\).

    Deu certo, nosso \(g(x)\) foi descoberto e corresponde com o fluxo da função composta e mais um atalho de A em C com o elemento x (1 no caso) já estabelecido.

    Até ai tudo bem, mas, e se fosse por exemplo. gof(x)? Teriamos uma situação diferente.

    \(f(x) = 2x + 1 \)
    \(g(x) = ? \)(não sabemos)
    \(gof(x) = 5x + 3\)

    E agora? Você vai fazer pelo método da substituição isso? Vamos tentar e ver se dá certo?

    Antes de tudo – O que é gof(x)? é g[f(x)].

    \(g(2x + 1) = 5(2x + 1) + 3 =>\)
    \(g(2x + 1) = 10x + 5 + 3 =>\)
    \(g(2x + 1) = 10x + 8\)

    Se usarmos isso para dar o fluxo na função composta veremos que os resultados não batem (pode testar). O motivo disso é que \(gof(x)\) tem o fluxo de \(g(x)\) após \(f(x)\). O fluxo exatamente é \(f(x)\) para \(g(x)\) que é \(gof(x)\) pois \(gof(x)\) é \(g[f(x)]\). Resolve-se então o \(f(x)\) primeiro, por isso o fluxo começa com \(f(x)\). Então, não conseguimos achar a função de \(g(x)\) dessa forma simples de substituição. Achamos um resultado para \((2x + 1)\). Ou seja, não achamos o \(g(x)\) e sim \(g(2x + 1)\). Como então encontrar \(g(x)\) ? Você pode imaginar \(g(x)\) como \(ax + b\) pelo fato das funções dadas serem de primeiro grau e resolver a partir disso (vide como em teorema de função composta). Mas, existe uma forma mais interessante de encontrar uma função que completa o fluxo, vejam:

    O teorema é o seguinte:

    \(gof(x) = gof(x)\)

    Após fazer esse teorema temos a função \(i(x)\). Não podemos chamar de \(g(x)\) pois \(g(x)\) é outra função. Após resolver. Nesse caso, precisamos substituir no primeiro membro o \(f(x)\). No segundo membro deixamos como está. Exemplo:

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = 3x + 2\)
    \(g(x) = ?\) (não sabemos)
    \(gof(x) = 3x-1\)

    \(g[f(x)] = g[f(x)] =>\)
    \(3x-1 = 3x-1 =>\)
    \(3(3x + 2)-1 = 3x-1 =>\)
    \(9x + 6-1 = 3x-1 =>\)
    \(9x + 5 = 3x-1 =>\)
    \(9x = 3x-1-5 =>\)
    \(9x = 3x-6 =>\)
    \(x = (3x-6)/9\)

    Temos então o nosso \(i(x)\). Mas, para que seja o \(gofoi(x)\) precisamos agora usar esse resultado em \(gof(x)\) e ai obteremos o \(gofoi(x)\). Ou, para quem desejar chamar, obteremos uma função \(g(x)\) que satisfaz o fluxo da função composta mais um atalho de A em C. Também podemos chamar de \(gof[i(x)]\) pelo fato de pegar o \(gof(x)\) e substituir o x por \(i(x)\). Para simplificar tudo isso \(gofoi(x)\) está de bom tamanho e de fácil memorização. O mesmo seria para \(fogoi(x)\).

    \(gof(x)\) é o mesmo que \(g[f(x)]\). Certo? Mas temos o \(i(x)\) que é \((3x – 6)/9\) e com base nele acharemos o \(gofoi(x)\) que é \(gof[i(x)]\). Se \(gof(x) = g[f(x)]\), então temos já dado que \(gof(x) = 5x + 3\). Se \(i(x) = (3x-6)/9\), temos então que \(gof[i(x)] = 5[(3x-6)/9] + 3\).

    Então:

    \(gof[i(x)] = 5[(3x-6)/9] + 3\)

    Esse é o nosso g(x) ou uma função que satisfaz a função composta com o fluxo mais o atalho de A em C. Vamos testar com um diagrama?

    Temos:

    \(f(x) = 3x + 2\)
    \(gofoi(x) = 5[(3x-6)/9] + 3\)
    \(gof(x) = 5x + 3\)

    Vamos dar ao conjunto A pelo menos 5 elementos x para provar mesmo que o que encontramos satisfaz o fluxo mais o atalho.

    A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {indefinido}, C = {indefinido}

    Vamos dar fluxo a nossa função composta. Se é gof(x), o fluxo começa com f(x). Vamos pegar o elemento x de valor 1 do conjunto A. Temos então:

    \(f(x) = 3x + 2 =>\)
    \(f(1) = 3.1 + 2 =>\)
    \(f(1) = 3 + 2 =>\)
    \(f(1) = 5\).

    Temos nosso elemento y de acordo com \(x = 1\). Agora vamos continuar o fluxo.

    \(gofoi(x) = 5[(3x-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(3) = 5[(3(5)-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(3) = 5[(15-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(3) = 5[(9/9)] + 3 =>\)
    \(gofoi(3) = 5[1] + 3 =>\)
    \(gofoi(3) = 5 + 3 =>\)
    \(gofoi(3) = 8.\)

    Temos nosso elemento z de acordo com y = 5. Agora iremos saber se A é um atalho para o conjunto C de acordo com o elemento x = 1 e o elemento z = 8 com o uso do gof(x).

    \(gof(x) = 5x + 3\)
    \(gof(1) = 5x + 3 =>\)
    \(gof(1) = 5(1) + 3 =>\)
    \(gof(1) = 8\).

    É um atalho de A em C de acordo com o elemento x estabelecido em A (Pode testar com quaisquer elemento R em R).

    \(f(x) = 3x + 2 =>\)
    \(f(2) = 3(2) + 2 =>\)
    \(f(2) = 6 + 2 =>\)
    \(f(2) = 8\).

    \(gofoi(x) = 5[(3x-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(8) = 5[(3(8)-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(8) = 5[(24-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(8) = 5[(18)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(8) = 5[2] + 3 =>\)
    \(gofoi(8) = 10 + 3 =>\)
    \(gofoi(8) = 13\)

    Temos para \(x = 2\), \(y = 8\) e \(z = 13\).

    Um atalho de A em C usamos o gof(x).

    \(gof(x) = 5x + 3 =>\)
    \(gof(2) = 5(2) + 3 =>\)
    \(gof(2) = 10 + 3 =>\)
    \(gof(2) = 13\).

    Sim, temos também um atalho de A em C que caracteriza uma função composta e nosso \(g(x)\) descoberto é válido. Agora, podemos chamar esse \(g(x)\) de \(gofoi(x)\) pois pode haver mais uma função válida para g(x) que satisfaz a função composta R em R.

    Agora para provar que funciona com números negativos vamos pegar o -2 do conjunto A.

    \(f(x) = 3x + 2 =>\)
    \(f(-2) = 3(-2) + 2 =>\)
    \(f(-2) =-6 + 2 =>\)
    \(f(-2) =-4\)

    \(gofoi(x) = 5[(3x-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(-4) = 5[(3(-4)-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(-4) = 5[(3(-4)-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(-4) = 5[(-18)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(-4) = 5[-2] + 3 =>\)
    \(gofoi(-4) = -10 + 3 =>\)
    \(gofoi(-4) = -7\)

    \(gof(x) = 5x + 3 =>\)
    \(gof(-2) = 5(-2) + 3 =>\)
    \(gof(-2) =-10 + 3 =>\)
    \(gof(-2) =-7.\)

    Sim, temos um atalho de A em C e mais um fluxo de A em B e B em C. Teste você com números fracionários, raízes, expoente em uma das incógnitas etc (função polinomial de grau 2). Esse truque do gofoi(x) vai depender também dos elementos x hipoteticamente dados que você irá colocar no conjunto A. Se não houver uma coerência nisso não haverá o fluxo e o atalho de A em C.

    Nesse caso, para transformar o \(gofoi(x) = 5[(3x – 6)/9] + 3\) em \(g(x)\), basta simplificar assim:

    \(gofoi(x) = 5[(3x-6)/9] + 3 =>\)
    \(gofoi(x) = 5[1/3x-2/3] + 3 =>\)
    \(gofoi(x) = [5/3x-10/3] + 3 =>\)
    \(gofoi(x) = 5/3x-10/3 + 9/3 =>\)

    \(gofoi(x) = 5/3x – 1/3\)

    Temos então nosso \(g(x) = 5/3x – 1/3\).

    Ache g(x) dado gof(x) – Função composta do segundo grau

    Vamos para os exemplos. Primeiro exemplo do teorema.

    \(f(x) = 2x² + x + 1\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = 4x² + 2x + 1\)

    A ideia então é igualar \(gof(x)\) com \(gof(x)\). Mas nesse caso, como temos expoente e a função é de segundo grau, ou seja. \(ax² + bx + c\) temos que fazer uma malandragem. O segredo no caso das funções dadas acima é pegar somente o \(x + 1\) e o \(2x + 1\) e esquecer do \(2x²\) de \(f(x)\) e \(4x²\) do \(gof(x)\). Temos então:

    \(gof(x) = gof(x) =>\) (sem os termos com expoente)
    \(2x + 1 = 2x + 1 =>\)
    \(2(x + 1) + 1 = 2x + 1 =>\)
    \(2x + 2 + 1 = 2x + 1 =>\)
    \(2x + 3 = 2x + 1 =>\)
    \(2x = 2x + 1-3 =>\)
    \(x = (2x-2)/2 =>\)
    \(x = x-1\)

    Essa é nossa função \(i(x)\). Para deixar essa função como gofoi(x) temos que substituir por \(gof[i(x)]\) sem os termos que possuem expoente. Fica assim então:

    \(gofoi(x) = gof[i(x)] =>\)
    \(2[(x-1)] + 1\)

    Nosso \(gofoi(x) = 2[(x-1)] + 1\). Agora é só testar.

    Temos nosso \(gofoi(x)\) ou ainda uma função \(g(x)\) que satisfaz a função composta como válida. Duvida? Faça o teste.

    Porém nesse caso é mais trabalhoso que achar uma função \(i(x)\) que só serve para função do primeiro grau e transformar ela em \(gofoi(x)\) ou \(gof[i(x)]\).

    Vamos agora tirar à prova real disso. Vamos definir um diagrama com sete elementos x dados hipoteticamente no conjunto A.

    A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, B = {indefinido}, C = {indefinido}.

    Vamos dar fluxo a nossa função composta com f(x).

    \(f(x) = 2x² + x + 1\)
    \(gofoi(x) = 2[(x-1)] + 1\) (que encontramos)
    \(gof(x) = 4x² + 2x + 1\)

    Vamos resolver o elemento x -3 do conjunto A primeiro. O fluxo da função composta \(gof(x)\) começa com \(f(x)\).

    \(f(x) = 2x² + x + 1 =>\)
    \(f(-3) = 2(-3)²-3 + 1 =>\)
    \(f(-3) = 2(9)-3 + 1 =>\)
    \(f(-3) = 18-3 + 1 =>\)
    \(f(-3) = 15 + 1 =>\)
    \(f(-3) = 16\)

    \(gofoi(x) = 2[(x-1)] + 1 =>\)
    \(gofoi(16) = 2[(16-1)] + 1 =>\)
    \(gofoi(16) = 2[(15)] + 1 =>\)
    \(gofoi(16) = 31.\)

    Agora vamos verificar se o elemento x -3 é um atalho para o elemento z 31. Usamos então o nosso \(gof(x)\).

    \(gof(x) = 4x² + 2x + 1 =>\)
    \(gof(-3) = 4(-3)² + 2(-3) + 1 =>\)
    \(gof(-3) = 4(9)-6 + 1 =>\)
    \(gof(-3) = 36-6 + 1 =>\)
    \(gof(-3) = 30 + 1 =>\)
    \(gof(-3) = 31\)

    Sim, é um atalho de A em C. Teste você agora com outros elementos de nosso conjunto A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.

    Nesse caso temos o g(x) como:

    \(gofoi(x) = 2[(x-1)] + 1 =>\)
    \(gofoi(x) = 2x-2 + 1 =>\)

    \(g(x) = 2x-1\)

    Vídeo aula de função composta – Resumo


    Desafio função composta – Com resolução e explicação detalhada


    desafios-funcao-composta
    Considere as funções:

  • \(f(x) = 10x + 6\)
  • \(g(x) = x-1\)
  • 1-) Determine x em \(g[f(x)]\) para resolver esse desafio de composição de função

    Mais um desafio de função composta

  • \(f(x) = 2x + 1\)
  • \(gof(x) = 3x-5\)
  • 2-) Determine g(x) para resolver esse desafio de composição de função.

    Veja agora a solução desses desafios de composição de funções. O primeiro desafio pede o seguinte, que determinemos o x em gof. Nesse enunciado, temos que calcular o gof primeiro.

    \(g[f(x)] =>\)
    \(g(10x + 6) =>\)
    \((10x + 6)-1 =>\)
    \(10x + 5 =>\)
    \(x = -5/10\)

    Temos então o elemento x, que é -5/10 determinado. Vamos agora tirar à prova disso? Sim. Vamos substituir o -5/10 primeiro em g(x), depois em f(x) e ver se há o fluxo \(A → B → C\) e também um atalho e A em C com o uso da função h(x) que é \(10x + 5\).

    \(f(-5/10) = 10.(-5/10) + 6 =>\)
    \(f(-5/10) = -5 + 6 =>\)
    \(f(-5/10) = 1\)

    \(g(1) = 1 – 1 =>\)
    \(g(1) = 0\)

    Temos então essa situação:
    A = {-5/10}, B = {1}, C = {0}

    Agora, para que nossa função composta seja possível temos que saber se existe ainda um atalho de A em C. Ora, não é o conjunto A que tem os elementos x? Por isso devemos usar a terceira função que é a \(h(x) = 10x + 5\). Temos então:

    \(h(-5/10) = 10(-5/10) + 5 =>\)
    \(h(-5/10) = -5 + 5 =>\)
    \(h(-5/10) = 0\). Pronto, descobrimos que nossa função composta é válida pois existe um atalho de A em C. Temos então o primeiro desafio feito. Lembre-se, que esse exercício pede o x, e ele pode ser quaisquer x dentro do conjunto dos números reais (basta encontrar o \(g(x)\)).

    Como é a resolução do segundo desafio? vejamos, ele quer descobrir o \(g(x)\), sendo que o \((gof)(x)\) é \(3x-5\), certo? Vamos lá então.
    Temos essa situação dada:

    \(f(x) = 2x + 1\)

    \(fog(x) = 3x-5\)

    Ache então \(g(x)\)
    Sabemos que \((fog)(x)\) é o mesmo que \(f[g(x)]\). Sendo assim, temos \(2[g(x)] + 1 = 3x-5\). Agora fica fácil. Raciocine um pouco. \(2[g(x)] = 3x-5-1 =>\)
    \(g(x) = (3x – 6)/2\). Agora, vamos tirar à prova real disso.

    Temos que A = {5/3}, B = {-0,5} e C = {0}

    Coloque 5/3 no lugar de x de \(fog(x) = 3x-5\). Temos então 3.(5/3) que dá 5. Logo então temos que 5 – 5 = 0, que corresponde com um atalho de A em C e caracteriza uma função composta. Se quiser mais desafios de função composta busque em nosso campo de pesquisa e conheça mais desafios, dessa vez, bem mais complexos que esses, de função composta.

    Uso da função composta na prática – Criptografia

    Alguém ai já ouviu falar ou leu sobre criptografia ? Sim, quando acessamos um banco via Internet sempre há algum certificado de segurança que protege nossos dados contra hackers. Nesse caso em específico a função composta é aplicada. Pois criptografar um texto, dado, ou qualquer tipo de informação necessita passar por 3 etapas.
    funcao-composta-na-criptografiaNa primeira etapa é simples, você tem por exemplo o conjunto A com elementos x digamos. Esses elementos x podem ser A = {minhasenha, outrasenha, maisumasenha}. No esquema de criptografia esses elementos de entrada devem ser cifrados ou criptografados de acordo com alguma função. Por exemplo:

    Digamos que o abcedário seja enumerado. O a minúsculo é 1, b minúsculo é 2 e assim por em diante. Então temos uma função que transforma as letras nessa cifragem: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7, h = 8, i = 9, j = 10, k = 11, l = 12, m = 13, n = 14, o = 15, p = 16, q = 17, r = 18, s = 19, t = 20, u = 21, v = 22, x = 23, z = 24.

    Então temos essa função que é o nosso f(x), que inicia a transformação das letras minúsculas em números e a partir disso conseguimos os elementos do conjunto C que seriam os elementos de saída e cifrados dos quais seriam possíveis suas saídas cifradas com a função g(x).

    Os elementos do conjunto B no caso são somente aqueles que correspondem com a função de transformar as letras em números. Então nossos elementos y no conjunto B serão todos aqueles que podem converter letras minúsculas em números de acordo com o algoritmo proposto/função proposta. Caso houvesse outros elementos no conjunto A que não fossem letras minúsculas, então não haveria função (ou algoritmo) que satisfaça a cifragem de todos os elementos e não conseguiríamos criptografar tudo que está em A.

    Em C teríamos então = {13914811951481, 1521201811951481, 131919211311951481} que seriam os elementos já cifrados. Agora, como associar A com C? Uma função h(x) seria necessária. É essa função de associação que mantem a transação sigilosa. No caso da criptografia, o que vai ficar transitando entre o cliente e o servidor será o código cifrado associado ao que você digitou quando logou em uma conta bancária ou no seu e-mail. Gera-se então uma sessão criptografada que mantem você logado durante tempo determinado.

    Claro que essa é uma das utilidades da função composta. Como falado no primeiro parágrafo desse artigo ela é usada em diversas outras áreas.

    Há quem diga que função composta não tenha nada a ver com computação e criptografia pois a criptografia baseada em RSA é o que mais se usa (multiplicação de números primos). Mas convenhamos, há etapas para existir algo criptografado e uma função composta também é feita de etapas/fluxo para se obter um resultado final.

    Teorema para descobrir g(x) quando gof(x) e f(x) quando fog(x)

    Já citado no tópico sobre maiores dificuldades em resolução na composição de função, é possível obter a função de g(x) ou f(x) quando as mesmas não existirem. Por exemplo:

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = 2x + 2\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = 4x + 1\)

    Como descobrir? Basta usar o meu teorema que é bastante simples e consistente. Serve para descobrir funções que não existem quando elas não terminam o fluxo da função composta. Ou seja, quando não há a função de B para C. Embora haja a suposição de funções como \(ax + b\) e \(ax² + bx + c\) que podem ser dadas em \(g(x)\) ou \(f(x)\) quando as duas não são possíveis serem encontradas. Ai achamos de fato o \(g(x)\) ou o \(f(x)\). Essa forma será falada no final desse tópico. Vamos prestar atenção agora no \(fogoi(x)\) e no \(gofoi(x)\). Ou, no \(fogof-¹(x)\) e no \(gofof-¹(x)\).

    fluxograma-de-gofoi-e-fogoi-grafico

    Veja que no fluxograma acima fogoi(x) ou gofoi(x) transformam o elemento y no elemento x e dão o fluxo de A para C, ou seja, é uma função válida que completa o fluxo da função composta.

    Como descobrir o gofoi(x) ou o fogoi(x) então nesses casos?

    gofoi-e-iguala-g-de-f-de-i

    Podemos chamar \(gofoi(x)\) de \(gofoi(x)\) ou \(hoi(x)\). Para simplificar, ou ficar de fácil memorização, \(gofoi(x)\) fica subentendido que é gof de \(i(x)\). Em linguagem matemática ficaria g{f[i(x)]} ou \(gofoi(x)\). Lê-se g de f de i ou gof de i(x).

    O truque para descobrir o \(f(x)\) quando algum enunciado pede \(fog(x)\) e não há o \(f(x)\) definido e para descobrir o \(g(x)\) quando o enunciado pede \(gof(x)\) e não há o \(g(x)\) definido é muito simples.

    \(gof(x) = gof(x)\)

    Temos então nosso \(i(x)\).

    \(gof(x) = gof(x) =>\)
    \(4x + 1 = 4x + 1 =>\)
    \(4(2x + 2) + 1 = 4x + 1 =>\)
    \(8x + 8 + 1 = 4x + 1 =>\)
    \(8x + 9 = 4x + 1 =>\)
    \(8x = 4x + 1-9 =>\)
    \(8x = 4x-8 =>\)
    \(x = (4x-8)/8\)

    Pronto, temos nosso i(x) definido como \((4x-8)/8\). Agora iremos usar o gof(x) novamente e criar nosso \(gofoi(x)\) que é \(gof[i(x)]\).

    \(i(x) = (4x-8)/8\) e \(gof(x) = 4x + 1\)

    Então \(gofoi(x)\) que é o mesmo que \(gof[i(x)]\) é:

    \(4[(4x-8)/8] + 1\)

    Esse é nosso \(gofoi(x) = 4[(4x-8)/8] + 1\) que pode ser usado como uma função válida que corresponde com um fluxo de A em B e B em C.

    teorema-de-funcao-composta-g-e-f-indefinidos

    Temos então nosso \(gofoi(x)\) que satisfaz o fluxo de B em C para todos os números R em R \(4[(4x-8)/8] + 1\). Vamos testar e ver se confere?

    Vamos criar um diagrama e definir novamente nossas funções. Já que sabemos o \(gofoi(x)\) e ele é o mesmo que o \(g(x)\) vamos definir então o \(g(x)\) como \(4[(4x-8)/8] + 1\).

    \(f(x) = 2x + 2\)
    \(g(x) = 4[(4x-8)/8] + 1\)
    \(gof(x) = 4x + 1\)

    Vamos definir nosso elemento x no conjunto A como 1.

    A = {1}

    Vamos agora dar fluxo a nossa função composta. Basta substituir o 1 na função \(f(x) = 2x + 2\).

    \(f(1) = 2.1 + 2 =>\)
    \(f(1) = 4\)

    A = {1}, B = {4}, C = {indefinido ainda}

    Agora vamos usar o que achamos, o \(gofoi(x) = 4[(4x-8)/8] + 1.\)

    \(gofoi(x) = 4[(4x – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(4) = 4[(4.4 – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(4) = 4[(16 – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(4) = 4[(8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(4) = 4[1] + 1 =>\)
    \(gofoi(4) = 4 + 1 =>\)
    \(gofoi(4) = 5\)

    A = {1}, B = {5}, C = {5}

    Vamos ver agora se é um atalho de A em C? Para isso devemos usar \(gof(x) = 4x + 1\).

    \(gof(x) = 4x + 1 =>\)
    \(gof(1) = 4.1 + 1 =>\)
    \(gof(1) = 4 + 1 =>\)
    \(gof(1) = 5.\)

    Corresponde com um atalho de A em C. Agora, para provar mesmo que nossos calculos estão certos vamos testar para

    A = {2 ,3}.

    A = {1}, B = {5}, C = {5}
    A = {2}, B = {indefinido}, C = {indefinido}
    A = {3}, B = {indefinido}, C = {indefinido}

    Vamos começar com 2. O fluxo começa em \(f(x) = 2x + 3\).

    \(f(x) = 2x + 2 =>\)
    \(f(2) = 2.2 + 2 =>\)
    \(f(2) = 4 + 2 =>\)
    \(f(2) = 6\)

    A = {2}, B = {6}, C = {indefinido}

    Agora temos que usar \(gofoi(x)\).

    \(gofoi(x) = 4[(4x – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(6) = 4[(4.6 – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(6) = 4[(24 – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(6) = 4[(16)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(6) = 4[2] + 1 =>\)
    \(gofoi(6) = 8 + 1 =>\)
    \(gofoi(6) = 9\)

    Temos então nosso diagrama dessa forma.

    A = {2}, B = {6}, C = {9}. Agora vamos ver se A é um atalho de A em C ? Basta usar o nosso gof(x) = 4x + 1.

    \(gof(x) = 4x + 1 =>\)
    \(gof(2) = 4.2 + 1 =>\)
    \(gof(2) = 8 + 1 =>\)
    \(gof(2) = 9.\)

    Agora iremos testar com 3. Definimos então na função \(f(x)[latex] o 3.

    [latex]f(x) = 2x + 2 =>\)
    \(f(3) = 2.3 + 2 =>\)
    \(f(3) = 6 + 2 =>\)
    \(f(3) = 8 =>\)

    Nosso diagrama está então: A = {3}, B = {8}, C = {indefinido}

    E agora? vamos usar o 8 em g(x).

    \(gofoi(x) = 4[(4x – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(8) = 4[(4.8 – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(8) = 4[(32 – 8)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(8) = 4[(24)/8] + 1 =>\)
    \(gofoi(8) = 4[3] + 1 =>\)
    \(gofoi(8) = 12 + 1 =>\)
    \(gofoi(8) = 13\)

    Nosso diagrama está então: A = {3}, B = {8}, C = {13}.

    Agora vamos ver se A é um atalho para o conjunto C?

    \(gof(x) = 4x + 1 =>\)
    \(gof(3) = 4(3) + 1 =>\)
    \(gof(3) = 12 + 1 =>\)
    \(gof(3) = 13.\)

    Sim, é um atalho de A em C. Antes de terminar o artigo, quero deixar claro que há outras formas de encontrar o \(g(x)\) e validar a função composta. Essa forma que encontrei é a mais simples e de fácil memorização. E uma grande observação, há casos onde a função composta não se satisfaz conforme as funções encontradas e os elementos pré-estabelecidos, mas isso não significa que seu \(gofoi(x)\) ou \(g(x)\) encontrado esteja errado. Exemplo:

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = 2x² + 2x + 1\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = √(4x² + 4x + 1)\)

    Como encontrar \(g(x)\) dado \(gof(x)\) nesse caso? Bom. Podemos fazer pelo método da substituição. Escolhemos somente o \(4x + 1\) e imaginamos que ele seja gof(x). Temos então:

    \(gof(x) imaginário = gof(x) imaginário =>\)
    \(4x + 1 = 4x + 1 =>\)
    \(4(2x + 1) + 1 = 4x + 1 =>\) (Veja que não peguei o \(2x²\) da função \(f(x)\))
    \(8x + 4 + 1 = 4x + 1 =>\)
    \(8x + 5 = 4x + 1 =>\)
    \(8x = 4x + 1-5 =>\)
    \(8x = 4x-4 =>\)
    \(x = (4x-4)/8\)

    Mas ai você deve estar se perguntando. Cadê a raiz quadrada? Justamente. Após encontrar o \(i(x)\) que é o \((4x-4)/8\) temos que encontrar o \(gofoi(x)\). Ora, sabemos que o \(gofoi(x)\) é \(gof[i(x)]\). Temos então nesse caso nosso \(gof(x)\) imaginário, ou, uma parte do \(gof(x)\) real.

    \(4x + 1\) é o nosso \(gof(x)\) imaginário ou simplesmente pegamos o \(4x + 1\) do \(gof(x)\) real.

    \(gofoi(x) = g{f[i(x)]} =>\)
    \(gof[(4x-4)/8)] =>\)
    \(4[(4x-4)/8)] + 1\)

    Esse é nosso \(gofoi(x)\). \(4[(4x-4)/8)] + 1\). Mas, temos que considerar a raiz quadrada de \(gof(x)\) senão o resultado sairá errado. Temos então:

    \(gofoi(x) = √{ 4[(4x-4)/8] + 1 }\)

    Vamos agora testar para ver se tudo está correto? Vamos definir nosso diagrama como A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, B = {indefinido}, C = {indefinido}.

    \(f(x) = 2x² + 2x + 1\)
    \(g(x) = √{ 4[(4x – 4)/8] + 1 }\)
    \(gof(x) = √(4x² + 4x + 1)\)

    Como é \(gof(x)\) o fluxo começa com \(f(x)\).

    \(f(x) = 2x² + 2x + 1 =>\)
    \(f(-3) = 2(-3)² + 2(-3) + 1 =>\)
    \(f(-3) = 2(9) + (-6) + 1 =>\)
    \(f(-3) = 18 – 6 + 1 =>\)
    \(f(-3) = 13\)

    Agora iremos testar nosso \(gofoi(x)\) que satisfaz o g(x).

    \(gofoi(x) = √{ 4[(4x – 4)/8] + 1 }\)
    \(gofoi(13) = √{ 4[(4(13) – 4)/8] + 1 }\)
    \(gofoi(13) = √{ 4[(52 – 4)/8] + 1 }\)
    \(gofoi(13) = √{ 4[(48)/8] + 1 }\)
    \(gofoi(13) = √{ 4[6] + 1 }\)
    \(gofoi(13) = √{ 24 + 1 }\)
    \(gofoi(13) = √{ 25 }\)
    \(gofoi(13) = 5\)

    (Ou se preferir temos que \(g(x) = √2x – 1\))

    Agora vamos ver se A é um atalho para o conjunto C de acordo com o elemento x = -3 conforme nossos cálculos. O fluxo nos deu que: -3 -> 13 -> 5.

    \(gof(x) = √(4x² + 4x + 1) =>\)
    \(gof(x) = √[4(-3)² + 4x + 1] =>\)
    \(gof(x) = √[4(9) + 4(-3) + 1] =>\)
    \(gof(x) = √[4(9) – 12 + 1] =>\)
    \(gof(x) = √[36 – 12 + 1] =>\)
    \(gof(x) = √[24 + 1] =>\)
    \(gof(x) = √25 =>\)
    \(gof(x) = 5\)

    Deu certo. Nossos cálculos estão certos. Faça agora com os demais elementos estabelecidos no conjunto A e veja se bate o fluxo mais o atalho de A em C.

    Agora vamos dar um exemplo do \(fogoi(x)\).

    fogoi-e-o-mesmo-que-f-de-g-de-i

    Podemos chamar fogoi(x) de fogoi(x) ou hoi(x). Para simplificar, ou ficar de fácil memorização, fogoi(x) fica subentendido que é fog de i(x). Em linguagem matemática ficaria f{g[i(x)]} ou fogoi(x). Lê-se f de g de i ou fog de i(x).

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = ?\)
    \(g(x) = 2x + 1\)
    \(fog(x) = 2x² + 3\)

    E agora? como descobrir o \(f(x)\) pois sabemos que \(fog(x)\) tem expoente? É uma função com expoente que caracteriza uma função polinomial de grau 2.

    O segredo então é criar nosso \(fog(x)\) imaginário. Segue que:

    \(fog(x)\) imaginário \(= fog(x)\) imaginário. Vamos pegar aquilo que não tem relação com o polinômio de grau 2. Vamos transformar ele em grau 1. Temos que:

    \(fog(x)\) imaginário \(= fog(x)\) imaginário \(=>\)

    \(2x + 3 = 2x + 3 =>\)
    \(2(2x + 1) + 3 = 2x + 3 =>\)
    \(4x + 2 + 3 = 2x + 3 =>\)
    \(4x + 5 = 2x + 3 =>\)
    \(4x = 2x + 3-5 =>\)
    \(4x = 2x-2 =>\)
    \(x = (2x-2)/4\)

    Temos então nosso \(i(x)\) imaginário. Como não podemos deixar de colocar o expoente nessa função \(i(x)\) e seguir com o teorema \(fogoi(x)\), devemos então considerar que \(i(x)\) tem que ter o expoente \(²\). Com a inclusão de \(fogoi(x)\), devemos considerar o expoente dado na função \(fog(x)\). Segue que:

    \(fogoi(x) = fog[i(x)²] =>\)
    \(fogoi[(2x – 2)/4] =>\)
    \(2[(2x -2)/4] + 3\) Este é nosso \(fogoi(x)\).

    \(fogoi(x) = 2[(2x -2)/4]\). Mas, lembra do expoente dado em fog(x) ? Na verdade então nosso \(fogoi(x)\) é \(= 2[(2x -2)/4]² + 3\). Que satisfaz a função composta dada com o fluxo e mais o atalho. Como nos deparamos com um expoente nessa situação devemos então simplificar nossa função. Ora, há \([(2x -2)/4]²\) que é o mesmo que \([(2x -2)/4][(2x -2)/4]\). Isso significa que:

    \([(2x -2)/4]² =>\)
    \([(2x -2)/4][(2x -2)/4] =>\)
    \([(2x -2)][(2x -2)] =>\) (Nesse caso esquecemos do denominador e fazemos o trabalho da distributiva).

    \([(2x -2)][(2x -2)]\)

    \(4x² – 4x – 4x + 4 =>\)
    \(4x² – 8x + 4 =>\)
    \((4x² – 8x + 4) =>\) (Agora divide tudo por 16, pois o denominador era 4, multiplicado por 4 dá 16).
    \((4x² – 8x + 4)/16 =>\) (dá para simplificar isso? Sim)

    \(x²/4 – x/2 + 1/4\) (Esse é o nosso i(x) expandido).

    Temos então que \(i(x) = x²/4 – x/2 + 1/4\). Mas, é de fogoi(x) que precisamos. Então temos que:

    \(i(x) = x²/4 – x/2 + 1/4 =>\)
    \(fogoi(x) = 2[(x²/4 – x/2 + 1/4)] + 3\)

    Esse é nosso fogoi(x) que satisfaz uma função \(g(x)\) e valida nossa função composta.

    Vamos definir alguns números em A para provar que de fato é. Digamos que A = {-2, -1, 0, 1, 2}.

    Como é fog(x), o fluxo começa em g(x). Temos que:

    \(g(x) = 2x + 1 =>\)
    \(g(-2) = 2(-2) + 1 =>\)
    \(g(-2) = -4 + 1 =>\)
    \(g(-2) = -3 =>\)

    Agora vamos usar nosso fogoi(x) encontrado:

    \(fogoi(x) = 2[(x²/4 – x/2 + 1/4)] + 3 =>\)
    \(fogoi(-3) = 2{[(-3)²/4 – (-3)/2 + 1/4]} + 3 =>\)
    \(fogoi(-3) = 2{[(9/4 + 3/2 + 1/4)]} + 3 =>\) (Prestem atenção no – (-3)/2, menos com menos dá mais).
    \(fogoi(-3) = 2{[(9/4 + 3/2 + 1/4)]} + 3 =>\)
    \(fogoi(-3) = 2{[(9/4 + 6/4 + 1/4)]} + 3 =>\) (MMC de 4 e 2 é 4)
    \(fogoi(-3) = 2{[(16/4)]} + 3 =>\)
    \(fogoi(-3) = 2{[(4)]} + 3 =>\)
    \(fogoi(-3) = 2(4) + 3 =>\) (Tira do parênteses, colchetes e chaves)
    \(fogoi(-3) = 8 + 3 =>\)
    \(fogoi(-3) = 11\)

    Temos então que para x = -2, y = -3 e z = 11. Vamos ver se isso confere? Basta usar o fog(x) e ver se A = {-2} é um atalho para C = {11}.

    fog(x) = 2x² + 3 =>
    fog(-2) = 2(-2)² + 3 =>
    fog(-2) = 2(4) + 3 =>
    fog(-2) = 8 + 3 =>
    fog(-2) = 11

    Corresponde então com um atalho e mais um fluxo de A em C. Agora iremos fazer um com número positivo, vamos pegar o 2 dos elementos x do conjunto A.

    g(x) = 2x + 1 =>
    g(2) = 2(2) + 1 =>
    g(2) = 4 + 1 =>
    g(2) = 5

    fogoi(x) = 2[(x²/4 – x/2 + 1/4)] + 3 =>
    fogoi(5) = 2{[(5)²/4 – (5)/2 + 1/4]} + 3 =>
    fogoi(5) = 2{[25/4 – 5/2 + 1/4]} + 3 =>
    fogoi(5) = 2{[25/4 – 5/2 + 1/4]} + 3 => (MMC de 2 e 4 é 4)
    fogoi(5) = 2{[25/4 – 10/4 + 1/4]} + 3 =>
    fogoi(5) = 2{[16/4]} + 3 =>
    fogoi(5) = 2{[4]} + 3 =>
    fogoi(5) = 8 + 3 =>
    fogoi(5) = 11

    fog(x) = 2x² + 3 =>
    fog(2) = 2(2)² + 3 =>
    fog(2) = 2.4 + 3 =>
    fog(2) = 8 + 3 =>
    fog(2) = 11

    Agora faça com os demais elementos de x e veja se é um atalho de A em C mais o fluxo.

    Como transformar gofoi(x) e fogoi(x) em g(x) e f(x)

    É muito simples. Basta fazer o seguinte. exemplo com função simples:

    f(x) = 3x + 2
    g(x) = ?
    gof(x) = 6x – 1

    transformar-gofoi-em-g-e-fogoi-em-f

    Igualamos gof(x) e gof(x).

    6x – 1 = 6x – 1 =>
    6(3x + 2) = 6x =>
    18x + 12 = 6x =>
    18x = 6x – 12 =>
    x = (6x – 12)/18.

    Temos nossa função i(x). Agora vamos substituir o i(x) no x de gof(x). Temos então:

    gofoi(x) = 6[(6x – 12)/18] – 1

    Agora para transformar o gofoi(x) em g(x) basta fazer a divisão pelo 18 que está dentro do colchete. Temos então:

    \(gofoi(x) = 6[(6x-12)/18]-1 =>\)
    \(gofoi(x) = 6[(6x/18-12/18]-1 =>\)
    \(gofoi(x) = 6[(1/3x-4/6)]-1 =>\)
    \(gofoi(x) = 2x-5\)

    Temos então nosso \(g(x)\) que é \(2x – 5\). O mesmo procedimento se faz para descobrir o \(f(x)\) quando \(fog(x)\) e não existir \(f(x)\) como função.

    Mais uma forma para encontrar g(x) e f(x) quando gof(x) e fog(x)

    Outra forma de achar essas funções é supondo que \(g(x) = ax + b\) ou \(f(x) = ax + b\). Com base nisso podemos encontrar de fato o \(g(x)\) ou o \(f(x)\). Exemplo:

    Dadas as funções R em R:

    \(f(x) = 2x-1\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = 5x + 2\)

    Como podemos ver, são funções de grau 1. Então g(x) só pode ser também de grau 1. Então supomos que:

    \(g(x) = ax + b\)
    ax-mais-b-suposicao-de-g-e-f
    Ai fica fácil. Vamos fazer a substituição.

    \(gof(x) = g[f(x)] =>\)
    \(g[(2x-1)] =>\)
    \(a(2x-1) + b =>\)
    \(2ax-a + b.\)

    Iguala então o \(2ax-a + b\) com o \(gof(x)\).

    \(5x + 2 = 2ax-a + b =>\)

    Como tem o \(x\) em ambos os membros precisamos riscá-lo (ou se preferir passa dividindo e vira 1, pois x dividido por x é 1). Ai temos:

    \(2a = 5\) e \(-a + b = 2 => a = 5/2\)

    e como \(a = 5/2\) temos então que \(-a + b = 2\) é igual a \(-5/2 + b = 2 =>\)
    \(b = 2 + 5/2 => b = 4/2 + 5/2 => b = 9/2\)

    Então temos que \(g(x) = 5/2x + 9/2\). Essa forma é a correta de fazer, mas, na minha opinião é mais trabalhoso fazer. Agora imagine achar o \(g(x)\) com essa forma de suposição com função do primeiro grau e de segundo grau como por exemplo:

    \(f(x) = 2x + 1\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = x² + x + 1\)

    Acredito que seria mais trabalhoso dessa forma pois envolve letras (\(ax² + bx + c\) ou \(ax + b\) se for o caso de supor), por isso bolei o \(gofoi(x)\) e o \(fogoi(x)\).

    No caso acima, com o uso do meu teorema, temos que fazer assim:

    \(gof(x)\) imaginário \(= gof(x)\) imaginário \(=>\)
    \(x + 1 = x + 1 =>\)
    \(2x + 1 = x =>\)
    \(i(x) = (x-1)/2\)

    Porém, nesse caso, como é uma função do segundo grau e temos os termos \(ax² + bx + c\) temos que considerar que \(i(x)²\) (com expoente), mais \(i(x)\) (sem expoente). Após fazer isso pegamos novamente o gof(x) imaginário que é \(x + 1\) e substituímos o \(x\) por \(i(x)² + i(x)\). Temos então:

    \(gofoi(x) = [(x-1)/2]² + (x-1)/2 + 1\)

    Mais um detalhe é que se em \(gof(x)\) houvesse \(2x²\) ao invés de \(x²\), teríamos que adicionar o coeficiente ao \(gofoi(x)\), exemplo, \(gofoi(x) = gofoi(x) = 2[(x-1)/2]² + (x-1)/2 + 1\), somente ao que multiplica, o mesmo se fosse o bx, teríamos que adicionar o b. Por exemplo: \(gofoi(x) = 2[(x-1)/2]² + 2(x-1)/2 + 1\). Ai nesse caso o b seria 2.

    Vamos tirar agora a prova real do \(gofoi(x) = [(x-1)/2]² + (x-1)/2 + 1\).

    Definimos então um diagrama com A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, B = {-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7}, C = {7, 3, 1, 1, 3, 7, 13}

    \(gofoi(x) = [(x-1)/2]² + (x-1)/2 + 1 =>\)
    \(gofoi(-5) = [(-5-1)/2]² + (-5-1)/2 + 1 =>\)
    \(gofoi(-5) = [(-6)/2]² + (-5-1)/2 + 1 =>\)
    \(gofoi(-5) = [(-3)]² + (-6)/2 + 1 =>\)
    \(gofoi(-5) = 9-3 + 1 =>\)
    \(gofoi(-5) = 6 + 1 =>\)
    \(gofoi(-5) = 7\)

    Corresponde com a função composta dada. Pegamos o -5 para terminar o fluxo e B em C e deu 7 como está no diagrama já definido e calculado para termos obtido os valores do conjunto B e C. Teste você agora com outros elementos e verá que \(gofoi(x)\) dado termina o fluxo de B à C.

    Temos outros casos de função composta que pode ser satisfeita com essa forma de fazer. Por exemplo. Imagine essa situação:

    \(f(x) = 2x² + 2\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = 2x + 1\)

    Podemos notar que o atalho é uma função do primeiro grau e \(f(x)\) possui o expoente. Dessa forma podemos entender o seguinte. Se a primeira função é com expoente, então a segunda necessariamente terá que ser com raiz quadrada.

    Pegamos então o gof(x) e igualamos um com o outro.

    \(2x + 1 = 2x + 1 =>\)
    \(2(2x + 2) = 2x =>\) (Já corto o 1 dos dois lados e já substituo o x por 2x + 2 sem o expoente)
    \(4x + 4 = 2x =>\)
    \(x = (2x – 4)/4\)

    Temos então uma função \(i(x)\). Sim, agora, para que nossa função composta seja válida temos que colocar o \(i(x)\) no \(gofoi(x)\). Fica então:

    \(gofoi(x) = gof[i(x)] =>\)
    \(gofoi(x) = 2[(2x-4)/4] + 1\)

    Mas, como eu havia falado, na primeira função há o expoente, se eu não colocar a raiz quadrada em \(i(x)\), ou seja, fazer \(√i(x)\) vai dar um resultado errado. Fica nosso gofoi(x) como:

    \(2√{[(2x-4)/4]} + 1\)

    Agora é só testar com números positivos.

    Mas e se fosse por exemplo: \(f(x) = 3x² + 2x + 1\) e o \(gof(x) = 2x + 1\).

    Há uma fórmula para isso. Veja:

    2 +- { √(3√(16x² + 16x + 4) – 14)] + ou – 2 }/6 + 1

    Bem mais complicado do que se imagina, pois o conteúdo inserido em B, ou o elemento y, foi tratado para que ficasse com o valor de entrada (elemento x no caso). É isso que o \(gofoi(x)\) e o \(fogoi(x)\) fazem.

    No caso acima, não podemos trabalhar com números negativos, senão o resultado sairá errado.

    Embora o meu teorema \(gofoi(x)\) e \(fogoi(x)\) sejam válidos para que se haja o fluxo completo de uma função composta sendo ela de primeiro grau ou segundo grau, é bem provável que os professores e também em concursos e outros exames exijam de você descobrir o \(g(x)\) e não o \(gofoi(x)\) e o \(fogoi(x)\) pelo fato de não conhecerem ainda essas outras formas de descobrir uma função que completa o fluxo de uma composição de função. Embora podemos transformar \(gofoi(x)\) e \(fogoi(x)\) em \(g(x)\) e \(f(x)\).

    Fórmula para encontrar g e f quando função quadrática

    Primeiro, vamos ver a anatomia da fórmula e encontrar \(g(x)\) e \(f(x)\) quando não há \(g(x)\) e \(f(x)\) no enunciado que há \(gof(x)\) e \(fog(x)\). Depois veremos na imagem onde está o \(fogoi(x)\) e o \(gofoi(x)\).

    formula-para-encontrar-gofoi-da-funcao-quadratica

    Ai nós podemos encontrar o elemento x se substituirmos o x da fórmula pelo y encontrado após usar a função \(f(x) = 2x² + 3x + 1\). O curioso é que \(gof(x)\) é uma função do primeiro grau. Isso significa que ganha momento linear nossa função quadrática \(f(x)\) no momento de B para C. E quem faz esse trabalho de dar o resultado correspondente é essa fórmula que precisa ser ajustada de acordo com \(f(x)\). Não confundir com função inversa pois a fórmula decodifica o elemento y para x. A função inversa é o mesmo que igualar o elemento y com a função ou equação f. Mas não temos isso. A não ser entender que y = ax² + bx + c. Ou, y = 2x² + 3x + 1. O jeito é usar a fórmula de Báscara e encontrar a inversa da função quadrática e assim concluir o exercício.

    Com o uso da fórmula acima torna-se mais prático. Outro detalhe é que nossa função composta ganha momento linear pois \(gof(x)\) é \(x + 1\). Não há números negativos possíveis também. Todos os elementos x dados hipoteticamente se associam com z mesmo com uma função quadrática \(f(x)\) conhecida e uma função \(g(x)\) desconhecida (se é de primeiro grau ou quadrática). Temos outro detalhe com a função inversa é que ela pode ser adquirida com uso da fórmula de Báscara, comparar os coeficientes ou então utilizar o método de completar quadrados. Ai teríamos a inversa. O intuito aqui é estudar a anatomia dessa fórmula já com \(ax² + bx + c\) definidos.

    Por que não devemos confundir com a inversa essa fórmula?

    Por que ela nos dá diversos resultados durante o processo de inverter o y para x e também temos como extrair outros dados dessa fórmula como é o caso da função g(x) que é a função que vai de B para C (coisa que a função inversa sozinha não dá).

    Essa fórmula nos dá outras informações como havia falado, dá diversos números durante o processo da inversa, ganha então momentos de números gigantes ou astronômicos e aos poucos vai diminuindo e ganha a forma ou o valor de x.

    Agora a imagem da anatomia da fórmula:

    o-g-de-x-com-funcao-quadratica-metodo

    Como saber se isso ai é verdadeiro? Veja que foi preciso adicionar o 1, ou, mudar o + ou – 3 para + ou – 1 na fórmula. Vamos à uma simples tabela com números negativos, fracionários negativos, fracionários positivos e números positivos. Veja mais sobre Fórmula de Martinelli.

    tabela-exemplo-dados-para-provar-formula-dados-hipoteticos

    Podemos notar que os elementos x do conjunto A foram dados hipoteticamente. No conjunto B temos os elementos y após passar pela função \(f(x) = 2x² + 3x + 1\). No conjunto C temos os elementos z que foram obtidos com o uso dos elementos x do conjunto A com a função \(gof(x) = x + 1\).

    E agora? como saber se a fórmula dada acima contêm o \(g(x)\), a inversa \(f-¹(x)\) ou o \(gofoi(x)\) que podemos chamar de \(gofof-¹(x)\). Primeiro, devemos ressaltar o seguinte: Quando é \(g(x)\) e são números fracionários negativos no conjunto x o termo + ou – dentro da chaves precisa ser positivo para que se haja o resultado correto. Vamos começar por um número negativo fracionário e depois ver um número fracionário positivo.

    Temos nosso \(g(x)\) segundo a fórmula dessa maneira:

    g(x) = { √[2√(16x² + 16x + 4) – 3] + 1 } / 4

    Agora vamos pegar o 2/9 que provêm do número -1/3 e veremos que isso é necessário.

    g(2/9) = + ou – { √[2√(16(2/9)² + 16(2/9) + 4) – 3] + 1 } / 4 =>
    g(2/9) = + ou – { √[5,777777778 – 3] + 1 } / 4 =>
    g(2/9) = + ou – { √[2,777777778] + 1 } / 4 =>
    g(2/9) = + ou – { 1,666666667 + 1 } / 4 =>
    g(2/9) = + ou – { 2,666666667 } / 4 =>
    g(2/9) = + ou – 0,666666667

    No caso é 0,666666667 e é o mesmo que 2/3. Descobrimos então uma função g(x) que dá o fluxo de B para C.

    A resposta para g(x), f-¹(x), gofof-¹(x) ou gofoi(x) é:

    \(g(x) = + ou – √[2√(16x² + 16x + 4) – 3] + ou – 1 / 4 \)
    \(f-¹(x) = + ou – √[2√(16x² + 16x + 4) – 3] + ou – 3 / 4\)
    \(gofoi(x) ou gofof-¹(x) = + ou – [ √(2√(16x² + 16x + 4) – 3) + ou – 3 ] / 4 + 1\).

    (Com uma única regra, aos números negativos fracionários dados em x nesse caso, necessariamente é + o termo dentro de chaves de g(x)).

    Temos então nesse caso acima um termo, ou um número de ajuste para nossa função composta ser válida. Vamos agora observar a fórmula toda para encontrar uma das coisas que outra fórmula nos dá, a inversa:

    $${({-b \over 2}) \pm \sqrt{({b \over 2})^2 -a(c-x)} \over a}.$$

    Temos então uma fórmula que inverte o valor de y para x e dá o fluxo para C onde estão os elementos z.

    Exemplo.

    \(f(x) = 2x² + 4x-6\)
    \(g(x) = ?\)
    \(gof(x) = 2x-1\)

    Como encontrar o g(x) ? Digamos que o elemento x seja 10. Vamos dar fluxo no elemento com f(x).

    \(f(x) = 2x² + 4x – 6\)
    \(f(10) = 2(10)² + 4(10) – 6 =>\)
    \(f(10) = 200 + 40 – 6 =>\)
    \(f(10) = 240 – 6 =>\)
    \(f(10) = 234\)

    Agora é só substituir 234 na fórmula. Mas, a fórmula apresentada não contêm um detalhe importante, que é o x. Então nossa fórmula fica:

    $${({-b \over 2}) \pm \sqrt{({b \over 2})^2 -a(c-x)} \over a}.$$

    \(√[(b/2)^2-a(c-x)]-(b/2) / a\)
    \(√[(4/2)^2-2(-6-234)]-(4/2) / 2 =>\)
    \(√[(2)^2-2(-240)]-2 / 2 =>\)
    \(√[4 + 480]-2 / 2 =>\)
    \(√[484]-2 / 2 =>\)
    \(22 – 2 / 2 =>\)
    \(20 / 2 =>\)
    \(10\)

    Excelente, encontramos a inversa. Agora fica fácil de entender! Se colocarmos a fórmula dentro do x de gof(x) = 2x -1 teremos então o fluxo.

    Outra forma de encontrar esse mesmo resultado é usar a fórmula de Bhaskara porém, só vai ser preciso alterar para $${-b \pm \sqrt{b^2-4a(c-x)} \over 2a}.$$. Mais simples e prático ainda com Bhaskara.

    Fica a seu critério escolher qual usar. Qualquer dúvida deixe um comentário.

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    Postagem publicada em
    e atualizada em 25 de agosto de 2014
    Postado por Rodrigo Martinelli
    Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Funciona, Matemática  
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    2 Respostas para Função composta – Como fazer e exercícios resolvidos

    1. Marcelo disse:

      Boa tarde!
      Existe um método pratico para se achar fofofofofof?

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