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Equação do quinto grau – método para resolver

Muito já foi falado sobre equação do quinto grau. Sabemos que há uma teoria de que não é possível resolver equação do quinto grau com radicais, mas, o que veremos nesse artigo é um método simples (que inclusive usa radical) para solucionar a equação quintica ou de 5°.

Uma fórmula é capaz de solucionar a equação do quinto grau. Lembrando que uma vez encontrada uma raiz real podemos utilizar o método resolutivo da equação do quarto grau para encontrar as demais raízes. Então, o nosso foco aqui é encontrar uma das raízes, que é a real no caso, para depois encontrar as demais raízes. Em conjunto, teremos o método para encontrar a raiz real e depois usaremos a divisão de polinômios para termos um polinômio de quarto grau e assim obter as demais raizes do polinômio de quinto grau.

Demonstração da fórmula
Como usar a fórmula
Calculadora online de equação de quinto grau
Considerações finais sobre essa fórmula

Demonstração da fórmula para resolver equação de quinto grau

O princípio dessa fórmula é “tentar completar o quadrado”. Sim, é através do teorema da equação do segundo grau que iremos obter a fórmula para a equação de quinto grau.

Podemos chamar esse método de “O método de Martinelli” para adquirir a fórmula de quinto grau.

Vamos então demonstrar a fórmula:

metodo-de-martinelli-parte1-divisao-pelo-coeficiente-a

O primeiro passo é dividir o polinômio pelo coeficiente a. Feito isso, temos que adquirir a “compensação” ou para tentar completar o quadrado. Mas, precisamos saber, através da expansão, dos termos que, representados por letras, deverão ser adicionados na equação para podermos formar a fórmula. Desenvolvemos então o produto notável:

formula-de-martinelli-parte2-produto-notavel-quinto-grau

Agora iremos pegar os quatro últimos termos e separá-los como positivos.

Também temos que ressaltar que temos cx^3 + dx^2 + ex + f (todos esses coeficientes são divididos por a e posteriormente são multiplicados por a). O mesmo ocorre com os últimos quatro termos do produto notável acima.

Então, tirando o mmc de 3125a^4 (sim, elevado a 4 pois foram multiplicados por a).

Então temos uma situação assim:

formula-de-martinelli-passo-3-mmc

O mesmo será com os demais termos cx^3 + dx^2 + ex + f.

formula-de-martinelli-passo-4

Pronto, agora é só colocarmos o produto notável (x + b/5a)^5 e igualarmos a 0.

formula-martinelli-passo-6

Pronto, agora basta passarmos para o segundo membro, depois passar como raiz de índice 5 e por fim passar b/5a para o segundo membro que teremos o valor de x. E é ai que nossa fórmula surge.

formula-martinelli-completa-parte-1

Se fizermos alguns reajustes como eliminar o denominador do radical e fazer o fator comum teremos ainda uma fórmula mais compacta:

formula-equacao-do-quinto-grau

Pronto, temos a fórmula da equação do quinto grau. Porém, como usá-la?

Como usar a fórmula da equação de quinto grau

Podemos dar um exemplo de equação do quinto grau com todas as raízes pertencendo ao conjunto dos números reais.

Vamos então escolher essa equação:

exemplo-de-equacao-do-quinto-grau

Basta substituir na fórmula os coeficientes: a = 1, b = 18, c = 121, d = 372, e = 508 e f = 240.

Temos então essa situação:

resultado-da-equacao-de-quinto-grau-na-formula

Se pegarmos o discriminante dessa fórmula e resolvermos como se fosse uma equação do terceiro grau, iremos obter um valor bem aproximado da raiz. Nesse caso podemos supor com precisão a raiz real dessa equação de quinto grau.

Após resolver a equação do terceiro grau obtemos três raízes no caso:

-2.2196036504684

-4.77488211047148

e

-4.00086307626942

Pronto, fica fácil entender que uma das raízes é -4 pois é o valor que mais se aproxima. Mas não devemos descartar que -4.774.. seja próximo de -5 e que -2.21… seja próximo de -2 e -3 (mais próximo de -2 do que de -3, então a suposição seja -2 como uma das raízes da equação do quinto grau dada). Mas.. devemos ter certeza que um ou dois resultados estão próximos de uma das raízes (quando as demais não forem complexas). Então fica fácil.

Basta substituir -4 em x que teremos -4 como resposta e é essa uma das raízes reais.

Pela divisão de polinômios chegamos a uma equação de quarto grau e por fim conseguimos obter as demais raízes. Não é necessario entrar nesse método, nosso foco aqui é encontrar uma das raizes reais da equação de quinto grau.

Calculadora online de equação de quinto grau

uma SIMPLES demonstração do calculo de raizes de uma equação do quinto grau é possível através dessa calculadora (com alguns bugs por enquanto).

Considerações finais da fórmula equação quintica

Esse método também funciona para equação cúbica. Basta criar a fórmula para isso. No meu vlog há um vídeo explicando como ela funciona para equação de terceiro grau.

Quanto aos resultados da equação quintica, pode parecer “lento” para se obter o resultado, mas com “suposições” é bem provável que você consiga encontrar, quando for inteira, a raiz real da equação de quinto grau.

Com paciência obtem-se o resultado para outras raízes irracionais, basta substituir na fórmula e resolver a equação do terceiro grau que teremos um valor aproximado da raiz e com base nesse resultado conseguiremos obter a raiz de fato da equação de quinto grau inserindo em x o valor obtido do resultado da equação do terceiro grau e devemos fazer isso sucessivamente por pelo menos 7 vezes para obter o mais aproximado valor possível da raíz.

Atenção, se o resultado ficar preso a um resultado positivo e negativo significa que você terá que igualar a fórmula ao resultado da equação do terceiro grau e fazer a multiplicação por 5a, fazer a soma por b, fazer a elevação a quinta potência, após isso, teremos no segundo membro um número, esse número deverá ser ser somado ou subtraído (dependendo do sinal) do termo independente da equação do terceiro grau que estiver no primeiro membro.

Assim, resolve-se essa nova equação e o valor da raiz vai se aproximando e por fim o valor da raiz após esses procedimentos vai aparecer corretamente e precisamente!

Mas se quiser resolver de outra maneira analítica temos esse vídeo:

 

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Postagem publicada em
e atualizada em 26 de Janeiro de 2018
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Funciona, Matemática  
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