Categoria: Funciona

Função crescente e decrescente – Exercícios resolvidos

A função crescente é quando o a é maior do que 0 e a função decrescente é quando o termo a é menor do que 0. Em outras palavras, quando nos deparamos com y = ax + b temos função crescente para a > 0 e decrescente para a < 0. Vamos ver isso com alguns exemplos Função crescente - exemplo com inputs em x funcao-crescente-exercicio-resolvido

Função decrescente – exemplo com inputs em x

funcao-decrescente-exercicio-com-exemplos

Gráfico de uma função crescente e decrescente

Crescente:

grafico-funcao-crescente

Decrescente:

grafico-funcao-decrescente


Função afim – exercícios resolvidos

Toda função afim ou função linear é definida por \(f: R → R\) e só podemos dizer se possuem a característica linear se y = ax + b sendo \(x ∈ R\). Para função temos \(f(x) = ax + b\).

São casos peculiares função afim, funções lineares e constante.


Como mexer no Google Trends

Uma das ferramentas mais interessante do Google para coletar dados na web é sem dúvida o Google Trends. Sem ele não saberíamos por exemplo as palavras-chave mais buscadas em determinados períodos inclusive nos períodos atuais/presentes.

Usá-lo é bastante simples, vamos ver nesse pequeno artigo como usar ou mexer no Google Trends de uma maneira útil. Então a primeira coisa a fazer é entrar no Google trends

Primeiros passos – Adicionar termo no Google Trends

google-trends-palavras-chave

Após isso, atente-se para esse detalhe:

google-trends-palavras-chave-adicionar-termo

Você pode escolher alguns termos a serem adicionados, vamos à um exemplo:

google-trends-brasil-copa-2014

Veja que interessante, após a copa do mundo de 2014 no Brasil o gráfico mostra uma brusca queda, e ao mesmo tempo, um mês antes praticamente, mostra uma repentina busca por copa 2014.

Agora os países interessados na copa 2014.

paises-por-regiao-interessados-na-copa-2014-google-trends

E temos por fim as pesquisas relacionadas e tendências desses dados.

pesquisas-relacionadas-copa-do-mundo-2014-google-trends

Com esses dados podemos transformá-los em informações valiosas na tomada de decisão de uma empresa ou qualquer negócio online com base nas tendências e histórico dos dados colhidos através dessa útil ferramenta do Google (o Google Trends).


Como descobrir o gráfico de uma equação linear

Muitas vezes nos deparamos com equações lineares e com a pergunta – Descubra o gráfico da equação dada.

Nesses casos muitos ficam desorientados na hora de desenhar o gráfico de uma função/equação linear.

Parece difícil, mas não é, vamos analisar algumas coisas que devemos levar em consideração antes de criar nosso gráfico da função ou equação linear

O primeiro detalhe é saber o termo b que sempre vai influenciar no eixo y. Depois devemos saber o coeficiente x que em conjunto com o termo b vai nos dar a raiz da equação/função linear. (Lembre-se y = ax + b).

equacoes-lineares Nessa figura à esquerda temos alguns exemplos de equações lineares que podemos formar o gráfico de maneira fácil.

Vamos pegar o primeiro exemplo e desenhar o gráfico.

grafico-equacao-linear-2x-mais-2-igual-a-0 Temos a reta interceptando o eixo x e y. Temos um par ordenado de (-1, 2). Mas como foi possível chegar a essa conta? É simples.

Vejamos. Primeiro peguei o termo b para saber onde no eixo y que a reta iria interceptar. Logo após isso descobri a raiz da equação e pronto, temos o gráfico da equação linear feito.

No exemplo, temos essas passagens para descobrir a raiz da equação linear:

2x + 2 = 0
2x = -2
x = -2/2
x = -1

Com as demais equações se faz a mesma coisa. Usamos o termo b como referência para descobrir onde no eixo y a reta irá passar, e logo após fazemos a descoberta da raiz da equação e determinamos onde no eixo x a reta vai passar. Simples não?


Inequações – Como fazer e exercícios resolvidos

Vamos ao conceito de inequações antes de começar a resolver exercícios.

Primeiro, imagine duas pessoas, João e Maria, os dois fizeram um mesmo trabalho e João terminou mais rápido que Maria esse trabalho.

Temos uma informação, que é a de que João terminou mais rápido um mesmo trabalho que Maria.

Então fazemos a conta que João é mais rápido que Maria (pelo menos em um trabalho/tarefa).

Para escrever isso de forma matemática usamos os sinais \(>\) (maior) e \(< [/latex] (menor). maior-e-menor-que

Então temos que João > Maria.

Temos maior igual que e menor igual que. Exemplo:

José tem uma altura maior ou igual a 1,80.

maior-igual-que-menor-igual-que

Exercícios resolvidos de inequações

exemplos-de-inequacoes

Temos em sequência as soluções:

[latex]y >-4\)
\(x > 8\)
\(z >-1\)

Dúvidas com relação a inequações? deixe um comentário.


A arte da guerra no xadrez

A arte da guerra no xadrez. Quem já leu o livro a arte da guerra de Sun Tzu sabe do que estou dizendo. É imprescindível conhecer a arte da guerra de Sun Tzu para aumentar seu nível de jogo no xadrez. Eu digo isso pelo fato do livro conter informações e detalhes que relacionam-se com estratégia e tática.

Nesse artigo você irá ver com detalhes a minha interpretação do livro a arte da guerra de Sun Tzu para os enxadristas de todos os níveis.

Estatisticas, proporções, analises e previsões

Tão/todas as peças do xadrez incluindo o rei em posição favorável a um objetivo estratégico ou tático de acordo com a posição, fora do tabuleiro, antes e depois, é essencial o jogador que conduzirá as 16 peças contra as 16 peças do oponente esteja preparado e pronto antes e durante da partida.

No caso de se preparar e estar pronto é uma questão fora do tabuleiro. Use os conselhos do seu técnico e saiba filtrá-los da melhor forma possível para determinado oponente e assim contribuirá com seu jogo.

Esteja preparado para perder, ganhar e empatar. Estude o jogo do seu oponente dias antes de enfrentá-lo. Para isso use dos recursos como Internet para obter os jogos gravados dele.

a-arte-da-guerra-no-xadrez

Se você ganhar, não deixe o ego inflar, lembre-se, se você estiver em um torneio terá então que jogar mais partidas e o ego só atrapalha.

Se você perder, não se deixe abalar, lembre-se que outros jogos virão e você não pode deixar a derrota de um jogo passado tomar conta do seu ser.

Aprenda com suas derrotas, vitórias e empates. Se empatou e após analisar a partida viu que poderia vencer com lances melhores, não desanime, uma nova oportunidade de jogo surgirá e a vida continua.

Resumindo, inteligência emocional é primordial.

Viagens que o enxadrista tem que fazer

Muitas vezes o enxadrista tem que viajar para poder participar de um torneio. Muitas vezes essas viagens são fora do país de origem e isso pode atrapalhar seu desempenho.

Saiba corretamente o lugar onde você irá para jogar. Faça um check-list e verifique se tudo está em ordem na bagagem material e na bagagem intelectual.

Há pessoas inconvenientes nesse torneio? se sim, evite se deixar levar por comentários negativos.

O clima é frio, quente ou temperatura normal? Prepare-se nisso também com roupas adequadas.

Dentro do jogo – Dicas

Calcular bem é essencial. Calcule o máximo que você puder sem interromper. Verifique se suas peças estão em harmonia com ataque e defesa ao mesmo tempo. Saiba o conjunto, lembre-se, xadrez é um todo, não é somente suas peças, mas também as peças do oponente. Portanto o jogo de xadrez é formado inicialmente por 32 peças, e são elas que interferiram no todo de uma forma ou de outra.

Seja disciplinado em todos os aspectos (inclusive respeitar as regras oficiais do jogo durante uma partida). Não toque em uma peça sem ter a absoluta certeza de que irá movê-la.

Estude de forma bastante minuciosa as partidas de grandes mestres do xadrez, inove aquilo que seja possível novar dependendo de quem você irá enfrentar nos tabuleiros.

Seja humilde, não subestime o seu oponente em momento algum. Se caso ele o fizer, pode acreditar que ele se dispersou no ego e isso é uma brecha para sua vitória.

Seja íntegro, jogue para ganhar mas para aprender também com a vitória, empate e derrota.

Proporções do tempo de jogo (relógio) e qualidade do lance

Equilibre os dois. Facilite sua vida e treine sua capacidade de raciocínio lógico. Faça de suas peças uma amiga da outra, ou seja, ajude-as a trabalharem em harmonia para que haja a possibilidade de boas articulações estratégicas e táticas.

Como prever o jogo? resposta: Saiba tudo sobre seu oponente.

Jogos jogados pelo seu oponente é uma boa iniciativa para conhecer suas capacidades.

No jogo, após alguns lances, saiba se seu oponente possui peças ativas em jogo em prol das suas potencialidades. Essa é uma forma eficiente de conhecer a orientação do técnico do seu oponente e do nível do xadrez dele contra você. Ele pode fazer uma abertura diferente daquela que você esperava. Nesse caso possua um jogo novo e articulado com todas as suas peças – Torne suas peças ativas no jogo.

Saiba se seu oponente é bastante técnico e em aberturas (se ele conhecer muito bem variações, use de sua criatividade para algo imprevisível e consistente).

Saiba se seu oponente perde mais de brancas ou de pretas. Conheça os motivos pelos quais ele perdeu e ganhou as partidas e faça situações parecidas para que ele caia em uma cilada (tática).

Vantagens e desvantagens

Se seu oponente faz um lance do qual você possa tirar vantagem, não acredite nessa ilusão. Acredite na vitória. Por isso não fique preso a uma uma situação ou posição que você pensa estar em vantagem (aja como se não tivesse vantagem no jogo e crie situações de extrema vantagem para finalizar logo seu oponente).

Por isso, quando for possível ganhar qualidade material ou posicional não fique animado, pode ser uma armadilha.

Observação: Quando pronto, finja grande desespero, quando perto, finja estar longe, quando longe façam acreditar que está próximo.

Se o oponente procurar alguma vantagem com isso (dentro do jogo) faça-o acreditar em algum momento específico do jogo que há uma vantagem a se obter que na verdade é uma armadilha para ele.

Se as peças dele não estiverem em harmonia procure posições de ataque, aproveite o tempo que ele perdeu no jogo com lances não criativos e conquiste o jogo o mais rápido possível.

Se seu oponente for muito forte em todos os entidos prepare-se e lute com todas as suas qualidades no xadrez.

Se ele possui forças superiores como uma posição melhor (peça a mais etc), evite a todo custo o xeque mate por parte dele com a articulação de todas as peças próximas ou perto para criar uma posição de proteção antes de contra atacar para se obter uma grande vantagem sobre seu oponente.

Crie situações onde seu oponente “trave” o jogo dele e assim ele terá grandes problemas (veja o vídeo)

Isso pode unir suas peças. Ele pode criar uma ou várias situações para separá-las e nessa situação pode bagunçar as peças dele (seu oponente) e abrir brechas a um novo ataque que antes não surtiria efeito. Ataque-o onde ele estiver desorganizado/despreparado.

Evite surpresas, ele vai tentar jogadas diferentes para atacar ou abrir uma brecha em seu jogo caso esteja enfraquecido. Por isso saiba calcular jogadas com base já no seu conhecimento do oponente, conhecimento no xadrez, intuição, criatividade etc…

O ataque no xadrez – Quando, como fazer etc

Somente nos momentos propícios é possível o ataque e a manutenção dele para o xeque-mate ou simplesmente obter vantagem posicional/material. Caso contrário seu ataque será em vão e isso pode ocasionar em um contra ataque fulminante (é preciso ser rápido). Não é aconselhável reforços ou, em outras palavras, perder tempo levando mais peças para o ataque, isso não seria bom pois o tempo no xadrez é precioso (a vez de jogar). Tente então usar as peças do oponente a seu favor durante um ataque incisivo/preciso. É preciso estar a um passo adiante do seu oponente.

Se isso não for levado em consideração é de certo que terá que fazer remanejamento de peças para poder se defender de um possível contra ataque.

No caso de um jogo extremamente defensivo por parte do seu oponente, tente evitar atacar, espere, até que seu oponente cometa algum erro e abra a defesa (isso é uma oportunidade de ataque).

Tente posicionar-se de forma que seu oponente fique travado com o objetivo dele não possuir opções ao se movimentar no jogo.

Se conservar a posição do oponente é de certo que poderá calcular melhor um contra ataque pois, uma vez o jogo do oponente travado, torna-se previsível o que ele irá fazer.

Não ataque o oponente sem ter a certeza de que a posição é favorável ao ataque.

Não propague a desordem de suas peças em momento algum pois isso pode culminar num ataque do oponente.

Use as peças do oponente a seu favor após bolar uma estratégia Para isso é preciso calcular muito bem o que deseja fazer quando a condição é favorável.

Na aniquilação do oponente de maneira rápida é preciso ter as peças em posição que culmine em um tático ou numa combinação em que o oponente fique quase que derrotado por completo – Seja na posição ou no material (qualidade).

Preze pela vitória rápida e evite a demora na vitória de uma batalha armando uma estratégia consistente.

Estratagema no xadrez – Como fazer

Muitas vezes um ataque pode ser feito sem trocar peças que pode prejudicar o avanço total do seu jogo contra o oponente.

Domine o jogo, mas saiba usar as peças do oponente a seu favor sempre que calcular uma ótima estratégia (Dica: use a estratégia do seu oponente a seu favor).

Calcule, esforce-se ao máximo nessa questão antes de atacar, pois seu oponente pode haver feito um jogo extremamente defensivo e isso pode ocasionar num grande contra ataque.

Quando você se deparar com um jogador defensivo pode indicar que ele conhece sua maneira de jogar e que sabe de seu potencial no ataque. Nesse caso use do bom senso, calcule e encontre falhas nessa defesa e explore-as com muito esforço para derrotá-lo rapidamente.

Seja organizado com suas peças (já falado). Selecione as peças mais importantes e designe a elas a estratégia que foi bem calculada.

Pontos fortes e pontos fracos no xadrez – como funciona

Analise a situação e veja os pontos fortes e fracos do oponente de uma forma geral, a primeira dica é fazer o oponente mexer as peças que você almeja para ai aplicar sua estratégia de jogo, nesse ponto analise se ele faz isso com você e evite fazer o que ele quer. Para enxergar isso calcule muito bem.

Defenda uma boa posição a todo custo e isso vai lhe garantir grande vantagem perante seu oponente.

Surpreenda o oponente com um exímio ataque ou surpreenda o oponente com uma exímia defesa e um contra ataque.

Saiba centralizar o ataque, não disperse, senão todo o seu jogo ficará debilitado.

Ataque onde há a maior fraqueza, para isso é preciso analisar o jogo como um todo.

Seja imprevisível dentro do controle e terá vantagem perante seu oponente.

Estude o jogo do seu oponente, jogos já jogados por ele é uma boa opção.

Xadrez não é quantidade material, mas sim posição melhor das peças.

Conheça bem a posição antes de fazer um lance, caso contrário enfrentará problemas no reposicionamento de suas peças para outra investida.

Distâncias no jogo de xadrez – como funciona

Quando há uma distância do conjunto, o ataque torna-se deficiente, mas se houver uma ligação das peças uma com as outras haverá um ataque vantajoso.

Tenha um jogo obscuro para seu oponente e claro para você. Para isso calcule muito bem.

Não disperse suas peças. Use-as em conjunto, por isso evite mover uma peça duas vezes em seguida (crie um elo entre suas peças, como já falado).

As casas mais importantes para o ataque devem ser tomadas a todo custo.

E por fim, saber com antecedência os planos do seu oponente com o uso de deduções e intuição de acordo com o estilo de jogo dele é importantíssimo.


Fórmula mais simples que Bhaskara

Quem acha a famosa de Bhaskara difícil de memorizar para encontrar as raízes de uma função quadrática (ou os zeros da função) vai querer saber então de uma outra fórmula, da qual é mais simples e mais fácil de memorizar.

Através de indução e dedução foi possível mudar algumas coisas da fórmula de Bhaskara e adaptar ela a uma nova fórmula que requer menos memorização que a atual fórmula de Bhaskara

Estou falando dessa fórmula:

formula-mais-simples-que-Bhaskara

Podemos testá-la:

3x² + 7x – 2. a = 3, b = 7, c = -2

+ ou – {√[(b/2)² – ac]} – (b/2)/a =>

+ ou – {√[(7/2)² – (3)(-2)]} – (7/2)/3 =>
+ ou – {√[49/4 + 6]} – (7/2)/3 =>
+ ou – {√[49/4 + 24/4]} – (7/2)/3 =>
+ ou – {√[73/4]} – (7/2)/3 =>

+ ou – {4.272001873} – 3.5/3 =>

x1 = -2.590667291

x2 = 0.257333958

Outro teste:

2x² + 4x – 6. a = 2, b = 4, c = -6

+ ou – {√[(b/2)² – ac]} – (b/2)/a =>
+ ou – {√[(4/2)² – (2)(-6)]} – (4/2)/2 =>
+ ou – {√[(2)² + 12]} – 2/2 =>
+ ou – {√[4 + 12]} – 2/2 =>
+ ou – {√[16]} – 2/2 =>
+ ou – {4} – 2/2 =>

x1 = -4 -2/2 => -6/2 = -3
x2 = +4 -2/2 => 2/2 => 1

Só tem um problema nessa fórmula, ela não dá a inversa quando o termo b for ímpar, só quando o termo b for par ai dá.

Lembre-se, Bhaskara ainda é muito usado para encontrar as raízes de uma função quadrática, então, além de saber essas, saiba Bhaskara também.

Fica a dica.


Lógica matemática – Exemplos e exercícios resolvidos

A lógica matemática é super importante no nosso cotidiano. Exemplo, imagine que você deseja saber a quantidade de clientes de uma empresa com base nas vendas de determinados produtos para cada cliente, dois clientes ou até mesmo três clientes em um período específico.

A lógica matemática nos proporciona mais que isso, tal é como as afirmações lógicas como no silogismo onde podemos descobrir algo falso ou verdadeiro.

Temos também os símbolos de subconjunto, união, intersecção, complementar e outros detalhes a serem falados no artigo.

Vamos lá.

Índice – lógica matemática

Exemplo prático de lógica
Exemplo problema intersecção e união
Exercícios propostos e resolvidos

Exemplo de lógica matemática

Podemos iniciar um exemplo prático de lógica. O silogismo é a conexão de ideias, porém ideias com base na lógica para termos uma argumentação lógica perfeita.

Ai temos as proposições e premissas que torna uma conclusão falsa ou verdadeira. Exemplo prático:

Todo paulista é brasileiro.
João é paulista.
logo João é brasileiro.

Esse exemplo é bastante simples e de fácil entendimento, claro que há silogismos mais complexos que não é o caso do artigo.

Em forma gráfica temos o silogismo citado dessa forma:

silogismo-em-grafico

Veja que o círculo João está dentro das outras camadas que são Paulista e Brasileiro.

Com abreviação, conseguimos B para brasileiro, P para paulista e J para João. Logo temos por subconjunto:

J ⊂ P ⊂ B

Lê-se: João é um subconjunto pertencente aos Paulistas que por sua vez é um subconjunto pertencente ao universo dos brasileiros.

Seria lógico também, pelo fato de haver somente João dentro do subconjunto dos Paulistas, dizer que João pertence ao subconjunto dos Paulistas apenas.

Claro, esse é um exemplo bastante simples de silogismo. Mas, como queremos estudar algo prático iremos entender melhor como funciona a lógica na matemática.

complementar-de-um-conjuntoVamos analisar agora a questão complementar de um conjunto.

Vamos supor que no universo A temos maçã, pera, uva e mamão. No conjunto B temos maçã e mamão.

O complementar é aquilo que não está em A. Então, temos o complementar pera e uva.

Exemplo problema de intersecção

problema-interseccao

Agora temos as intersecções com preenchimento. Podemos escrever essas intersecções de forma simbólica.

interseccao-com-preenchimento

De forma simbólica, temos os símbolos ∪ (união de) e ∩ (intersecção).

Na figura acima temos o preenchimento de diversas áreas. Para mostrar esse caso simbolicamente temos no primeiro caso:

(A ∩ B), lê-se A intersecção com B. Já no caso dos três grupos preenchidos e mais o meio temos:

(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C), lê-se: A intersecção com B união com B intersecção com C união com A intersecção com C.

interseccao-e-uniao-exemplo-7

A ∩ B ∩ C, lê-se: A intersecção com B intersecção com C.

Podemos nos deparar com outras situações, vejamos:

interseccao-exemplo-2

Nesse caso é (A ∪ B) ∩ C, lê-se A união B intersecção com C.

interseccao-exemplo-3

Nesse caso é A ∪ (B ∩ C) , lê-se A união com B intersecção com C.

interseccao-exemplo-4

(A ∩ B) ∪ (B ∩ C), lê-se, A intersecção com B união com B intersecção com C.

interseccao-exemplo-5

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C), lê-se, A intersecção com B união com A intersecção com C.

Exercícios propostos e resolvidos

Com base no que já foi falado sobre lógica matemática, intersecção, união etc é possível resolver problemas de nosso cotidiano com essa ferramenta apresentada. Vejamos:

Em uma pesquisa realizada com homens e mulheres sobre determinados tipos de roupa 21 preferiram o modelo A de roupa 40 escolheram o modelo B de roupa e 15 desejariam o modelo C de roupa. Sabe-se que 10 pessoas comprariam o modelo A e B de roupa, 6 comprariam o modelo B e C de roupa, 3 comprariam o modelo A e C de roupa e 5 comprariam os três modelos. Com esses dados responda:

Quantas pessoas participaram da pesquisa ?

Quantas pessoas gostam somente do modelo A de roupa ?

Quantas pessoas gostam somente do modelo C de roupa ?

Quantas pessoas gostam do modelo A e B de roupa ao mesmo tempo?

Para responder todas essas questões precisamos reunir o máximo de informações possíveis do problema. Nas 4 perguntas, temos uma que é super importante: o número de participantes da pesquisa. Por isso temos que fazer um diagrama e saber onde cada quantidade vai dentro das figuras. Vejamos:

diagrama-do-problema-interseccoes

Agora fica fácil. A ideia é subtrair os valores dentro das intersecções pelo total dos que preferem cada uma das roupas. No caso temos:

21 + 40 + 15 – 10 – 3 – 6 + 5 = 62

O resultado é 62. Como temos 5 pessoas que escolhem os três tipos de roupa então temos que somar ao total.

Por que temos que subtrair as intersecções desse total? Pois é simples, eles já existem entre homens e mulheres do total dos 3 grupos, então é preciso subtrair.

Temos então a resposta da primeira pergunta que é a quantidade de pessoas entrevistadas, no caso, 62 pessoas.

A segunda pergunta é ainda mais fácil.

21 – 10 – 3 + 5 = 13

Pronto, somente 13 pessoas exclusivamente gostam/comprariam do modelo A de roupa.

A terceira pergunta segue o mesmo raciocínio:

15 – 3 – 6 + 5 = 11

Somente 11 pessoas gostam exclusivamente do modelo C de roupa. E última pergunta é um pouco mais complexa. Vejamos:

Ora, se sabemos que exclusivamente o modelo A 13 pessoas gostam, então resta-nos saber qual a quantidade de pessoas que gostam exclusivamente do modelo B e somar ambos.

40 – 10 – 6 + 5 = 29

Logo temos A que é 13 + B que é 29.

Então temos 13 + 29 que é 42.

Vamos tirar a prova real disso agora. Temos 53 como soma de A + B + C, no caso 11, 13 e 29. 62 como o total de pessoas que comprariam pelo menos um dos três produtos.

A ideia é subtrair de 53 3x o número 5 que é A ∩ B ∩ C. Então temos 53 – 15 que dá 38. Se igualarmos x + 38 = 62 teremos um outro resultado:

x = 62 – 38 => x = 24. Se 24, podemos comparar isso a soma das intersecções de A, B e C. Se somarmos tudo dá 24, pois 10 + 3 + 5 + 6 = 24.

Referências externas

1. Silogismo. Disponível em: Silogismo. Acessado em 20 mar. 2014.


Perpendicularismo – O que é e exercícios resolvidos

O que é uma reta perpendicular? A reta perpendicular na geometria, também chamado de ortogonalidade do qual temos ┴ que representa o mesmo, é uma referência se dois objetos fazem um ângulo de 90º graus. Também conhecidos como ângulo reto de 90 graus.

Vejamos algumas ilustrações.

Exemplos de perpendicularidade e de não perpendicularidade

É perpendicular:
angulo-de-90-graus-perpendicular

Não é perpendicular:

angulo-maior-ou-menor-que-90-graus-nao-e-perpendicular

E também não é:

angulo-menor-que-90-graus-nao-perpendicular

Pois não formam ângulos de 90 graus, portanto não são perpendiculares essas últimas duas figuras.


Produtos Notáveis – Como fazer, entender e exercícios resolvidos

Produtos notáveis é uma das coisas mais importantes da matemática quando queremos contrair uma expressão. Por exemplo, como simplificar a² + 2ab + b² ? Para isso, um raciocínio simples, entendemos que é (a + b)². Pois (a + b)² é o mesmo que (a + b)(a + b). Logo temos então que:

(a + b)(a + b) =>

a² + ab + ab + b² =>

a² + 2ab + b²

Pronto, temos a forma expandida de (a + b)². Produtos notáveis. Mas e se fosse (a + b)³ ? ou mais complicado, e se fosse (a + b) elevado a 4 ? Iremos demonstrar como expandir essas expressões contraídas de forma didática. Vamos ao artigo.

Produtos notáveis – exercícios resolvidos

Se já resolvemos (a + b)² então como seria (a – b)² ?

(a – b)(a – b) =>

a² -ab -ab + b² =>

a² -2ab + b²

Simples. E se fosse (a + b)³ ?

(a + b)(a + b)(a + b) =>

a³ + a²b + a²b + ab² + a²b + ab² + ab² + b³ =>

a³ + 3a²b + 3ab² + b³

E para (a – b)³ temos a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Pronto, temos que ter a ideia de que para (a + b)³ temos que multiplicar assim (a + b)(a + b)(a + b). Logo temos:

a³ a por a por a, produtos-notaveis
a²b a por a por b,
a²b a por b por a,
ab² b por a por b,
a²b b por a por a,
ab² b por b por a,
ab² a por b por a,
b³ b por b por b.

Pronto. Temos então a³ + 3a²b + 3ab² + b³, o resultado para (a + b)^4 é a^4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b^4 e segue a mesma ideia de multiplicação de (a + b)³, porém, nesse caso, devemos tomar mais cautela para não esquecer de multiplicar todas as possibilidades.

Sinais diferentes em produtos notáveis

Imagine a forma expandida (a – b)(a + b). Como ficaria?

a² + ab

Depois temos que multiplicar o – b por a + b, Fica então:

– ab – b².

Logo temos que (a – b)(a + b) = a² – b²


PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal