Você está em:

A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de diâmetro AB

A figura abaixo apresenta uma semicircunferência de diâmetro AB, com raio igual a √3 cm e com o ponto C sobre a semicircunferência.
Semicircunferência
Sabendo-se que o segmento AC mede 3cm, o comprimento do arco AC é?

Resposta

Primeiro vamos analisar o que podemos fazer com a semicircunferência:
Semicircunferência

Agora é só utilizar a lei dos cossenos e obter o grau dos ângulos:

a² = b² + c² – 2bcCosA
b² = a² + c² – 2acCosB
c² = a² + b² – 2abCosC

Temos a medida dos lados do triângulo na semicircunferência:

√3, √3 e 3. Colocando na fórmula da lei dos cossenos teremos:

(√3)² = (3)² + (√3)² – 2(3)(√3)CosA
3 = 9 + 3 – 6√3CosA
3 – 12 = -6√3cosA
3 – 12 = -6√3CosA
-9/-6√3 = Cos A

Temos então que CosA é igual a 3/2√3 ou, racionalizando, (√3)/2. Que, invertendo esse número para graus, teremos 30°.

Como existem dois lados iguais a √3, teremos então o mesmo ângulo de 30°. Trata-se então de um triângulo isósceles.

Resta 120° para o outro ângulo, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

Sabendo que temos um ângulo de 120°, podemos então saber o tamanho do arco.

se C = 2pir

Então C/2 = pir

e r é igual a √3

Então, por uma regra de três simples, teremos:

pi√3 – 180°
x – 120°

180°x = 120pi√3

x = (120pi√3)/(180)

x = (2√3pi)/3

É essa a resposta!

Publicado por Rodrigo Martinelli

Sou Rodrigo Martinelli, formado em administração e matemática.

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *