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Curiosidades sobre composição de função – gof e g(x)

Digamos que f(x) = 3x -3, g(x) = ? e gof(x) = x + 2. Ache então g(x). Todo mundo vai fazer o velho método da substituição. Tal como isso:

gof(x) = g[f(x)]

g(3x -3) = x + 2 e teremos g(3x -3) => (3x -3) + 2. Da mesma forma que em fog(x). Vejamos:

fog = f[g(x)] que seria 3x -3, teríamos por substituição:

3[g(x)] -3 = x + 2
g(x) = (x + 5)/3

em um diagrama de fog. Dado A = {1}, B = {2}, C = {3} , temos então o fluxo de A → B → C e mais um atalho de A → C, mas e se fosse gof a função h(x) = x + 2 ? ou gof(x) = x + 2? Tente fazer pelo método da substituição e veja se os valores batem. O intuito aqui é não ir para outras formas de resolução de problemas matemáticos, mas sim, através da própria função composta, resolver um problema que aparentemente não tem lógica se caso a função h(x) = x + 2 for gof.

Por que não tem lógica se a função composta h(x) = x + 2 for gof(x)?

Pelo fato da função não ter um fluxo de A B e C. Mas ela pode ter seu atalho, mas não caracteriza uma função composta pelo fato de não haver um fluxo de A em C. Ou seja, nesse caso não haverá associação dos elementos x do conjunto A com os elementos z do conjunto C se usarmos a função h(x) = x + 2 que é gof(x) caso g(x) seja descoberto pelo método da substituição que seria 3x -1. Quer ver?

f(x) = 3x -3
g(x) = 3x -1 (após termos achado pelo método da substituição)

g[f(x)] = x + 2

Vamos definir um elemento de x do conjunto A como 1. A partir desse elemento x, e iremos conseguir o que queremos (verificar se nossa função composta é válida).
curiosidade-diagrama-funcao-composta-gof
Como podemos ver, não corresponde um atalho de A em C. Isso significa que nossa função composta, com a equação, especificamente, estabelecida em g(x), desfaz a característica de função. Mas, pensando um pouco, veremos que é possível validar nossa função com base na intuição.

É simples. Raciocine, vamos pegar novamente as funções:
f(x) = 3x -3
g(x) = ?
gof(x) = x + 2
Agora, vamos deduzir que g(x) é x + 3. Por quê? Veja bem, se colocarmos num diagrama a função h(x) que é gof(x) = x + 2, saberemos através de um elemento x do conjunto A o que há no conjunto C pelo atalho. Exemplo.
diagrama-funcao-composta-gof-elemento-z-descoberto
Achamos o 3. Se achamos o 3, significa que agora falta o fluxo de A para B e de B para C. Por curiosidade, tentei diversas maneiras de fazer essa provação e no fim acabei conseguindo algo, digamos, satisfatório. Primeiro, ressalto, que foi teste, mas depois testei em diversas equações dadas aleatoriamente para esse tipo de problema, g(x) indefinido no caso e gof definido, e consegui passar para o diagrama o fluxo mais o atalho. Vamos ver como eu fiz.

Como resolver gof(x) com g(x) indefinido ?

Primeiro, no caso em específico, sabemos que se definirmos g(x) = x + 3 conseguiremos um fluxo de A → B → C, pois f(1) = 3.1 – 3 => f(1) = 0, e se usarmos 0 em g(x) = x + 3 é o mesmo que 3. Então temos A = {1}, B = {0} e C = {3}. Então, hipoteticamente ou, por puro raciocínio, fiz g(x) = x + 3 (ou seja, escolhi uma função que por raciocínio ou intuição se faz o fluxo de A → B → C). Mas, por via das dúvidas, vamos pensar da seguinte forma.
Com base no método da substituição, sabemos que A possui um elemento x que é 1, certo? mas há tempos na matemática. Então, esse x no momento em que passo de B para C ele vira 3. Então, temos uma equação assim x + y = z. Isso significa que x = 3 (que é o momento de B para C) e y (que é o que queremos achar) e temos z que é o resultado do atalho de A para C (que é o mesmo da definição de B para C). Então, se fizermos os cálculos encontraremos g(x).
x + y = z
3 + y = 6
y = 6 – 3
y = 3
Logo temos que g(x) é alguma coisa como x + 3 para x = 1. Agora, para confirmar todas essas provações através do diagrama e das equações, criei uma técnica que prova tudo isso.
Agora, para acharmos o nosso gof(x) = x + 2 já definido, temos que usar um truque. Pois, se refizermos o gof(x) com essa ideia acharemos um gof diferente. Sim pois:
g[f(x)] = (3x -3) + 3 => 3x. Sendo assim gof(x) = 3x que é diferente de x + 2 já definido. E então? como validar também esse g(x) = x + 3 sendo que gof(x) já está definido?

Existe um teorema que bolei. É:

gof(x) = gof(x) => gof[f(x)] => i(x), nesse caso encontramos uma quarta função da função composta que por sua vez deve ser substituído esse i(x) em gof(x), temos então uma quinta função, o gofi(x) que pode ser usado como g(x) para terminar o fluxo da função composta.

Vamos testar esse teorema e descobrir a equação para g(x) indefinido?

Dadas as funções R em R.

f(x) = 3x -3
g(x) = ?
gof(x) = x + 2

gof(x) = gof(x) =>
x + 2 = x + 2 =>
(3x -3) + 2 = x + 2 =>
3x -3 = x =>
3x = x + 3 =>
x = (x + 3)/3

Temos então nosso i(x). Esse i(x) vai ser usado em gof(x) novamente. Dessa vez, substituiremos o gof(x) por i(x) e teremos gofi(x) ou gof[i(x)] que, em linguagem matemática seria isso:

gofi(x) = [(x + 3)/3] + 2

Esse gofi(x) pode ser usado como função para dar fluxo a função composta. Vamos testar?

Vamos definir um diagrama assim: A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, B = {-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6}, C = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Agora vamos calcular de B para C com o uso do gofi(x) e veremos que há a possibilidade do fluxo.

gofi(x) = [(x + 3)/3] + 2 =>
gofi(-12) = [(-12 + 3)/3] + 2 =>
gofi(-12) = [(-9)/3] + 2 =>
gofi(-12) = [(-3)] + 2 =>
gofi(-12) = -1

Temos então o fluxo completo de B para C com -12 definido em B. Se fizermos isso com todos os elementos estabelecidos em B teremos uma associação de B para C (faça você o teste).

Agora, para descobrir de fato o g(x) teremos que supor que seja uma função de grau 1 ou 2. Vendo as funções estabelecidas que podemos conhecer, podemos concluir o seguinte:

f(x) = 3x -3
g(x) = ?
gof(x) = x + 2

Essas funções são de grau 1. Então g(x) só pode ser de grau 1 também. Agora iremos fazer os cálculos com base nessas informações:

f(x) = 3x -3
g(x) = ax + b
gof(x) = x + 2

Se temos a suposição de que g(x) = ax + b logo:

gof(x) = x + 2 =>
g[f(x)] = x + 2 =>
g[(3x -3)] = x + 2 =>
a[(3x -3)] + b = x + 2 =>
3ax -3a + b = x + 2

Agora temos que fazer o seguinte, pega 3ax e iguala com x.

3ax = x =>
3a = x/x =>
3a = 1 =>
a = 1/3

Temos então nosso a definido que é 1/3. Mas e o b? No caso, temos que pegar o -3a + b e igualar com 2 pois 2 é o b da função gof(x). Porém, sabemos que 1/3 é o a.

-3a + b = 2 =>
-3(1/3) + b = 2 =>
-3/3 + b = 2 =>
-1 + b = 2 =>
b = = 2 + 1 =>
b = 3

Temos então que g(x) é exatamente 1/3x + 3.

Outro jeito de encontrar g(x) quando gof(x)

Existe um teorema de minha autoria que não é necessário supor que g(x) seja ax + b. Nesse caso pegamos o que existe (gof(x) e f(x)) para encontrar uma função gofi(x) que completa o fluxo de B em C. Vejamos:

f(x) = 3x -3
g(x) = ?
gof(x) = x + 2

A primeira etapa é é igualar gof(x) com gof(x).

gof(x) = gof(x) =>
x + 2 = x + 2 =>

A segunda etapa é substituir somente no primeiro membro o que há em f(x). Então temos:

(3x -3) + 2 = x + 2 =>
3x -1 = x + 2 =>
3x = x + 3 =>
x = (x + 3)/3

Temos então nossa função i(x). Mas, ela não é válida como uma função que completa o fluxo de B para C. É preciso na terceira etapa substituir o i(x) em gof(x). Temos então o gofi(x).

gofi(x) = gof[i(x)] que é [(x + 3)/3] + 2. Essa função é uma função válida que completa o fluxo de B para C também, porém, é aconselhável o uso da primeira dica pelo fato de ser exigido em vestibulares, exames e qualquer concurso o g(x) quando é dado gof(x).

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Postagem publicada em
e atualizada em 9 de setembro de 2013
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Descobrir, Dúvidas, Matemática  
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