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Como calcular o perímetro de uma parábola

Método de calculo do perímetro de uma parábola desenvolvido por mim (sem o uso de integrais ou o calculo I).

Existe uma fórmula capaz de calcular o perímetro de uma parábola, porém, ela necessita da função ln (logaritmo natural) que será falada no final do artigo.

Meu método para descobrir o perímetro de uma parábola é bastante intuitivo e usa basicamente o Teorema de Pitágoras. Usa também a fórmula da função inversa de uma parábola.

Temos também que usar a fórmula de ponto máximo da parábola (que encontra o vértice no eixo y) e por fim definimos um valor para a variável P que é a quantidade de partes que iremos dividir a parábola para poder calcular seu perímetro e depois somar todas essas partes e darmos como resultado o perímetro da parábola de acordo com a função desejável.

Índice – Como calcular o perímetro de uma Parábola

Método para calcular o perímetro
Minha fórmula para calcular o perímetro da parábola
Calcule de forma instantânea o perímetro da parábola
Fórmula convencional para calcular o perímetro da parábola
Considerações finais, referências etc.

Método para calcular o perímetro da parábola

Vamos ver um exemplo bastante intuitivo de como calcular o perímetro da parábola com essa imagem:

Método para calcular o perímetro da parábola

A parábola está com a concavidade virada para baixo apesar de termos uma função com o coeficiente a positivo. Se plotarmos essa função teremos a concavidade virada para cima, mas, como queremos ilustrar melhor, podemos definir a parábola como altura 1 ao invés de -1 (Pois não existe perímetro negativo). Podemos então “rebater” para cima a concavidade da parábola só para podermos ilustrar melhor o uso desse método para calcular o perímetro de uma parábola.

Com essa ideia, de formar triângulos retângulos, teremos a hipotenusa desses triângulos próximos ou quase tangentes ao perímetro da parábola. Simples não? Agora, com o uso da soma em série e do que já foi falado é possível bolar uma fórmula para encontrar definitivamente o perímetro, ou um número muito próximo, da parábola.

Fórmula para encontrar o perímetro de uma parábola.

Fórmula de Martinelli Para encontrar o perímetro de uma parábola. Temos nesse caso a fórmula para encontrar o perímetro da parábola pelo meu método. Não é possível determinar que P tenda ao infinito, se isso for definido não teremos como calcular as partes divididas (simplesmente não teria como somar todo o infinito, se for possível, me avisem :D).

Então, a ideia, é definir P como 4 ou 8 que teremos um valor bastante aproximado do perímetro da parábola. Se alguém tiver mais paciência, pode definir como 16 ou 32 e somar todas as hipotenusas menores e obterá um valor bastante satisfatório do perímetro da parábola por este método.

Calcule agora mesmo o perímetro da sua parábola

De maneira rápida e fácil defina a função e a precisão que você deseja que calcule o perímetro (defina o número de partes que você deseja dividir sua parábola para calcular o perímetro mais precisamente).

Fórmula convencional para calcular o perímetro da parábola

Fórmula convencional para calcular perímetro de uma parábola

Veja que é possível adquirir o perímetro da parábola com a fórmula acima (sabendo a altura da parábola e a distância de uma raíz e outra, faça o teste). Porém, existe uma pequena diferença entre um e outro. No caso, com a calculadora abaixo, a função dada f(x) = x² – 8x + 15 forma uma parábola com perímetro 2,957885716 com a fórmula acima.

Mas, temos um perímetro de 2,9578856903853508 se dividirmos a parábola em 65536 partes (256 ao quadrado). Isso mostra que a fórmula aqui apresentada (meu método) fornece um valor próximo da fórmula acima. Se dividirmos mais ainda, o resultado vai se aproximar mais de 2,957885716.

Considerações finais sobre o perímetro de uma parábola

Bem, como podemos notar, há duas formas de adquirir o perímetro de uma parábola. Com a fórmula convencional e com o meu método. Faça sua escolha!

Sobrou dúvidas? veja o video sobre esse assunto em:

Enfim… A única vantagem de utilizar o meu método é que não é necessário saber o tamanho da base da parábola mas sim só a altura. A desvantagem é que não nos fornece o perímetro exato se calcularmos poucas partes. Conforme a parábola é dividida, temos um valor mais aproximado.

Em suma, meu método é eficaz, mas não é eficiente.

A minha fórmula para calcular o perímetro da parábola é:

Fórmula perimetro de parábola

Referências externas:

1. Area and Perimeter Parabolic. Disponível em: http://www.efunda.com/math/areas/ParabolicGen.cfm. Acessado em 18 Janeiro 2017.

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Postagem publicada em
e atualizada em 21 de agosto de 2017
Postado por Rodrigo Martinelli
Postado em: Artigos, Ciência, Como, Dúvidas, Fazer, Matemática  
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