Calcule o comprimento do arco ab, cuja medida do ângulo é 216°

Calcule o comprimento do arco ab, cuja medida do ângulo é 216° e o raio da circunferência é 2cm.?

Resposta da pergunta

Primeiro precisamos saber da fórmula da circunferência:

C = 2pir

C = 2*3,14*2

C = 12,56

12,56 representa a volta toda da circunferência com raio 2, o que queremos saber é 216 graus.

Então fazemos uma regra de três

12,56 – 360
x – 216

x = 7,536


A receita bruta anual de uma empresa era A (t) = 0,1t² + 10t + 20

A receita bruta anual de uma empresa era A (t) = 0,1t² + 10t + 20 mil reais t anos depois que a companhia foi fundada em 1998.

(a) Qual a taxa de variação da receita bruta anual da empresa no início de 2002?
(b) Qual a taxa de variação percentual da receita bruta anual da empresa no início de 2002?

Resposta da pergunta

Na A-) basta derivar e substituir t por 4.

Então temos:

d/dx A (t) = 0,1t² + 10t + 20

A(t) = 0,2t + 10

A(4) = 0,2(4) + 10

A(4) = 10,8 mil reais

Na B-)

A(1) = 0,2(1) + 10

A(1) = 10,2 mil

Sendo 10,2 mil a taxa de variação da receita bruta anual da empresa ano de 1998.

Uma regra de três.

10,2 – 1
10,8 – x

10,2x = 10,8

x = 10,8/10,2

x = 1,058823529

A taxa percentual de variação da receita bruta em 2002 foi de 5,8823529%


Qual a taxa de juros compostos, aplicada a um capital de de R$ 13.500,00

Qual a taxa de juros compostos, aplicada a um capital de de R$ 13.500,00, transforma-se em R$ 35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses?

Resposta da pergunta

Temos:

P = 13500
M = 35112,26
n = 7
e i é desconhecido.

A fórmula do montante de juros compostos é:

M = P(1 + i)^n

Temos então, na substituição:

35112,26 = 13500(1 + i)^7

35112,26/13500 = (1 + i)^7

2.600908148 = (1 + i)^7

raiz de índice 7 de 2.600908148 = 1 + i

temos então que

1.146313939 = 1 + i

0.1463139393 = i

Ou seja, a taxa de juros é de 14,63%


Lúcia comprou uma geladeira pagando R$ 272,00

Lúcia comprou uma geladeira pagando R$ 272,00 um mês após a compra e R$ 420,00 dois meses após a aquisição do produto. Considerando-se que são pagos juros de 5% ao mês sobre o saldo devedor, o preço à vista da geladeira que Lúcia comprou é:

a) 617,50 reais.

b) 650 reais.

c) 647,50 reais.

d) 640 reais

Resposta da pergunta

Temos que:

272 = x + 0,05x

Ou seja, eu quero descobrir o valor da amortização que é a parcela sem os juros.

Então, foi pago 272 e esse valor equivale a um x + 0,05x, sendo x o valor total devedor nesse mês.

Agora no segundo mês temos:

420 = x + 0,05x

Mas, como temos que os juros já correram 2 meses, então fazemos:

420 = x(1,05)^2

Logo:

420 / (1,05)^2 = x

x = 380,95

Sendo assim, o primeiro mês basta fazer:

272 = x + 0,05x

272 = 1,05x

272/1,05 = x

x = 259,05

Então temos que somar os dois valores.

O resultado é R$640,00. Portanto, a resposta certa é a letra D-).


A massa M de uma substância volátil está decrescendo

A massa M de uma substância volátil está decrescendo em função do tempo t, em horas, de acordo com a função M(t)=-3^2t-3^(t+1)+108. Podemos afirmar, corretamente, que o tempo necessário para que, teoricamente, a massa da substância se anule é:

a)inferior a 45 minutos.
b)maior do que 45 minutos e menor do que 100 minutos.
c)maior do que 100 minutos e menor do que 130 minutos.
d)superior a 130 minutos.

Resposta da pergunta

Temos a função M(t) = -3^(2t) – 3^(t+1) + 108

Queremos que ela se anule, então igualamos a 0.

-3^(2t) – 3^(t+1) + 108 = 0

Podemos notar que é uma equação do segundo grau. Sendo assim:

-y^2 – 3y + 108 = 0

Agora aplicamos a fórmula de Bháskara e temos x1 = 9 e x2 = – 12 (-12 não serve pois é negativo)

Feito isso igualamos a:

3^t = 9

3^t = 3^2

Logo nosso t é 2.

A resposta correta é a alternativa c)maior do que 100 minutos e menor do que 130 minutos.


4-3x>x+6 inequação do primeiro grau com uma var

4-3x>x+6 inequação do primeiro grau com uma variável

Resposta da pergunta

4 – 3x > x + 6

-3x > x + 6 – 4

-3x > x + 2

-4x > 2

-x > 2/4

-x > 1/2

x < -1/2 Está no intervalo [-infinito, -1/2] .


Um cientista precisa escolher 3 cobaias num grupo

Um cientista precisa escolher 3 cobaias num grupo de 8 cobaias. determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.

Resposta da pergunta

Tomados 3 a 3, temos uma possibilidade de escolher 56 maneiras distintas a escolha.

Basta usar a fórmula

C 8,3 8!/(3!(8 – 3)!

C 8,3 8!/(3!)(5!)

C 8,3 8.7.6/3!

C 8,3 8.7.6/3.2

C 8,3 56

Resposta 56


Para uma festa foram preparadas 90 empadinhas

Para uma festa foram preparadas 90 empadinhas de camarão. 60 delas deveriam ser apimentadas. Por pressa na última hora foram colocadas ao acaso para serem servidas. Qual a probabilidade de retirar uma apimentada?

Resposta da pergunta

Temos o espaço amostral que é 90. Como queremos retirar UMA empadinha dessas 90, então temos a resposta:

60/90 ou 2/3.. Portanto a probabilidade de se retirar uma empadinha apimentada é de 66,66666667%.

Há um evento correspondente a 60 sobre 90 de ocorrer.


Equação quártica – exercícios resolvidos

Equação quártica ou do 4° grau é definida por \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) e podemos resolvê-la pelo método de Ferrari ou podemos transformá-la para \(ax^4 + cx^2 + dx + e\) e resolver pelo método de Descartes (que separa uma equação do quarto grau em duas de grau 2).

Nesse artigo iremos ver a minha transformação para a equação do modo \(ax^4 + cx^2 + dx + e\) que tem quatro raízes.

Para isso iremos fazer uma “fórmula” para conseguir chegar na minha transformação. Essa fórmula é bastante simples, trata-se de uma manipulação algébrica para obter uma fórmula que, por iterações, podemos chegar em uma das raízes da equação quártica após diversos passos.

Equação quártica – Explicação por tópicos

Gráfico equação de quarto grau
Conceito básico da equação Quártica
Fórmula por iterações equação quártica
Transformação de Martinelli
Método de Descartes
Exemplo – Exercício resolvido

Conceito básico de equação quártica

Bem, o básico que podemos dizer sobre a equação do quarto grau é que ela, diferente das equações de grau menores como a de terceiro e segundo grau, para ela ser resolvida, é preciso utilizar o Método de Ferrari (que não iremos falar dele nesse artigo) ou utilizar outro método como o de Descartes e assim conseguiremos separar uma equação de quarto grau em duas de grau menores, no caso, duas equações quadráticas.

Para utilizar o método de Descartes é preciso saber como resolver uma equação do terceiro grau, pois durante o procedimento do uso do método de Descartes surgirá uma equação cúbica e com uma das raízes reais dela conseguiremos terminar a separação da equação quártica em duas de segundo grau.

Fórmula por iterações equação quártica

Vamos começar com a forma geral de uma equação quártica:

\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

Agora nosso objetivo é criar um binômio elevado a 4 no primeiro membro, temos:

\(ax^4 + bx^3 = – cx^2 – dx – e\)

Multiplica ambos os membros por \(256a^3\)

Temos então:

\(256a^4x^4 + 256a^3bx^3 = -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Agora iremos adicionar em ambos os membros: \( 96a^2b^2 + 16axb^3 + b^4\) .Pelo binômio de Newton fica fácil entender isso. Basta desenvolver \((4ax + b)^4\).

Temos então:

\(256a^4x^4 + 256a^3bx^3 + 96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 = \)
\(96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Organizando, colocando em evidência, temos uma situação assim:

\((4ax + b)^4 = 96a^2x^2b^2 + 16axb^3 + b^4 -256a^3cx^2 – 256a^3dx – 256a^3e\)

Pronto, já temos quase a nossa “fórmula” para descobrir uma das raízes de uma equação de quarto grau por iterações.

$${{ x = {{-b – \sqrt[4]{ b^4 + 16a(b^3 – 16a^2d)x + 16a^2(6b^2 – 16ac)x^2 – 256a^3e }} \over {4a}} }}$$

Ai está, após rearranjarmos a expressão temos essa igualdade acima que é a fórmula convencional, dando um chute de 1 ou -1 no x e no x² e, por iterações, ou seja, pegar o resultado e inserí-lo novamente em x e x² teremos valores se aproximando da raiz (quando elas não forem complexas).

Transformação de Martinelli

Com a minha transformação para a equação quártica sem o termo cúbico evitamos denominadores para solucioná-la com o método de Descartes.

Como provar a transformação de Martinelli

É simples, basta pegar a fórmula por iterações e inserir em x a própria fórmula. Então teremos dentro do radical algo assim:

Primeiro a fórmula por iterações:

$${{ x = {{-b – \sqrt[4]{ b^4 + 16a(b^3 – 16a^2d)x + 16a^2(6b^2 – 16ac)x^2 – 256a^3e }} \over {4a}} }}$$

E agora como chegar na transformação de Martinelli:

$${{ 16a(b^3 – 16a^2d)[{{- b – x} \over {4a}}] }}$$
$${{ 4(b^3 – 16a^2d)[{{- b – x}}] }}$$
$${{ -4(b^3 – 16a^2d) }}$$
$${{ -4b(b^3 – 16a^2d) }}$$

Podemos já adicionar:

$${{ b^4 – 256a^3e }}$$

Por fim fazemos isso com:

$${{ 16a^2(6b^2-16ac)[{{-b – x} \over 4a}][{{-b – x} \over 4a}]}}$$

Temos no primeiro desenvolvimento:

$${{ 4a(6b^2-16ac)[{{-b – x}}][{{-b – x} \over 4a}]}}$$

Fazendo:

$${{ [-b(6b^2 – 16ac) – (6b^2 – 16ac)][-b – x] }}$$

$${{ b^2(6b^2 – 16ac) + 2b(6b^2 – 16ac) + (6b^2 – 16ac) }}$$

Então podemos formar uma equação quártica com as seguintes características:

$${{ ax^4 }}$$
$${{-(6b^2 – 16ac)x^2}}$$
$${{-(2b(6b^2 – 16ac) – 4(b^3 – 16a^2d))x}}$$
$${{-(b^4 – 256a^3e + b^2(6b^2-16ac) – 4b(b^3 – 16a^2d))}}$$

Aconselho que você defina o termo a como 1 (dividir toda a equação por a torna o termo a igual a 1).

Podemos usar o método de Descartes para solucionar esse tipo de equação. O método consiste em separar uma equação de grau 4 em duas de grau 2.

Atenção: Depois de resolver a equação com a transformação de Martinelli você terá que usar a seguinte fórmula para obter de fato as raízes: Ela é:

$${{ {{-b – \alpha} \over {4a}} }}$$

Sendo Alfa uma das raiz obtida pela separação da equação do quarto grau em duas de grau 2.

Veremos um exemplo disso depois.

Método de Descartes

Vamos resolver uma equação do quarto grau da forma:

$${{ ax^4 + cx^2 + dx + e = 0 }}$$

Para isso começamos com a seguinte igualdade:

$${{y^4 + qy^2 + ry + s = (y^2 + ky + m)(y^2 -ky + n) }}$$

Portanto, igualamos essa expressão com um o produto de dois trinômios que também é 0. Feito isso temos que:

$${{m + n – k^2 = q}}$$ e

$${{k(m – n) = r}}$$

e

$${{mn = s }}$$

Certo, sabendo dessas informações podemos adquirir mais informações. Por exemplo.

$${{ m + n – k^2 = q => n = k^2 + q – m }}$$
$${{k(n – m) = r => n – m = r/k => -m = r/k – n}}$$

Temos então a situação de:

$${{ 2n = k^2 + q + r/k }}$$

e

$${{2m = k^2 + q – r/k }}$$

Feito isso podemos obter a seguinte expressão sabendo que mn = s:

$${{(k^3 + qk + r)(k^3 + qk – r) = 4sk^2}}$$

E disso conseguimos uma equação do sexto grau que também é uma cúbica.

$${{k^6 + 2qk^4 + (q^2-4s)k^2 – r^2 = 0 }}$$

Exemplo – Exercício resolvido

$${{x^4 + 52x^3 + 944x^2 + 6848x + 15360 = 0 }}$$

Feito a transformação, temos:

$${{ x^4 – 1120x^2 + 7680x + 48384 = 0}}$$

Temos que:

$${{m + n – k^2 = – 1120}}$$

$${{k(n-m) = 7680}}$$

$${{mn = 48384}}$$

$${{(k^3 – 1120k + 7680)(k^3 – 1120k – 7680) = 193536k^2 }}$$

Temos então:

$${{ k^6 – 2240k^4 + 1060864k^2 – 58982400 = 0 }}$$

Onde suas raízes são: -40, -24, -8, 8, 24 e 40.

Vamos usar a raiz 8 positivo para finalizar nossa resolução pelo método de Descartes:

$${{ m + n – 64 = – 1120 }}$$

$${{8(n – m) = 7680 }}$$

$${{mn = 48384 }}$$

Sendo assim podemos saber m e n.

$${{ m = -1056 – n }}$$

$${{ n = – 48 }}$$

$${{ m = – 1008 }}$$

Agora podemos formar as duas equações do segundo grau:

$${{ y^2 + 8y – 1008 = 0 }}$$
$${{ y^2 – 8y – 48 = 0 }}$$

Agora usamos Bháskara para descobrir as raízes dessas equações de segundo grau e obtemos que:

raiz 1 = 28
raiz 2 = -36
raiz 3 = 12
raiz 4 = -4

Agora para sabermos mesmo as raízes da equação quártica dada como exemplo precisamos ainda passar esses números para a seguinte fórmula:

$${{ {- b – (raiz) \over {4a}} }}$$

Então fazemos:

$${{ {-52 – 28 \over {4}} => -20}}$$

$${{ {-52 + 36 \over {4}} => -4}}$$

$${{ {-52 – 12 \over {4}} => -16}}$$

$${{ {-52 + 4 \over {4}} => -12 }}$$


Encontre a equação da reta, perpendicular à reta

Encontre a equação da reta, perpendicular à reta de equação 3x+2y-1=0 e que passa pelo ponto (2,0)

Resposta da pergunta

Primeiro vamos obter o coeficiente angular da equação da reta conhecida:

3x + 2y + 1 = 0

y = (-3x – 1)/2

O coeficiente angular é -3/2. Como queremos saber o coeficiente angular da reta perpendicular a reta 3x+2y-1=0 temos então que obter o inverso do oposto do coeficiente angular -3/2. Temos então:

(3/2)^-1 => 2/3

2/3 é o coeficiente angular da reta que é perpendicular a reta no formato geral 3x+2y-1=0.

Iremos definir o termo independente dessa reta. Dessa forma:

y = (2/3)x + c

Como conhecemos o ponto P(2,0) podemos entender que:

0 = (2/3)(2) + c

c = -4/3

Temos então que a forma reduzida da reta perpendicular a reta 3x+2y-1=0 é:

y = (2/3)x – 4/3

Na forma geral temos:

(2/3)x -y -4/3 = 0

Eliminando os denominadores temos:

2x -3y – 4 = 0

Resposta: a reta é 2x – 3y – 4 = 0


PiPo-Smart-S1-Pro-7-Frontal