Categoria: Matemática

Equação quártica – exercícios resolvidos

Equação quártica ou do 4° grau é definida por \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) e podemos resolvê-la pelo método de Ferrari ou podemos transformá-la para \(ax^4 + cx^2 + dx + e\) e resolver pelo método de Descartes (que separa uma equação do quarto grau em duas de grau 2).

Nesse artigo iremos ver a minha transformação para a equação do modo \(ax^4 + cx^2 + dx + e\) que tem quatro raízes.

Para isso iremos fazer uma “fórmula” para conseguir chegar na minha transformação. Essa fórmula é bastante simples, trata-se de uma manipulação algébrica para obter uma fórmula que, por iterações, podemos chegar em uma das raízes da equação quártica após diversos passos.

Equação quártica – Explicação por tópicos

Gráfico equação de quarto grau
Conceito básico da equação Quártica
Fórmula por iterações equação quártica
Transformação de Martinelli
Método de Descartes
Exemplo – Exercício resolvido

Conceito básico de equação quártica

Bem, o básico que podemos dizer sobre a equação do quarto grau é que ela, diferente das equações de grau menores como a de terceiro e segundo grau, para ela ser resolvida, é preciso utilizar o Método de Ferrari (que não iremos falar dele nesse artigo) ou utilizar outro método como o de Descartes e assim conseguiremos separar uma equação de quarto grau em duas de grau menores, no caso, duas equações quadráticas.

Para utilizar o método de Descartes é preciso saber como resolver uma equação do terceiro grau, pois durante o procedimento do uso do método de Descartes surgirá uma equação cúbica e com uma das raízes reais dela conseguiremos terminar a separação da equação quártica em duas de segundo grau.

Fórmula por iterações equação quártica

Vamos começar com a forma geral de uma equação quártica:

\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

Agora nosso objetivo é criar um binômio elevado a 4 no primeiro membro, temos:

\(ax^4 + bx^3 = – cx^2 – dx – e\)

Multiplica ambos os membros por \(256a^3\)

Temos então:

\(256a^4x^4 + 256a^3bx^3 = -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Agora iremos adicionar em ambos os membros: \( 96a^2b^2 + 16axb^3 + b^4\) .Pelo binômio de Newton fica fácil entender isso. Basta desenvolver \((4ax + b)^4\).

Temos então:

\(256a^4x^4 + 256a^3bx^3 + 96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 = \)
\(96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Organizando, colocando em evidência, temos uma situação assim:

\((4ax + b)^4 = 96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Pronto, já temos quase a nossa “fórmula” para descobrir uma das raízes de uma equação de quarto grau por iterações.

$${{ x = {{-b – \sqrt[4]{ b^4 + 16a(b^3 – 16a^2d)x + 16a^2(6b^2 – 16ac)x^2 – 256a^3e }} \over {4a}} }}$$

Ai está, após rearranjarmos a expressão temos essa igualdade acima que é a fórmula convencional, dando um chute de 1 ou -1 no x e no x² e, por iterações, ou seja, pegar o resultado e inserí-lo novamente em x e x² teremos valores se aproximando da raiz (quando elas não forem complexas).

Transformação de Martinelli

Com a minha transformação para a equação quártica sem o termo cúbico evitamos denominadores para solucioná-la com o método de Descartes.

Como provar a transformação de Martinelli

É simples, basta pegar a fórmula por iterações e inserir em x a própria fórmula. Então teremos dentro do radical algo assim:

Primeiro a fórmula por iterações:

$${{ x = {{-b – \sqrt[4]{ b^4 + 16a(b^3 – 16a^2d)x + 16a^2(6b^2 – 16ac)x^2 – 256a^3e }} \over {4a}} }}$$

E agora como chegar na transformação de Martinelli:

$${{ 16a(b^3 – 16a^2d)[{{- b – x} \over {4a}}] }}$$
$${{ 4(b^3 – 16a^2d)[{{- b – x}}] }}$$
$${{ -4(b^3 – 16a^2d) }}$$
$${{ -4b(b^3 – 16a^2d) }}$$

Podemos já adicionar:

$${{ b^4 – 256a^3e }}$$

Por fim fazemos isso com:

$${{ 16a^2(6b^2-16ac)[{{-b – x} \over 4a}][{{-b – x} \over 4a}]}}$$

Temos no primeiro desenvolvimento:

$${{ 4a(6b^2-16ac)[{{-b – x}}][{{-b – x} \over 4a}]}}$$

Fazendo:

$${{ [-b(6b^2 – 16ac) – (6b^2 – 16ac)][-b – x] }}$$

$${{ b^2(6b^2 – 16ac) + 2b(6b^2 – 16ac) + (6b^2 – 16ac) }}$$

Então podemos formar uma equação quártica com as seguintes características:

$${{ ax^4 }}$$
$${{-(6b^2 – 16ac)x^2}}$$
$${{-(2b(6b^2 – 16ac) – 4(b^3 – 16a^2d))x}}$$
$${{-(b^4 – 256a^3e + b^2(6b^2-16ac) – 4b(b^3 – 16a^2d))}}$$

Aconselho que você defina o termo a como 1 (dividir toda a equação por a torna o termo a igual a 1).

Podemos usar o método de Descartes para solucionar esse tipo de equação. O método consiste em separar uma equação de grau 4 em duas de grau 2.

Atenção: Depois de resolver a equação com a transformação de Martinelli você terá que usar a seguinte fórmula para obter de fato as raízes: Ela é:

$${{ {{-b – \alpha} \over {4a}} }}$$

Sendo Alfa uma das raiz obtida pela separação da equação do quarto grau em duas de grau 2.

Veremos um exemplo disso depois.

Método de Descartes

Vamos resolver uma equação do quarto grau da forma:

$${{ ax^4 + cx^2 + dx + e = 0 }}$$

Para isso começamos com a seguinte igualdade:

$${{y^4 + qy^2 + ry + s = (y^2 + ky + m)(y^2 -ky + n) }}$$

Portanto, igualamos essa expressão com um o produto de dois trinômios que também é 0. Feito isso temos que:

$${{m + n – k^2 = q}}$$ e

$${{k(m – n) = r}}$$

e

$${{mn = s }}$$

Certo, sabendo dessas informações podemos adquirir mais informações. Por exemplo.

$${{ m + n – k^2 = q => n = k^2 + q – m }}$$
$${{k(n – m) = r => n – m = r/k => -m = r/k – n}}$$

Temos então a situação de:

$${{ 2n = k^2 + q + r/k }}$$

e

$${{2m = k^2 + q – r/k }}$$

Feito isso podemos obter a seguinte expressão sabendo que mn = s:

$${{(k^3 + qk + r)(k^3 + qk – r) = 4sk^2}}$$

E disso conseguimos uma equação do sexto grau que também é uma cúbica.

$${{k^6 + 2qk^4 + (q^2-4s)k^2 – r^2 = 0 }}$$

Exemplo – Exercício resolvido

$${{x^4 + 52x^3 + 944x^2 + 6848x + 15360 = 0 }}$$

Feito a transformação, temos:

$${{ x^4 – 1120x^2 + 7680x + 48384 = 0}}$$

Temos que:

$${{m + n – k^2 = – 1120}}$$

$${{k(n-m) = 7680}}$$

$${{mn = 48384}}$$

$${{(k^3 – 1120k + 7680)(k^3 – 1120k – 7680) = 193536k^2 }}$$

Temos então:

$${{ k^6 – 2240k^4 + 1060864k^2 – 58982400 = 0 }}$$

Onde suas raízes são: -40, -24, -8, 8, 24 e 40.

Vamos usar a raiz 8 positivo para finalizar nossa resolução pelo método de Descartes:

$${{ m + n – 64 = – 1120 }}$$

$${{8(n – m) = 7680 }}$$

$${{mn = 48384 }}$$

Sendo assim podemos saber m e n.

$${{ m = -1056 – n }}$$

$${{ n = – 48 }}$$

$${{ m = – 1008 }}$$

Agora podemos formar as duas equações do segundo grau:

$${{ y^2 + 8y – 1008 = 0 }}$$
$${{ y^2 – 8y – 48 = 0 }}$$

Agora usamos Bháskara para descobrir as raízes dessas equações de segundo grau e obtemos que:

raiz 1 = 28
raiz 2 = -36
raiz 3 = 12
raiz 4 = -4

Agora para sabermos mesmo as raízes da equação quártica dada como exemplo precisamos ainda passar esses números para a seguinte fórmula:

$${{ {- b – (raiz) \over {4a}} }}$$

Então fazemos:

$${{ {-52 – 28 \over {4}} => -20}}$$

$${{ {-52 + 36 \over {4}} => -4}}$$

$${{ {-52 – 12 \over {4}} => -16}}$$

$${{ {-52 + 4 \over {4}} => -12 }}$$


Relação de Girard na equação cúbica

Para resolver uma equação cúbica podemos utilizar minha fórmula para equação cúbica sem problema algum. Mas, existe uma maneira mais rápida e simples de se achar as raízes (quando elas forem reais) de uma equação cubica? Sim, existe, e é com a relação de Girard que iremos resolver algumas equações do terceiro grau com ela.

A relação de Girard é bastante simples

Digamos que temos uma equação Ax³ + Bx² + Cx + D = 0.

A relação nos diz que:

a + b + c = -B/A
ab + bc + ac = C/A
abc = -D/A

Sendo a, b e c as raízes da equação cúbica.

Exercícios resolvidos equação cúbica com Relação de Girard

Só com as informações da relação de Girard fica impossível resolver uma equação cúbica ou mesmo de grau maior. Vamos então adicionar mais alguma informação para poder ser possível encontrar uma das raízes da equação cúbica que iremos apresentar.

Digamos que temos a equação cúbica:

x³ + 19x² + 110x + 200 = 0

Com a relação de Girard temos:

a + b + c = -19
ab + bc + ac = 110
abc = -200

Iremos adicionar mais uma informação:

a = 2c

Agora podemos solucionar a equação cúbica dada.

Fazemos algumas manipulações algébricas para descobrir o valor da raiz maior (pois no caso os coeficientes são todos positivos e isso indica que as raízes são negativas).

O método é:

(a + b + c)² = (-19)²

a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 361

a² + b² + c² + 2(110) = 361

a² + b² + c² = 361 – 220

a² + b² + c² = 141

Certo. Agora iremos substituir o a² por (2c)², pois a = 2c.

Temos então:

(2c)² + b² + c² = 141

4c² + b² + c² = 141

b² + 5c² = 141

Certo, agora falta acharmos o b². Para isso fazemos:

a + b + c = -19

(Lembrando que a = 2c)

2c + b + c = -19

b + 3c = -19

b = -19 – 3c

Como é b² que queremos, elevamos ambos os membros ao quadrado.

b² = (-19 – 3c)²

b² = (-19 – 3c)(-19 – 3c)

b² = 361 + 57c + 57c + 9c²

b² = 9c² + 114c + 361

Agora basta substituir em:

b² + 5c² = 141

9c² + 114c + 361 + 5c² = 141

14c² + 114c + 361 – 141 = 0

14c² + 114c + 220 = 0

Pronto, temos uma equação do segundo grau. Basta resolvê-la.

Temos x1 = -5 e x2 = -22/7

É bem provável que uma das raízes seja -5 pois -22/7 é um número fracionário.

Sabendo que -5 = c podemos substituir:

a = 2c => a = 2(-5) => a = -10

a + b + c = – 19

-10 + b – 5 = -19

b = -19 + 15

b = -4

Pronto, as raízes da equação cúbica dada são: {-10,-5,-4}.


Fórmula números primos para a sequência de 2 a 19

Quem nunca quis saber de uma fórmula para números primos (nem que seja limitada) para poder achar um primo de maneira eficaz? sem ficar testando se é primo ou não? Pois bem. Iremos tratar nesse artigo de como você poderá achar os números primos de 0 a 20 sem problema algum. Com uma função bastante intuitiva é possível descobrir um dos primos, e tem mais, podemos determinar em qual posição o número primo está com essa função.

Indice – Fórmula para números primos

Demonstração da fórmula para números primos

Demonstração da fórmula para números primos

Para números primos de 0 a 20 é possível elaborar uma fórmula por indução matemática. Com essa demonstração por indução podemos ir além do número 19 (que é o último primo da sequência da fórmula ou função aqui apresentada). Vejamos:

\(\)

$${P(n) =\ a1 + (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}{2} – \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}}$$
$${+ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{8} – \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{24}}$$
$${ – \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{30} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{48}}$$
$${ + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{90}}$$
$${- \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{144}}$$
$${- \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{280}}$$

Com isso obtemos uma função de sétimo grau.

$${P(n) = \frac{-53n^7 + 1645n^6 – 20825n^5 + 138355n^4 – 516362n^3 + 1072120n^2 – 1123440n + 458640}{5040}}$$

Tiramos o MMC de 2,6,8,24,30,48,90,144 e 280. Portanto temos 5040 como divisor da função.

Essa função é limitada até o número 19. Se quisermos achar o número 19 basta substituir a posição que se encontra o 19 (que é 8) em n e obteremos 19 como resposta.


Como calcular o perímetro de uma parábola

Método de calculo do perímetro de uma parábola desenvolvido por mim (sem o uso de integrais ou o calculo I).

Existe uma fórmula capaz de calcular o perímetro de uma parábola, porém, ela necessita da função ln (logaritmo natural) que será falada no final do artigo.

Meu método para descobrir o perímetro de uma parábola é bastante intuitivo e usa basicamente o Teorema de Pitágoras. Usa também a fórmula da função inversa de uma parábola.

Temos também que usar a fórmula de ponto máximo da parábola (que encontra o vértice no eixo y) e por fim definimos um valor para a variável P que é a quantidade de partes que iremos dividir a parábola para poder calcular seu perímetro e depois somar todas essas partes e darmos como resultado o perímetro da parábola de acordo com a função desejável.

Índice – Como calcular o perímetro de uma Parábola

Método para calcular o perímetro
Minha fórmula para calcular o perímetro da parábola
Calcule de forma instantânea o perímetro da parábola
Fórmula convencional para calcular o perímetro da parábola
Considerações finais, referências etc.

Método para calcular o perímetro da parábola

Vamos ver um exemplo bastante intuitivo de como calcular o perímetro da parábola com essa imagem:

Método para calcular o perímetro da parábola

A parábola está com a concavidade virada para baixo apesar de termos uma função com o coeficiente a positivo. Se plotarmos essa função teremos a concavidade virada para cima, mas, como queremos ilustrar melhor, podemos definir a parábola como altura 1 ao invés de -1 (Pois não existe perímetro negativo). Podemos então “rebater” para cima a concavidade da parábola só para podermos ilustrar melhor o uso desse método para calcular o perímetro de uma parábola.

Com essa ideia, de formar triângulos retângulos, teremos a hipotenusa desses triângulos próximos ou quase tangentes ao perímetro da parábola. Simples não? Agora, com o uso da soma em série e do que já foi falado é possível bolar uma fórmula para encontrar definitivamente o perímetro, ou um número muito próximo, da parábola.

Fórmula para encontrar o perímetro de uma parábola.

Fórmula de Martinelli Para encontrar o perímetro de uma parábola. Temos nesse caso a fórmula para encontrar o perímetro da parábola pelo meu método. Não é possível determinar que P tenda ao infinito, se isso for definido não teremos como calcular as partes divididas (simplesmente não teria como somar todo o infinito, se for possível, me avisem :D).

Então, a ideia, é definir P como 4 ou 8 que teremos um valor bastante aproximado do perímetro da parábola. Se alguém tiver mais paciência, pode definir como 16 ou 32 e somar todas as hipotenusas menores e obterá um valor bastante satisfatório do perímetro da parábola por este método.

Calcule agora mesmo o perímetro da sua parábola

De maneira rápida e fácil defina a função e a precisão que você deseja que calcule o perímetro (defina o número de partes que você deseja dividir sua parábola para calcular o perímetro mais precisamente).

Fórmula convencional para calcular o perímetro da parábola

Fórmula convencional para calcular perímetro de uma parábola

Veja que é possível adquirir o perímetro da parábola com a fórmula acima (sabendo a altura da parábola e a distância de uma raíz e outra, faça o teste). Porém, existe uma pequena diferença entre um e outro. No caso, com a calculadora abaixo, a função dada f(x) = x² – 8x + 15 forma uma parábola com perímetro 2,957885716 com a fórmula acima.

Mas, temos um perímetro de 2,9578856903853508 se dividirmos a parábola em 65536 partes (256 ao quadrado). Isso mostra que a fórmula aqui apresentada (meu método) fornece um valor próximo da fórmula acima. Se dividirmos mais ainda, o resultado vai se aproximar mais de 2,957885716.

Considerações finais sobre o perímetro de uma parábola

Bem, como podemos notar, há duas formas de adquirir o perímetro de uma parábola. Com a fórmula convencional e com o meu método. Faça sua escolha!

Sobrou dúvidas? veja o video sobre esse assunto em:

Enfim… A única vantagem de utilizar o meu método é que não é necessário saber o tamanho da base da parábola mas sim só a altura. A desvantagem é que não nos fornece o perímetro exato se calcularmos poucas partes. Conforme a parábola é dividida, temos um valor mais aproximado.

Em suma, meu método é eficaz, mas não é eficiente.

A minha fórmula para calcular o perímetro da parábola é:

Fórmula perimetro de parábola

Referências externas:

1. Area and Perimeter Parabolic. Disponível em: http://www.efunda.com/math/areas/ParabolicGen.cfm. Acessado em 18 Janeiro 2017.


Equação do quinto grau – método para resolver

Muito já foi falado sobre equação do quinto grau. Sabemos que há uma teoria de que não é possível resolver equação do quinto grau com radicais, mas, o que veremos nesse artigo é um método simples (que inclusive usa radical) para solucionar a equação quintica ou de 5°.

Uma fórmula é capaz de solucionar a equação do quinto grau. Lembrando que uma vez encontrada uma raiz real podemos utilizar o método resolutivo da equação do quarto grau para encontrar as demais raízes. Então, o nosso foco aqui é encontrar uma das raízes, que é a real no caso, para depois encontrar as demais raízes. Em conjunto, teremos o método para encontrar a raiz real e depois usaremos a divisão de polinômios para termos um polinômio de quarto grau e assim obter as demais raizes do polinômio de quinto grau.

Demonstração da fórmula
Como usar a fórmula
Calculadora online de equação de quinto grau
Considerações finais sobre essa fórmula

Demonstração da fórmula para resolver equação de quinto grau

O princípio dessa fórmula é “tentar completar o quadrado”. Sim, é através do teorema da equação do segundo grau que iremos obter a fórmula para a equação de quinto grau.

Podemos chamar esse método de “O método de Martinelli” para adquirir a fórmula de quinto grau.

Vamos então demonstrar a fórmula:

metodo-de-martinelli-parte1-divisao-pelo-coeficiente-a

O primeiro passo é dividir o polinômio pelo coeficiente a. Feito isso, temos que adquirir a “compensação” ou para tentar completar o quadrado. Mas, precisamos saber, através da expansão, dos termos que, representados por letras, deverão ser adicionados na equação para podermos formar a fórmula. Desenvolvemos então o produto notável:

formula-de-martinelli-parte2-produto-notavel-quinto-grau

Agora iremos pegar os quatro últimos termos e separá-los como positivos.

Também temos que ressaltar que temos cx^3 + dx^2 + ex + f (todos esses coeficientes são divididos por a e posteriormente são multiplicados por a). O mesmo ocorre com os últimos quatro termos do produto notável acima.

Então, tirando o mmc de 3125a^4 (sim, elevado a 4 pois foram multiplicados por a).

Então temos uma situação assim:

formula-de-martinelli-passo-3-mmc

O mesmo será com os demais termos cx^3 + dx^2 + ex + f.

formula-de-martinelli-passo-4

Pronto, agora é só colocarmos o produto notável (x + b/5a)^5 e igualarmos a 0.

formula-martinelli-passo-6

Pronto, agora basta passarmos para o segundo membro, depois passar como raiz de índice 5 e por fim passar b/5a para o segundo membro que teremos o valor de x. E é ai que nossa fórmula surge.

formula-martinelli-completa-parte-1

Se fizermos alguns reajustes como eliminar o denominador do radical e fazer o fator comum teremos ainda uma fórmula mais compacta:

formula-equacao-do-quinto-grau

Pronto, temos a fórmula da equação do quinto grau. Porém, como usá-la?

Como usar a fórmula da equação de quinto grau

Podemos dar um exemplo de equação do quinto grau com todas as raízes pertencendo ao conjunto dos números reais.

Vamos então escolher essa equação:

exemplo-de-equacao-do-quinto-grau

Basta substituir na fórmula os coeficientes: a = 1, b = 18, c = 121, d = 372, e = 508 e f = 240.

Temos então essa situação:

resultado-da-equacao-de-quinto-grau-na-formula

Se pegarmos o discriminante dessa fórmula e resolvermos como se fosse uma equação do terceiro grau, iremos obter um valor bem aproximado da raiz. Nesse caso podemos supor com precisão a raiz real dessa equação de quinto grau.

Após resolver a equação do terceiro grau obtemos três raízes no caso:

-2.2196036504684

-4.77488211047148

e

-4.00086307626942

Pronto, fica fácil entender que uma das raízes é -4 pois é o valor que mais se aproxima. Mas não devemos descartar que -4.774.. seja próximo de -5 e que -2.21… seja próximo de -2 e -3 (mais próximo de -2 do que de -3, então a suposição seja -2 como uma das raízes da equação do quinto grau dada). Mas.. devemos ter certeza que um ou dois resultados estão próximos de uma das raízes (quando as demais não forem complexas). Então fica fácil.

Basta substituir -4 em x que teremos -4 como resposta e é essa uma das raízes reais.

Pela divisão de polinômios chegamos a uma equação de quarto grau e por fim conseguimos obter as demais raízes. Não é necessario entrar nesse método, nosso foco aqui é encontrar uma das raizes reais da equação de quinto grau.

Calculadora online de equação de quinto grau

uma SIMPLES demonstração do calculo de raizes de uma equação do quinto grau é possível através dessa calculadora (com alguns bugs por enquanto).

Considerações finais da fórmula equação quintica

Esse método também funciona para equação cúbica. Basta criar a fórmula para isso. No meu vlog há um vídeo explicando como ela funciona para equação de terceiro grau.

Quanto aos resultados da equação quintica, pode parecer “lento” para se obter o resultado, mas com “suposições” é bem provável que você consiga encontrar, quando for inteira, a raiz real da equação de quinto grau.

Com paciência obtem-se o resultado para outras raízes irracionais, basta substituir na fórmula e resolver a equação do terceiro grau que teremos um valor aproximado da raiz e com base nesse resultado conseguiremos obter a raiz de fato da equação de quinto grau inserindo em x o valor obtido do resultado da equação do terceiro grau e devemos fazer isso sucessivamente por pelo menos 7 vezes para obter o mais aproximado valor possível da raíz.

Atenção, se o resultado ficar preso a um resultado positivo e negativo significa que você terá que igualar a fórmula ao resultado da equação do terceiro grau e fazer a multiplicação por 5a, fazer a soma por b, fazer a elevação a quinta potência, após isso, teremos no segundo membro um número, esse número deverá ser ser somado ou subtraído (dependendo do sinal) do termo independente da equação do terceiro grau que estiver no primeiro membro.

Assim, resolve-se essa nova equação e o valor da raiz vai se aproximando e por fim o valor da raiz após esses procedimentos vai aparecer corretamente e precisamente!

 


Calculadora no modo RAD ou DEGRE – Radianos ou Graus

Como saber se sua calculadora está exibindo radianos ou graus quando você tenta descobrir o seno por exemplo de algum número? É muito simples.

Você deverá pegar o resultado que a calculadora exibir e fazer uma regra de três simples e descobriremos como transformar graus em radianos ou como transformar radianos em graus. Vamos ver alguns exercícios resolvidos para esclarecer como devemos proceder.

Mas antes devemos entender que 1 radiano equivale a cerca de 57,3° e pi radianos equivalem a 180° e 2pi radianos equivalem a 360°. Essas informações são importantes antes de efetuar os cálculos.

Calcular se está no modo RAD ou DEGRE a calculadora

Quando escolhemos o seno de algum número por exemplo e surge um número que não está na tabela trigonométrica, podemos entender que se trata de uma configuração da calculadora para mostrar, o seno no caso, em radianos.

Visto isso, podemos transformar o resultado para graus ou então configurar a calculadora científica para mostrar o resultado em graus ou vice versa. Vamos supor que nossa calculadora científica esteja configurada para graus, e mostra o seno de algum número, digamos que o resultado seja 0.909236109.
calculadora

Se fizermos uma regra de três simples veremos que em radiano 0.909236109 representa 2. Pois seno de 114,6° equivale a 0.909236109 de medida. Então, se você estiver com uma calculadora configurada para radianos e teclar sin 2 o número 0.909236109 vai aparecer.

Entenderam? O mesmo com o cosseno, tangente etc.


Como calcular o MMC – Mínimo Múltiplo Comum

Calcular o MMC é super importante na hora de somar ou subtrair fração com denominadores de números diferentes quando não se tem uma calculadora por perto. Mas não é somente essa a importância do MMC, ele nos fornece os valores múltiplos que, se for dado um exemplo, o número 100 é múltiplo de 2, que dá 50, e por sua vez é múltiplo de 2 outra vez. Ai temos 25 e ele só é múltiplo de 5 que dá 5 e 5 é múltiplo dele mesmo, 5. Ao multiplicar todos os resultados chegamos em 100 (2*2*5*5).

É bem simples o MMC, iremos seguir o artigo com alguns exemplos simples e conseguiremos entender os exercícios resolvidos de MMC.

Mínimo Múltiplo Comum – exercícios resolvidos

Qual é o MMC de 10?

mmc-de-10

é 10.

Qual é o MMC de 45?

45 | 5
9 | 3
3 | 3
1 |

É 45.

Qual o MMC de 28 ?

28 | 2
14 | 2
7 | 7
1 |

Simples.

Restou dúvidas com relação a como calcular o MMC? deixe um comentário que responderemos o mais breve possível.


Descobrir o raio de uma circunferência pelo grau do arco

Imagine uma ilustração onde há uma pessoa que anda em uma pista circular cerca de 100m. Nesse instante ela criou um arco de 60°.

Para sabermos o raio dessa figura geométrica temos que adotar o número pi e usar uma regra de três simples.

O comprimento nesse caso é C = 2pir, na regra de três fica assim:

Cálculo do raio de uma circunferência pelo grau

Temos esses dados:

Percurso = 100m
Arco = 60°
π = 3,14159
r = ?

2πr – 360°
100 – 60°

Multiplicando em x temos r = 95,5. Este então é o raio através do grau do arco formado. Simples não?


Saber quantas voltas deu numa circunferência

Como saber quantas voltas em um círculo um automóvel ou mesmo uma pessoa deu? Para isso precisamos utilizar de uma técnica bastante simples.

Mas antes, necessitaremos saber o valor aproximado de pi que é 3,14159 ou mesmo 3,14 em alguns casos.

Temos que saber regra de três simples

Após sabermos desses detalhes essenciais podemos calcular quantas voltar um automóvel ou pessoa deu em uma pista circular. Vamos ver um exemplo:

Um automóvel percorreu 1000m numa pista circular

  • Sendo que essa pista tem um diâmetro de 50m. A pergunta é: Quantas voltas o automóvel deu?
  • Ora, sabemos que uma pista circular tem 360°, essa é uma pista muito importante na hora de resolver esse tipo de problema.

    Com o uso de uma regra de três simples podemos chegar ao resultado de maneira rápida e simples.

    proporcao-1000m-percorridos

    Entendemos que 50π surgiu de c = 2xπx25 que faz relação com 360° nesse caso.

    Agora é só multiplicar em x e obter x = 360.000/50π que dá 2.291.831181. Agora, para saber a quantidade de voltas que o automóvel deu temos que dividir esse resultado por 360 que é a volta toda da circunferência. O resultado dá 6,36 que corresponde com a quantidade de voltas que o automóvel deu.

    Obs: você saberia dizer quantos metros tem essa pista em forma de circunferência com essa resposta 6,36 ?

    Se você respondeu cerca de 157m você acertou.


    Converter radianos em graus

    Converter radianos em graus possui a mesma maneira de calcular como converter graus em radianos. Porém, precisamos inverter a situação e deixar nosso x como grau ao invés de radiano. Exemplo:

    radianos-em-graus

    Agora é só multiplicar em x e teremos x = 90 com o uso da regra de três simples.

    O mesmo se deve fazer para outras situações como π/3, π/4… etc. Devemos manter o que foi estabelecido na figura acima com a variável x° comparando ao que queremos descobrir, no caso π/2, pronto, ai fica fácil converter radianos em graus.


    PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal