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Equação cúbica – Como fazer e exercícios resolvidos

Na função ou equação quadrática tudo parece bem mais simples com o uso da fórmula de Bháskara para encontrar o número que inserido na função resulte em 0, ou propriamente dizendo, os números (raízes) que resultem na igualdade 0.

Já na equação cúbica (também conhecida como equação do terceiro grau), para encontrar suas raízes é preciso muito mais trabalho. Nesse caso, são no máximo três raízes que resolvem a equação cúbica.

Temos também as raízes complexas que fazem parte da resolução da equação cúbica em alguns casos.

Há algumas fórmulas que serão apresentadas para facilitar achar as três raízes e assim resolver a equação cúbica de uma maneira mais rápida e simples.

Equação cúbica – Explicação por tópicos

grafico-equacao-cubica
Conceito básico da equação cúbica
Fórmula para encontrar as raízes de uma equação cúbica
Fórmula correção de discrepância
Fórmula da raiz relativa para equação cúbica
Fórmula correção de discrepância (macete)
Caso onde o “chute” -1 ou 1 não funciona
Fórmula de intensidade 2 quando derivamos a equação cúbica
Exercícios resolvidos em video
Como resolver quando as raízes forem iguais
Resolver equação cúbica método por calculadora
Referências externas – Equação cúbica

Conceito básico de equação cúbica

Como já falado, na equação cúbica temos no máximo três raízes que nos dão a resolução da equação cúbica. Para adquirir esses zeros ou as raízes podemos usar a álgebra de Cardano e Tartaglia.

Existe também uma outra fórmula para resolver a equação cúbica que será apresentada a seguir. Podemos resolver também a equação cúbica através de uma calculadora específica para isso. O endereço da calculadora cúbica estará nas referências externas.

Até meados de 1500 não existia uma solução para a equação cúbica. Até o surgimento de um matemático chamado Tartaglia que elaborou um método algébrico para resolver a equação cúbica que se trata de eliminar o termo quadrático da equação cúbica e com isso é possível elaborar uma fórmula que resolve a equação cúbica no seguinte formato:

\(t³ + pt + q = 0\)

sendo:

$${ p = \frac{ 3ac – {b^2}}{3a^2}}$$

e:

$${ q = \frac{ {2b^3 – 9abc + 27a²d}}{27a^3}}$$

E então basta substituir na fórmula de Cardano-Tartaglia abaixo (Lembre-se que o coeficiente a tem que ser 1):

Fórmula Cardano-Tartaglia

Para adquirir a raiz da equação cúbica completa basta somar

$${ \frac{-b}{3a} }$$

com a raiz adquirida com a fórmula de Cardano-Tartaglia.

Como há casos onde dentro da raiz quadrada é negativo na fórmula de Tartaglia-Cardano, temos que utilizar uma fórmula que envolve trigonometria e converter o número complexo em um número real. Mas antes de sabermos a fórmula podemos ver que se:

$${ D = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} }$$

$${D > 0}$$ existem 2 raizes complexas.
$${D = 0}$$ pelo menos duas raizes reais iguais.
$${D < 0}$$ três raízes reais. $${ }$$ Através de outro método é possível resolver a equação cúbica em conjunto com funções trigonométricas. Porém, há como resolver via fatoração e também através da fórmula "alterada de Bháskara" (Isso quando se encontra uma das raízes). E para encontrar uma das raízes temos também uma fórmula (de minha autoria) que funciona perfeitamente. Toda equação cúbica é dada no formato ax³ + bx² + cx + d = 0. Temos então três coeficientes e mais o termo independente. Neste artigo iremos ver como resolver uma equação cúbica apenas para coeficientes reais.

Fórmulas que facilitam achar as raízes

Para descobrir a raíz real (com a condição de que quando os coeficientes da equação cúbica forem todos reais) vamos dizer que x é um ponto inicial, um “chute” de onde poderemos saber de fato a raiz real da equação.

Podemos chutar um valor para x:

$${x = -1}$$ Ou 1, podemos definir o x como 1 ou -1. Você poderá definir um valor maior que 1 ou menor que 1 dependendo do coeficiente b (a seu modo) desde que não seja maior que o coeficiente b.

$${\theta = \frac{ -b + \sqrt[3]{b^3+9a(b^2-3ac)x-27a^2d}}{3a}}$$

Essa fórmula é bem conhecida e fácil de ser demonstrada. Pode ser usada em conjunto com derivadas para solucionar uma equação cúbica (Quando não existirem raízes complexas).

Veja a demonstração dessa fórmula no vídeo abaixo:

$${\alpha = \frac{ -b + \sqrt[3]{b^3+9a(b^2-3ac)\theta-27a^2d}}{3a}}$$

e:

$${\beta = \frac{ -b + \sqrt[3]{b^3+9a(b^2-3ac)\alpha-27a^2d}}{3a}}$$

ou:

$${ |\alpha| > |\beta| > |\theta| }$$

Temos também a seguinte situação:

$${ \theta < \beta < \alpha }$$ Então teremos raízes complexas. Isso indica que podemos usar dois artifícios: O primeiro é igualar o que está dentro da raiz cúbica a 0 (que é uma maneira incorreta de se fazer mas que funciona como chute). O segundo é dividir o coeficiente b por 3 (que seria a média artimética das 3 raízes). Primeira forma: $${b^3+9a(b^2-3ac)\theta-27a^2d = 0}$$ Segunda forma: $${\frac{-b}{3}}$$ O segundo passo é o mais coerente e correto. Feito isso, você terá que fazer ax³ + bx² + cx + d = (x - rx)³ (sendo rx a raiz relativa que foi obtida de uma das duas formas de chutar um valor próximo da raíz quando as raízes da derivada da equação cúbica forem complexas). Então podemos fazer as substituições e obter o valor de theta e assim teremos um ponto de partida para conseguirmos achar uma das raizes reais da equação cúbica fornecida. Veja que igualar a 0 o que está dentro da raiz cúbica é um artifício para se chegar em um "chute" de um valor próximo da raiz. Mas, em alguns casos, esse artifício não fornecerá um valor próximo da raiz, mesmo assim, teremos um valor para começarmos a descobrir a raiz real da equação cúbica dada. É errado matematicamente igualar a 0, pois o correto seria: $${b^3+9a(b^2-3ac)\theta-27a^2d = (3a\theta + b)^3}$$ Ou seja, omitimos \((3a\theta + b)^3\).

Já na condição de:

$${ \theta < \beta < \alpha }$$ Sem os módulos, notamos que a raiz está próxima já dessas três aproximações e podemos ter uma raiz relativa. Exemplo: x³ + x² + x + 910 = 0 Após obter Theta, Alpha e Beta podemos ter uma raiz relativa de -10,00000012 (que no caso seria Beta) que se aproxima de -10. O mesmo ocorre quando: $${ \theta > \beta > \alpha }$$

Exemplo: x³ + x² + x – 1110 = 0

Lembrando que definimos x no começo como -1.

Após obter Theta, Alpha e Beta podemos ter uma raiz relativa de 10,00000008 (que no caso seria Beta) que se aproxima de 10.

Fórmula correção de discrepância

Para corrigir a discrepância do valor adquirido após fazer o passo ax³ + bx² + cx + d = (x – rx)³ fazemos:

\(A = b^3 – 27a^2d – 3b(b^2 – 3ac)\)
\(B = 3(b^2 – 3ac)\)
\(C = b^3 – 27a^2d\)
\(D = 9a(b^2 – 3ac)\)

$${\frac{ -b + \sqrt[3]{A + B\sqrt[3]{A + B…….\sqrt[3]{C + Dx}}}}{3a} = x}$$

Veja que a parte de raiz cúbica de A + B tende ao infinito. Isso indica que você terá que “fabricar” uma fórmula com pelo menos 5 ou 6 situações como essa para obter uma aproximação do resultado real bastante satisfatória ou então podemos criar uma equação cúbica que resolve essa parte do numerador. Basta fazer:

$${ x = \sqrt[3]{A + Bx} }$$

Com isso obtemos a equação cúbica: x³ – Bx – A = 0 (Sendo B e A o que já foi mostrado acima).

Essa forma de adquirir a raiz deve ser usada quando:

$${ |\theta| < |\alpha| < |\beta| }$$ Mas que lógica teria resolver uma equação reduzida (sem o coeficiente quadrático) para resolver outra equação cúbica dada? A questão é que evitamos denominadores em q e p caso escolhessemos a forma, já citada acima, convencional de eliminar o coeficiente quadrático. Certo, e agora? temos uma equação cúbica que resolve parte do numerador de outra cúbica assim podemos utilizar a fórmula trigonometrica pois D será menor que 0 e com isso obter todas as soluções que faltam na parte que tende ao infinito sobre radical de índice 3 de radical de índice 3 até o infinito.

Fórmula trigonometrica quando as raizes forem reais

Sendo k variando de 0, 1 e 2. Podemos obter então 3 resultados com essa fórmula acima.

Além disso, há outra alternativa. Essa forma indica que existe a possibilidade de usar derivadas para usar o teorema da raiz relativa:

$${ RX = \frac{(3x_1 – x_2)}{2} }$$

A raiz relativa é provada matematicamente, veja o vídeo:

Fórmula da raiz relativa para equação cúbica

Fórmula correção de discrepância (macete)

E Ainda no caso de:

$${ |\theta| > |\beta| > |\alpha| }$$

Temos que utilizar a mesma fórmula de correção dessa discrepância, porém, com o seguinte macete:

$${x = \frac{\Bigg\{\bigg[\Big(\frac{(3ax + b)^3 – A}{B}\Big)^3…….\bigg] – C\Bigg\}}{D}}$$

Temos que repetir essa fórmula pelo menos umas 5x para se chegar até um valor bem aproximado da raiz… Como já disse, você tem que “fabricar” sua fórmula, pois existe uma “intensidade” para se chegar mais rápido ao valor da raiz de fato.

Mas, podemos simplificar isso, novamente, se criarmos uma equação cúbica que forneça um valor que seria fazer infinitas vezes o (-A/B)³.

$${ x = \sqrt[3]{A + Bx} }$$

Temos então a nossa equação x³ – Bx – A = 0. Basta resolver com o uso da fórmula de Tartaglia-Cardano e você vai obter um valor que após subtrair C e dividir tudo por D dará a raiz real da equação cúbica.

Caso onde o “chute” -1 ou 1 não funciona

Se ficar preso entre Theta, Alpha e Beta (como é o caso de x³ + 3x² + 4x + 1 = 0) em ambos os casos, podemos tirar a média aritmética de Theta, Alpha e Beta que ocasionaria em nossa raiz relativa. Exemplo:

$${\frac{(\theta + \alpha + \beta)}{3}}$$

x³ + 3x² + 4x + 1 = (x + 0.333333333)³ .E assim desenvolvemos a raiz com o uso da fórmula de correção da discrepância mas sem o macete de passar tudo para o primeiro membro e começar o desenvolvimento do cálculo; usa-se então a fórmula sem o macete.

Adquirido uma das raízes da equação cúbica, você poderá utilizar essa fórmula para achar as demais raízes:

$${x = \frac{ -b -ra \pm \sqrt{b^2-4ac – 2abr -3a^2r^2}}{2a}}$$ (Que é a fórmula de Bháskara alterada para se encontrar as demais raízes).

Lembre-se que esse modo de resolução da equação cúbica só serve quando os coeficientes forem todos reais. Se um ou todos coeficientes forem complexos poderá optar pela fórmula de Cardano-Tartaglia.

Fórmula de intensidade 2 para aproximar muito a raiz real

Após derivar e obter x1 e x2, colocamos na fórmula da raiz relativa e obtemos um número aproximado da raiz real.

Mas, para aproximar mais ainda da raiz podemos construir uma equação de segundo grau que nos fornecerá um valor muito bom (perto da raiz da equação cúbica), á isso eu dou nome de equação quadrática de “intensidade 2” para solucionar uma equação cúbica.

Primeiro, analisemos a equação de segundo grau de intensidade 1:

(3rx – B)x² + (-3rx² + C)x + D + r³ = 0

Podemos notar que rx é a raiz relativa e B é o coeficiente quadrático da equação cúbica, C o coeficiente angular e o D o termo independente.

Agora como ficaria a equação de intensidade 2? Vamos ver:

nomeando

Então os coeficientes da nossa equação quadrática serão:

Fórmula para resolução de equação cúbica de intensidade 2

Exercícios resolvidos em video

Calculadora equação cúbica

Há outros métodos também como é o caso do trigonométrico que pode ser encontrado nesse site em inglês método para encontrar as raízes de uma equação cúbica. Basta seguir os passos e você terá as três raízes da função cúbica.

Esse método citado logo acima possui uma excelente precisão no fornecimento das raízes.

Como resolver quando as raízes forem iguais

Se todas as raízes da equação cúbica forem iguais podemos utilizar a fórmula:

$${x = \frac{ -b + \sqrt[3]{b^3+9a(b^2-3ac)x-27a^2d}}{3a}}$$

Exemplo x³ + 3x² + 3x + 1. Nesse caso, todas as raízes são iguais a – 1. Substituindo na fórmula podemos concluir que o radicando se anula e ai basta fazer a divisão:

$${x = \frac{ -3 + \sqrt[3]{27+9(1)(9-3(1)(3))x-27}}{3(1)}}$$

$${x = \frac{ -3 + \sqrt[3]{9(1)(9-3(1)(3))x}}{3(1)}}$$

$${x = \frac{ -3 + \sqrt[3]{0}}{3(1)}}$$

$${x = \frac{-3}{3}}$$

$${x = -1}$$

Sabemos então que todas as raízes são iguais por isso o radicando se anula.

Referências externas – Equação cúbica

1. Solving cubic equation. Disponível em: Solving Cubic Equation. Acessado em 23 Jun 2014.
2. Cubic function. Disponível em: Cubic Function. Acessado em 23 Jun 2014.

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Postagem publicada em
e atualizada em 10 de setembro de 2017
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Matemática  
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3 Respostas para Equação cúbica – Como fazer e exercícios resolvidos

  1. LUCAS SPERRY disse:

    Eu gostei do caso e aprendi alguns truques que usá-los-ei! Boas e ricas aulas

  2. andrew disse:

    não seria 4ac em vez de 3ac?

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