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Como calcular sistemas

Primeiro, um sistema em matemática é distinguido por possuir duas incógnitas, duas equações e o símbolo matemático { (chave). Em problemas corriqueiros nos deparamos com situações em que saber calcular sistemas é muito importante. Lembrando que é preciso saber duas informações de duas coisas desconhecidas para resolver um sistema, pois, se souber somente uma informação de alguma das incógnitas ou coisas desconhecidas, não conseguirá resolver. Vejamos um exemplo.

João e Maria possuem juntos 48 anos. João é duas vezes mais velho que Maria. Qual a idade de cada um??

Vamos traduzir isso em linguagem matemática.

x = Idade de João
y = Idade de Maria

Se João é duas vezes mais velho que Maria, então temos que: x = 2y.
Então formamos a primeira equação de nosso sistema.
Mas, então, qual a idade de Maria? então temos que formar a segunda equação, que no caso é:

x + y = 48

Temos então as duas equações formadas.

Resolvendo o sistema proposto

Temos então o seguinte sistema:

x + y = 48
x = 2y

Agora iremos solucionar este sistema através do método da substituição.

x + y = 48
x = 2y

Vamos pegar a primeira equação e substituir o x

x + y = 48
2y + y = 48
3y = 48
y = 48/3
y = 16

A idade de Maria é 16

Se a idade de Maria é 16, então a idade de João é 32.

x + y = 48
x = 2y


x = 48 – 16
x = 32

Tirando a prova real

Basta substituir os valores encontrados de x e y para saber se o cálculo está correto:

x = 32 e y = 16


x + y = 48
x = 2y

32 + 16 = 48
32 = 2.16
48 = 48
32 = 32

Perfeito, o cálculo está certo de nosso sistema!

Exercício de sistema proposto com gabarito

Agora vamos a outra situação, sem se preocupar com a questão prática do problema, para resolver um sistema. Digamos que:

2x + 4y = 20
3x + 2y = 30

Nesse caso precisamos usar uma técnica de eliminação. Perceba que nessa situação acima podemos multiplicar o 3x – 2y = 30 por 2 que conseguiremos eliminar o 4y. Temos então:

2x + 4y = 20
6x – 4y = 60

Agora usaremos esse método:

2x + 4y + 6x – 4y = 20 + 60 =>
8x = 80 =>
x = 80/8 =>
x = 10

Temos x definido que é 10. Agora fica fácil descobrir quem é o y.

2x + 4y = 20 =>
2(10) + 4y = 20 =>
20 + 4y = 20 =>
4y = 20 – 20 =>
4y = 0 =>
y = 0/4 =>
y = 0.

Pronto, temos que para x = 10 e y = 0.

Agora iremos complicar mais um pouco:

calculando-sistemas-exemplo-3

Vamos eliminar uma das incógnitas. Que tal multiplicar o y -5x = 43 por 5?

5y – 25x = 215

Agora iremos eliminar:

5y-25x-5y-x = 215 – 33
-26x = 182 (multiplica tudo por -1)
26x = -182
x = -182/26
x =-7

Pronto, temos x = -7. Agora fica fácil.

5y+x=33
5y+(-7)=33
5y=33+7
5y=40
y=40/5
y=8

Prova real:

y-5x=43
8-5(-7)=43
8+35=43
43=43

5y+x=33
5(8)+(-7)=33
40-7=33
33=33

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Postagem publicada em
e atualizada em 20 de agosto de 2014
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Matemática  
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