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Considerando que f e g são funções reais de variável real

Considerando que f e g são funções reais de variável real, definidas por f(x) = ax² + bx + c e g(x) = -ax² + b e que f(-2) = f (1) = 0 e g (0) = 1, assinale o que for correto:

01) a distância entre os vértices das funções f(x) e g(x) é menor que 3.
02) se A e B são os pontos de interseção das funções f e g, então a mediatriz do segmento AB é a reta da equação 16x + 8y = -9
04) As raízes da função g são -1 e 1
08) f(g(x)) é uma função de quarto grau
16) a reta de equação y= x-1/2 passa pelos pontos A e B de interseção das funções f e g.

Resposta

se g(0) = 1 então:

g(0) = -a(0)² + b = 1

Logo a função g tem o coeficiente independente valendo 1.

Sendo assim, para descobrir os demais coeficientes montamos um sistema.

Se f(-2)=f(1)=0, então:

a(-2)² + b(-2) + c = 0
a(1)² + b(1) + c = 0

Como b = 1, então:

4a -2 + c = 0
a + 1 + c = 0

4a + c = 2
a + c = -1

4a + c = 2
-a – c = 1

3a = 3

a = 3/3

a = 1

O coeficiente A também é 1. Então o coeficiente C será:

4(1) + c = 2 => 4 + c = 2 => c = 2 – 4 => c = -2

Então temos que os coeficientes das funções serão:

a = 1, b = 1, c = -2.

As funções ficarão assim então:

f(x) = x² + x – 2

g(x) = -x² + 1

Agora as perguntas:

01) a distância entre os vértices das funções f(x) e g(x) é menor que 3.

Para achar o vértice temos que fazer -b/2a e -Δ/4a.

vértice (-b/2a,-Δ/4a) da função f e função g:

-b/2a => -1/2 (eixo de simetria função f)

-(b² – 4ac)/4a => (-(1)²+4(1)(-2))/4(1) => (-1 – 8)/4 => -9/4 (ponto máximo da função f)

-b/2a => -1/2 (eixo de simetria função g)

-(b² – 4ac)/4a => (-(1)²+4(-1)(0))/4(-1) => 1/4 (ponto máximo da função g)

Como a concavidade da função f está voltada para cima, e a concavidade da função g está voltava para baixo, logo, fazemos -9/4 – 1/4 que dá -10/4 ou -2.5. Como não existe distância negativa, então temos |-2.5| => 2.5, CORRETO, é menor do que 3.

02) se A e B são os pontos de interseção das funções f e g, então a mediatriz do segmento AB é a reta da equação 16x + 8y = -9 .. ERRADO, pois a reta não forma uma mediatriz.

04) As raízes da função g são -1 e 1 .. CORRETO.

08) f(g(x)) é uma função de quarto grau

(-x²+1)² + (-x²+1) – 2

x^4 -2x² + 1 – x² + 1 – 2

x^4 -3x² (CORRETO).

16) a reta de equação y= x-1/2 passa pelos pontos A e B de interseção das funções f e g.

A interseção se dá por:

x² + x – 2 = -x² + 1

2x² + x – 3 = 0

Tem o ponto A em -1 e o ponto B em 4.

ERRADO, não passa pelos pontos A e B.

Publicado por Rodrigo Martinelli

Sou Rodrigo Martinelli, formado em administração e matemática.

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