Categoria: Funciona

Relação de Girard na equação cúbica

Para resolver uma equação cúbica podemos utilizar minha fórmula para equação cúbica sem problema algum. Mas, existe uma maneira mais rápida e simples de se achar as raízes (quando elas forem reais) de uma equação cubica? Sim, existe, e é com a relação de Girard que iremos resolver algumas equações do terceiro grau com ela.

A relação de Girard é bastante simples

Digamos que temos uma equação Ax³ + Bx² + Cx + D = 0.

A relação nos diz que:

a + b + c = -B/A
ab + bc + ac = C/A
abc = -D/A

Sendo a, b e c as raízes da equação cúbica.

Exercícios resolvidos equação cúbica com Relação de Girard

Só com as informações da relação de Girard fica impossível resolver uma equação cúbica ou mesmo de grau maior. Vamos então adicionar mais alguma informação para poder ser possível encontrar uma das raízes da equação cúbica que iremos apresentar.

Digamos que temos a equação cúbica:

x³ + 19x² + 110x + 200 = 0

Com a relação de Girard temos:

a + b + c = -19
ab + bc + ac = 110
abc = -200

Iremos adicionar mais uma informação:

a = 2c

Agora podemos solucionar a equação cúbica dada.

Fazemos algumas manipulações algébricas para descobrir o valor da raiz maior (pois no caso os coeficientes são todos positivos e isso indica que as raízes são negativas).

O método é:

(a + b + c)² = (-19)²

a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 361

a² + b² + c² + 2(110) = 361

a² + b² + c² = 361 – 220

a² + b² + c² = 141

Certo. Agora iremos substituir o a² por (2c)², pois a = 2c.

Temos então:

(2c)² + b² + c² = 141

4c² + b² + c² = 141

b² + 5c² = 141

Certo, agora falta acharmos o b². Para isso fazemos:

a + b + c = -19

(Lembrando que a = 2c)

2c + b + c = -19

b + 3c = -19

b = -19 – 3c

Como é b² que queremos, elevamos ambos os membros ao quadrado.

b² = (-19 – 3c)²

b² = (-19 – 3c)(-19 – 3c)

b² = 361 + 57c + 57c + 9c²

b² = 9c² + 114c + 361

Agora basta substituir em:

b² + 5c² = 141

9c² + 114c + 361 + 5c² = 141

14c² + 114c + 361 – 141 = 0

14c² + 114c + 220 = 0

Pronto, temos uma equação do segundo grau. Basta resolvê-la.

Temos x1 = -5 e x2 = -22/7

É bem provável que uma das raízes seja -5 pois -22/7 é um número fracionário.

Sabendo que -5 = c podemos substituir:

a = 2c => a = 2(-5) => a = -10

a + b + c = – 19

-10 + b – 5 = -19

b = -19 + 15

b = -4

Pronto, as raízes da equação cúbica dada são: {-10,-5,-4}.


Fórmula números primos para a sequência de 2 a 19

Quem nunca quis saber de uma fórmula para números primos (nem que seja limitada) para poder achar um primo de maneira eficaz? sem ficar testando se é primo ou não? Pois bem. Iremos tratar nesse artigo de como você poderá achar os números primos de 0 a 20 sem problema algum. Com uma função bastante intuitiva é possível descobrir um dos primos, e tem mais, podemos determinar em qual posição o número primo está com essa função.

Indice – Fórmula para números primos

Demonstração da fórmula para números primos

Demonstração da fórmula para números primos

Para números primos de 0 a 20 é possível elaborar uma fórmula por indução matemática. Com essa demonstração por indução podemos ir além do número 19 (que é o último primo da sequência da fórmula ou função aqui apresentada). Vejamos:

\(\)

$${P(n) =\ a1 + (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}{2} – \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}}$$
$${+ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{8} – \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{24}}$$
$${ – \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{30} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{48}}$$
$${ + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{90}}$$
$${- \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{144}}$$
$${- \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{280}}$$

Com isso obtemos uma função de sétimo grau.

$${P(n) = \frac{-53n^7 + 1645n^6 – 20825n^5 + 138355n^4 – 516362n^3 + 1072120n^2 – 1123440n + 458640}{5040}}$$

Tiramos o MMC de 2,6,8,24,30,48,90,144 e 280. Portanto temos 5040 como divisor da função.

Essa função é limitada até o número 19. Se quisermos achar o número 19 basta substituir a posição que se encontra o 19 (que é 8) em n e obteremos 19 como resposta.


Equação do quinto grau – método para resolver

Muito já foi falado sobre equação do quinto grau. Sabemos que há uma teoria de que não é possível resolver equação do quinto grau com radicais, mas, o que veremos nesse artigo é um método simples (que inclusive usa radical) para solucionar a equação quintica ou de 5°.

Uma fórmula é capaz de solucionar a equação do quinto grau. Lembrando que uma vez encontrada uma raiz real podemos utilizar o método resolutivo da equação do quarto grau para encontrar as demais raízes. Então, o nosso foco aqui é encontrar uma das raízes, que é a real no caso, para depois encontrar as demais raízes. Em conjunto, teremos o método para encontrar a raiz real e depois usaremos a divisão de polinômios para termos um polinômio de quarto grau e assim obter as demais raizes do polinômio de quinto grau.

Demonstração da fórmula
Como usar a fórmula
Calculadora online de equação de quinto grau
Considerações finais sobre essa fórmula

Demonstração da fórmula para resolver equação de quinto grau

O princípio dessa fórmula é “tentar completar o quadrado”. Sim, é através do teorema da equação do segundo grau que iremos obter a fórmula para a equação de quinto grau.

Podemos chamar esse método de “O método de Martinelli” para adquirir a fórmula de quinto grau.

Vamos então demonstrar a fórmula:

metodo-de-martinelli-parte1-divisao-pelo-coeficiente-a

O primeiro passo é dividir o polinômio pelo coeficiente a. Feito isso, temos que adquirir a “compensação” ou para tentar completar o quadrado. Mas, precisamos saber, através da expansão, dos termos que, representados por letras, deverão ser adicionados na equação para podermos formar a fórmula. Desenvolvemos então o produto notável:

formula-de-martinelli-parte2-produto-notavel-quinto-grau

Agora iremos pegar os quatro últimos termos e separá-los como positivos.

Também temos que ressaltar que temos cx^3 + dx^2 + ex + f (todos esses coeficientes são divididos por a e posteriormente são multiplicados por a). O mesmo ocorre com os últimos quatro termos do produto notável acima.

Então, tirando o mmc de 3125a^4 (sim, elevado a 4 pois foram multiplicados por a).

Então temos uma situação assim:

formula-de-martinelli-passo-3-mmc

O mesmo será com os demais termos cx^3 + dx^2 + ex + f.

formula-de-martinelli-passo-4

Pronto, agora é só colocarmos o produto notável (x + b/5a)^5 e igualarmos a 0.

formula-martinelli-passo-6

Pronto, agora basta passarmos para o segundo membro, depois passar como raiz de índice 5 e por fim passar b/5a para o segundo membro que teremos o valor de x. E é ai que nossa fórmula surge.

formula-martinelli-completa-parte-1

Se fizermos alguns reajustes como eliminar o denominador do radical e fazer o fator comum teremos ainda uma fórmula mais compacta:

formula-equacao-do-quinto-grau

Pronto, temos a fórmula da equação do quinto grau. Porém, como usá-la?

Como usar a fórmula da equação de quinto grau

Podemos dar um exemplo de equação do quinto grau com todas as raízes pertencendo ao conjunto dos números reais.

Vamos então escolher essa equação:

exemplo-de-equacao-do-quinto-grau

Basta substituir na fórmula os coeficientes: a = 1, b = 18, c = 121, d = 372, e = 508 e f = 240.

Temos então essa situação:

resultado-da-equacao-de-quinto-grau-na-formula

Se pegarmos o discriminante dessa fórmula e resolvermos como se fosse uma equação do terceiro grau, iremos obter um valor bem aproximado da raiz. Nesse caso podemos supor com precisão a raiz real dessa equação de quinto grau.

Após resolver a equação do terceiro grau obtemos três raízes no caso:

-2.2196036504684

-4.77488211047148

e

-4.00086307626942

Pronto, fica fácil entender que uma das raízes é -4 pois é o valor que mais se aproxima. Mas não devemos descartar que -4.774.. seja próximo de -5 e que -2.21… seja próximo de -2 e -3 (mais próximo de -2 do que de -3, então a suposição seja -2 como uma das raízes da equação do quinto grau dada). Mas.. devemos ter certeza que um ou dois resultados estão próximos de uma das raízes (quando as demais não forem complexas). Então fica fácil.

Basta substituir -4 em x que teremos -4 como resposta e é essa uma das raízes reais.

Pela divisão de polinômios chegamos a uma equação de quarto grau e por fim conseguimos obter as demais raízes. Não é necessario entrar nesse método, nosso foco aqui é encontrar uma das raizes reais da equação de quinto grau.

Calculadora online de equação de quinto grau

uma SIMPLES demonstração do calculo de raizes de uma equação do quinto grau é possível através dessa calculadora (com alguns bugs por enquanto).

Considerações finais da fórmula equação quintica

Esse método também funciona para equação cúbica. Basta criar a fórmula para isso. No meu vlog há um vídeo explicando como ela funciona para equação de terceiro grau.

Quanto aos resultados da equação quintica, pode parecer “lento” para se obter o resultado, mas com “suposições” é bem provável que você consiga encontrar, quando for inteira, a raiz real da equação de quinto grau.

Com paciência obtem-se o resultado para outras raízes irracionais, basta substituir na fórmula e resolver a equação do terceiro grau que teremos um valor aproximado da raiz e com base nesse resultado conseguiremos obter a raiz de fato da equação de quinto grau inserindo em x o valor obtido do resultado da equação do terceiro grau e devemos fazer isso sucessivamente por pelo menos 7 vezes para obter o mais aproximado valor possível da raíz.

Atenção, se o resultado ficar preso a um resultado positivo e negativo significa que você terá que igualar a fórmula ao resultado da equação do terceiro grau e fazer a multiplicação por 5a, fazer a soma por b, fazer a elevação a quinta potência, após isso, teremos no segundo membro um número, esse número deverá ser ser somado ou subtraído (dependendo do sinal) do termo independente da equação do terceiro grau que estiver no primeiro membro.

Assim, resolve-se essa nova equação e o valor da raiz vai se aproximando e por fim o valor da raiz após esses procedimentos vai aparecer corretamente e precisamente!

 


As dúvidas mais frequentes no xadrez

Elaborei algumas perguntas e respostas das mais frequentes dúvidas no xadrez para sua evolução no xadrez.

Com as questões a seguir respondidas acredito que vai agregar ao enxadrista alguma coisa relacionada ao xadrez.

São 12 perguntas mais frequentes no xadrez para serem respondidas com bastante cautela, vamos ver.

Perguntas frequentes no xadrez

  • Qual é a melhor abertura no xadrez ?
  • A melhor abertura é aquela que você mais sabe sobre ela. Não adianta usar algo novo sendo que você não vai saber usar direito.

    Saber com antecedência o que irá jogar no começo do jogo é imprescindível.

  • Como jogar de negras no xadrez ?
  • Você precisa saber jogar de negras no xadrez, para isso assista ao vídeo:

  • Xadrez é lógica ?
  • Xadrez tem sua parte lógica, porém, essencialmente xadrez é arte em minha opinião.

  • Como calcular no xadrez ?
  • Poderá entender melhor como calcular no xadrez vendo este vídeo:

  • No jogo se usa comer ou capturar ?
  • No xadrez ás vezes as pessoas dizem comer ou come determinada peça, mas na verdade é capturar ou no máximo tomar a peça.

  • Como aplicar um tático ?
  • Para entender melhor como aplicar um tático veja este vídeo:

  • O que é ganhar ou perder qualidade ?
  • Quando você tem a possibilidade de trocar uma peça de valor menor com uma de valor maior você então ganha qualidade.

  • Como jogar meio jogo no xadrez ?
  • Você necessita entender o todo do xadrez e você fará, além de um meio jogo, uma boa partida.

    Compreenda princípios estratégicos no xadrez e você entenderá o meio jogo.

  • Como jogar final de jogo no xadrez ?
  • O final de jogo pode ser estudado com o tabuleiro com apenas reis peões torres ou bispos e cavalos. Se você é principiante comece a estudar dessa forma.

    Mas quem tem mais experiência com o xadrez sabe que final de jogo é a consequência de planos elaborados com antecedência no jogo..

  • Como fazer uma boa abertura no xadrez ?
  • Use aquilo que você mais sabe sobre. Se você está de brancas e sabe variações de e4, então use e4 e uma variação que você conhece.

    Caso o oponente responda diferente da variação então use sua capacidade de cálculo e encontre falhas já na abertura e explore-as.

  • O que é o jogo de xadrez essencialmente ?
  • O jogo de xadrez na minha opinião é ARTE. Muitos dirão que xadrez é lógica, mas não acredito nisso, xadrez é arte e tem sua parte lógica, claro.

  • Como ganhar ou vencer de qualquer jogador no xadrez independente do nível dele, seja ele principiante a Grande mestre ?
  • Leve em consideração duas coisas:

    1-) A maneira como você joga

    2-) Como o oponente joga

    Com essas duas coisas você saberá elaborar planos para criar algo novo e viável e assim vencer o oponente.


    Seno, Cosseno e Tangente – Exercícios resolvidos

    As funções Seno, Cosseno e Tangente são super importantes em trigonometria. Neste artigo iremos falar sobre essas funções trigonométrica com exercícios resolvidos para melhor entendimento.

    Todo triângulo retângulo possui seno, cosseno e tangente. Com essas funções trigonométricas podemos calcular o ângulo desse triângulo retângulo.

    Seno, Cosseno e Tangente comumente aparecem em graus, mas podemos converter radianos em graus sem problema. 1 radiano equivale a cerca de 57 graus.

    São três funções, porém, a mesma ideia!

    triangulo-angulo-reto-funcoes-trigonometicas-1

    A função Seno – exercícios resolvidos

    funcao-seno

    Sempre teremos um número aproximado do real, então seno do ângulo mostrado na figura é o mesmo que:

    \(\)

    $${8 \over 10}$$

    Que teremos o valor 0.8. O mesmo com as demais funções trigonométricas.

    A função Cosseno – exercícios resolvidos

    funcao-cosseno

    $${6 \over 10}$$

    A função Tangente – exercícios resolvidos

    funcao-tangente

    $${ 8 \over 6 }$$

    E assim temos a aproximação do seno, cosseno e tangente de acordo com o ângulo do triângulo retângulo apresentado logo acima.

    Se usarmos a calculadora para saber o grau corretamente veremos que ele está entre 53° e 54°.


    Superfícies planas e suas áreas

    São várias as fórmulas que utilizamos para calcular a área de superfícies planas tais como o triângulo, quadrado, trapézio, losango, paralelogramo etc.

    Vamos ver nesse artigo diversas imagens que ilustram bem como calcular as áreas de superfícies planas de maneira fácil e rápida.

    Área do triângulo – como calcular

    area-do-triangulo-1

    Área do quadrado – como calcular

    quadrado-area

    Área do retângulo – como calcular

    retangulo-area

    Área do paralelogramo – como calcular

    paralelogramo-area

    Área do losango – como calcular

    losango-area

    Área do trapézio – como calcular

    trapezio-area

    Área do hexágono – como calcular

    area-do-hexagono


    Distância entre dois pontos – Exercícios resolvidos

    A distância entre dois pontos no plano cartesiano.

    Normalmente os pontos são A e B, mas nada impede que sejam C e D (vai depender do caso de pontos no plano cartesiano).

    A distância é a medida do segmento entre dois pontos. É o módulo da diferença entre as abcissas ou ordenadas de A e B. Exemplo:

    Exemplo de segmento da distância entre dois pontos

    pontos-ab-no-plano-cartesiano

    A distância entre yA e yB é o módulo da diferença entre as ordenadas, ou seja:

    diferenca-entre-as-ordenadas-dos-pontos-a-e-b

    Relação entre o teorema de Pitágoras e a distância entre pontos

    Que relação tem o teorema de Pitágoras com esse artigo sobre a distância entre pontos num plano cartesiano? Vejamos um exemplo:

    pontos-num-plano-cartesiano-triangulo-retangulo-2

    Com a aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo no exemplo acima temos:

    teorema-de-pitagoras2

    Agora basta substituirmos os segmentos pelos números das coordenadas (4, 1), (4, 2) e (2, 1) que teremos:

    resolvendo-pelo-teorema-de-pitagoras

    \(Unidades\)

    $${dAB² = 4 + 9}$$
    $${dAB = \sqrt 13}$$

    Exercício proposto de distância entre dois pontos

    exercicio-proposto-de-distancia-entre-dois-pontos-determine-h-abc

    A solução é muito simples, vamos voltar à metade do artigo e veremos o teorema de Pitágoras sendo necessário para a resolução desse problema.

    Temos que determinar h. Sendo assim, temos as coordenadas a(2, 2), b(4, 0) e c(12, h). Agora iremos utilizar essa fórmula:

    $${BC² = AB² + AC²}$$

    Segue então com:

    $${AB² = (Ax-Bx)² + (Ay-By)²}$$
    $${AB² = (2-4)² + (2-0)²}$$
    $${AB² = (-2)² + (2)²}$$
    $${AB² = 4 + 4}$$
    $${AB² = 8}$$

    $${AC² = (Ax-Cx)² + (Ay-Cy)²}$$
    $${AC² = (2-12)² + (2-h)²}$$
    $${AC² = (-10)² + (2-h)(2-h)}$$
    $${AC² = 100 + 4-4h + h²}$$
    $${AC² = 104-4h + h²}$$

    $${BC² = (Bx-Cx)² + (By-Cy)²}$$
    $${BC² = (4-12)² + (0-h)²}$$
    $${BC² = (8)² + (0 – h)(0-h)}$$
    $${BC² = 64 + h²}$$

    Agora sim, iremos juntar todos esses resultados em $${BC² = AB² + AC²}$$.

    $${BC² = AB² + AC²}$$

    $${64 + h2 = 8 + 104-4h + h2}$$
    $${64 = 8 + 104-4h}$$
    $${64 = 112-4h}$$
    $${64-112 =-4h}$$
    $${-48 =-4h}$$ (x-1)
    $${48 = 4h}$$
    $${{48 \over 4} = h}$$
    $${h = 12}$$

    Restaram dúvidas com relação a Distância entre dois pontos? então deixe um comentário que responderemos o mais rápido possível.


    Plano cartesiano – O que é e como fazer

    O conceito de plano cartesiano é super importante. Com esse conceito foi possível disponibilizar para as pessoas telas de gadgets mais sofisticados e com melhor qualidade de imagem.

    Claro que não é somente isso. No dia a dia nos deparamos com o uso do plano cartesiano para tomar decisões importantes com base em um histórico de fenômenos corriqueiros.

    O plano cartesiano é amplamente usado na matemática. Em diversas circunstâncias como na função do primeiro grau, função quadrática, função cúbica entre outros assuntos mais específicos.

    Os quadrantes do plano cartesiano

    quadrantes-plano-cartesiano

    Sempre no sentido anti-horário os quadrantes ficam. Denomina-se então respectivamente o primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrante.

    O nome dos eixos

    O eixo y recebe o nome de ordenada e o eixo x recebe o nome de abcissa.


    Organogramas – O que são para que servem

    Um organograma é uma representação gráfica dos departamentos de uma empresa. Essa é uma definição bastante simples mas que ajuda muito na hora de organizar uma empresa e depois mostrar como é a estrutura dela para os colaboradores.

    Você poderá criar um organograma no Excel de maneira simples e rápida e mostrar para seus colaboradores como é a estrutura formal da empresa.

    Organograma de uma microempresa

    orgranograma-de-uma-micro-empresa


    Função crescente e decrescente – Exercícios resolvidos

    A função crescente é quando o a é maior do que 0 e a função decrescente é quando o termo a é menor do que 0. Em outras palavras, quando nos deparamos com y = ax + b temos função crescente para a > 0 e decrescente para a < 0. Vamos ver isso com alguns exemplos Função crescente - exemplo com inputs em x funcao-crescente-exercicio-resolvido

    Função decrescente – exemplo com inputs em x

    funcao-decrescente-exercicio-com-exemplos

    Gráfico de uma função crescente e decrescente

    Crescente:

    grafico-funcao-crescente

    Decrescente:

    grafico-funcao-decrescente


    PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal